3 Systemen van lineaire vergelijkingen en hoe ze op te lossen

de lineaire vergelijkingen het zijn polynomiale vergelijkingen met een of meerdere onbekenden. In dit geval zijn de onbekenden niet verheven tot macht, noch worden ze onderling vermenigvuldigd (in dit geval wordt gezegd dat de vergelijking van graad 1 of van eerste graad is).

Een vergelijking is een wiskundige gelijkheid waarbij er een of meer van een onbekend element is dat we onbekend of onbekend noemen in het geval dat er meer dan één is. Om deze vergelijking op te lossen, is het noodzakelijk om de waarde van de onbekenden te achterhalen.

Een lineaire vergelijking heeft de volgende structuur:

naar₀· 1 + a₁· X₁+ naar₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Waar naartoe₀, naar₁, naar₂,..., a_n zijn reële getallen waarvan we de waarde kennen en die coëfficiënten worden genoemd, b is ook een bekend reëel getal dat een onafhankelijke term wordt genoemd. En uiteindelijk zijn ze X₁, X_2,..., X_n wat bekend staat als onbekenden. Dit zijn de variabelen waarvan de waarde onbekend is.

Een systeem van lineaire vergelijkingen is een verzameling lineaire vergelijkingen waarbij de waarde van de onbekenden in elke vergelijking hetzelfde is.

Logisch gezien is de manier om een ​​systeem van lineaire vergelijkingen op te lossen, het toekennen van waarden aan de onbekenden, zodat gelijkheid kan worden geverifieerd. Dat wil zeggen, de onbekenden moeten zo worden berekend dat alle vergelijkingen van het systeem tegelijkertijd worden vervuld. We vertegenwoordigen een systeem van lineaire vergelijkingen als volgt

naar₀· 1 + a₁· X₁ + naar₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 waar a_0, naar₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n enz. ons echte cijfers en de onbekenden om op te lossen zijn X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Elke lineaire vergelijking vertegenwoordigt een lijn en daarom vertegenwoordigt een stelsel van vergelijkingen van N lineaire vergelijkingen N recht getrokken in de ruimte.

Afhankelijk van het aantal onbekenden waarbij elke lineaire vergelijking die de lijn deze vergelijking wordt weergegeven in een andere dimensie, dat wil zeggen een vergelijking met twee onbekenden (bijvoorbeeld 2 · X₁ + X₂ = 0) vertegenwoordigt een lijn in een tweedimensionale ruimte, een vergelijking met drie onbekenden (bijvoorbeeld 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) zou worden gerepresenteerd in een driedimensionale ruimte enzovoort.

Bij het oplossen van een systeem van vergelijkingen, de waarden van X₀,..., X_n ,X_{n + 1} zijn de snijpunten tussen de regels.

Door een stelsel van vergelijkingen op te lossen, kunnen we verschillende conclusies trekken. Afhankelijk van het type resultaat dat we verkrijgen, kunnen we drie soorten systemen van lineaire vergelijkingen onderscheiden:

1- Onbepaalde compatibiliteit

Hoewel het misschien als een grap klinkt, is het mogelijk dat we bij het oplossen van het systeem van vergelijkingen tot een vanzelfsprekendheid van stijl komen 0 = 0.

Dit type situatie doet zich voor wanneer er oneindige oplossingen zijn voor het stelsel van vergelijkingen, en dit gebeurt wanneer blijkt dat in ons stelsel van vergelijkingen de vergelijkingen dezelfde lijn vertegenwoordigen. We kunnen het grafisch zien:

Als een systeem van vergelijkingen nemen we:

Door 2 vergelijkingen met 2 onbekenden op te lossen, kunnen we de lijnen in een tweedimensionaal vlak weergeven

Als we de lijnen zien met dezelfde derhalve alle punten van de eerste vergelijking overeen met die van de tweede vergelijking is derhalve zoveel punten punten gesneden recht, dat wil zeggen, oneindig.

2- Niet compatibel

Bij het lezen van de naam kunnen we ons voorstellen dat ons volgende systeem van vergelijkingen geen oplossing zal bieden.

Als we bijvoorbeeld dit systeem van vergelijkingen proberen op te lossen

Grafisch zou het zijn:

Als we alle termen van de tweede vergelijking vermenigvuldigen, verkrijgen we dat X + Y = 1 gelijk is aan 2 · X + 2 · Y = 2. En als deze laatste uitdrukking wordt afgetrokken van de eerste vergelijking, verkrijgen we

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Of wat hetzelfde is

0 = 1

Als we in dit geval betekent dat de lijnen weergegeven in het stelsel vergelijkingen evenwijdig, dat wil zeggen, per definitie niet gesneden en er een snede. Wanneer een systeem wordt op deze wijze wordt gezegd inconsistent onafhankelijk zijn.

3- Bepaalde ondersteuning

Ten slotte komen we bij de zaak waarin ons systeem van vergelijkingen één enkele oplossing heeft, het geval waarin we lijnen hebben die elkaar kruisen en een snijpunt genereren. Laten we een voorbeeld zien:

Om het op te lossen, kunnen we de twee vergelijkingen toevoegen, zodat we die verkrijgen

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Als we vereenvoudigen, zijn we vertrokken

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Waarvan we gemakkelijk afleiden dat X = 2 en substitueren of X = 2 in een van de originele vergelijkingen die we verkrijgen Y = 3.

Visueel zou het zijn:

Methoden voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen

Zoals gezegd in de vorige paragraaf, een 2 onbekenden en 2 vergelijkingen op basis van eenvoudige handelingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vervanging kunnen we oplossen in enkele minuten. Maar als we proberen om deze methodologie van toepassing op systemen met meer vergelijkingen en onbekenden de berekeningen worden vervelend en kan gemakkelijk dwalen.

Om de berekeningen te vereenvoudigen zijn er verschillende oplossingsmethoden, maar ongetwijfeld de meest voorkomende methoden zijn de Cramer's Rule en de Elimination of Gauss-Jordan..

Cramer-methode

Om uit te leggen hoe deze methode wordt toegepast, is het essentieel om te weten wat de matrix ervan is en hoe deze de bepalende factor kan vinden. Laten we een haakje maken om deze twee concepten te definiëren.

een matrix het is niets meer dan een reeks cijfers of algebraïsche symbolen geplaatst in horizontale en verticale lijnen en gerangschikt in de vorm van een rechthoek. Voor ons thema zullen we de matrix gebruiken als een meer vereenvoudigde manier om ons stelsel van vergelijkingen uit te drukken.

Laten we een voorbeeld zien:

Het zal het systeem van lineaire vergelijkingen zijn

Dit eenvoudige stelsel van vergelijkingen dat we kunnen samenvatten, is de werking van twee 2 × 2-matrices die resulteert in een matrix van 2 × 1.

De eerste matrix komt overeen met alle coëfficiënten, de tweede matrix is ​​de onbekenden die moeten worden opgelost en de matrix die zich achter de gelijkheid bevindt, wordt geïdentificeerd met de onafhankelijke termen van de vergelijkingen.

de determinant is een bewerking die wordt toegepast op een matrix waarvan het resultaat een reëel getal is.

In het geval van de matrix die we in ons vorige voorbeeld hebben gevonden, zou de bepalende factor zijn:

Nadat de concepten van matrix en determinant zijn gedefinieerd, kunnen we uitleggen waar de Cramer-methode uit bestaat.

Door deze werkwijze kunnen we gemakkelijk oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen zolang het systeem niet langer dan drie vergelijkingen met drie onbekenden omdat de berekening van de determinanten van een matrix is ​​zeer moeilijk matrices 4 x 4 of hoger. Voor een systeem met meer dan drie lineaire vergelijkingen wordt aanbevolen werkwijze Gauss-Jordan-eliminatie.

Doorgaand met het vorige voorbeeld, moeten we met behulp van Cramer eenvoudig twee determinanten berekenen en daarmee zullen we de waarde van onze twee onbekenden vinden.

We hebben ons systeem:

En we hebben een systeem vertegenwoordigd door matrices:

De waarde van X is gevonden:

Eenvoudig in de berekening van de determinant die zich in de noemer van de deling bevindt, hebben we de eerste commune vervangen door de matrix van onafhankelijke termen. En in de noemer van de verdeling hebben we de bepalende factor van onze oorspronkelijke matrix.

Voer dezelfde berekeningen uit om de Y te vinden die we verkrijgen:

Eliminatie van Gauss-Jordan

We definiëren uitgebreide matrix naar de matrix die het resultaat is van een stelsel van vergelijkingen waarbij we de onafhankelijke termen toevoegen aan het einde van de matrix.

De methode van Gauss-Jordan-eliminatie is door middel van operaties tussen de rijen van de matrix te transformeren onze uitgebreide matrix in een veel eenvoudiger matrix waar ik nullen op alle gebieden met uitzondering van de diagonaal, waar ik zou moeten krijgen. Als volgt:

Waar X en Y reële getallen zouden zijn die overeenkomen met onze onbekenden.

Laten we dit systeem oplossen door Gauss-Jordan te elimineren:

We zijn er al in geslaagd om een ​​nul te krijgen in de linkeronderhoek van onze matrix, de volgende stap is om een ​​0 in de rechterbovenhoek ervan te krijgen.

We hebben een 0 in de linkerbovenhoek van de matrix bereikt, nu hoeven we alleen de diagonaal naar diagonaal om te zetten en we hebben ons systeem al opgelost door Gauss-Jordan.

Daarom komen we tot de conclusie dat:

referenties

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Stelsels van lineaire vergelijkingen (zonder datum). Hersteld van uco.es.
4. Systemen van lineaire vergelijkingen. Hoofdstuk 7. (niet gedateerd). Opgehaald uit sauce.pntic.mec.es.
5. Lineaire algebra en geometrie (2010/2011). Systemen van lineaire vergelijkingen. Hoofdstuk 1. Afdeling algebra. Universiteit van Sevilla. Spanje. Hersteld van algebra.us.es.