Sarrus-regel in wat bestaat en soorten determinanten

de Sarrus regel het wordt gebruikt om het resultaat van determinanten van 3 × 3 te berekenen. Deze worden gebruikt om lineaire vergelijkingen op te lossen en te weten of ze compatibel zijn.

Compatibele systemen stellen u in staat om de oplossing gemakkelijker te verkrijgen. Ze worden ook gebruikt om te bepalen of sets vectoren lineair onafhankelijk zijn en de basis vormen van de vectorruimte.

Deze toepassingen zijn gebaseerd op de invertibility van de matrices. Als een matrix regelmatig de determinant niet 0 is als enkelvoudig, de determinant 0. determinanten kan alleen worden berekend in vierkante matrices.

Om matrices van een willekeurige volgorde te berekenen, kan de Laplace-stelling worden gebruikt. Deze stelling stelt ons in staat om de matrices van hoge dimensies te vereenvoudigen, in sommen van kleine determinanten die we ontleden uit de hoofdmatrix.

Dat de determinant van de matrix is ​​gelijk aan de som van de produkten van elke rij of kolom, de determinant van de matrix gehecht.

Dit vermindert de determinanten zodat een determinant van graad n, n determinanten van n-1 wordt. Als we deze regel achter elkaar toe te passen, kunnen we naar determinanten van dimensie 2 (2 x 2) of 3 (3 x 3), waar het veel gemakkelijker om te berekenen krijgen.

Sarrus-regel

Pierre Frederic Sarrus was een Franse wiskundige van de 19e eeuw. De meeste van zijn wiskundige verhandelingen zijn gebaseerd op methoden voor het oplossen van vergelijkingen en het berekenen van variaties, binnen de numerieke vergelijkingen.

In een van zijn verhandelingen loste hij een van de meest complexe raadsels van de mechanica op. Om de problemen van de gelede delen op te lossen, introduceerde Sarrus de transformatie van alternatieve rechtlijnige bewegingen, in uniforme cirkelvormige bewegingen. Dit nieuwe systeem staat bekend als het Sarrus-mechanisme.

Onderzoek dat meer eer gaf deze wiskundige degene die een nieuwe berekeningsmethode ingevoerd voor het bepalen, in het artikel "Nouvelles methodes pour la résolution des Equations" (Nieuwe methode voor het oplossen van vergelijkingen), die in de publicatie jaar 1833. Deze manier om lineaire vergelijkingen op te lossen, staat bekend als de regel van Sarrus.

Sarrus regel de determinant van een matrix van 3 x 3 berekenen zonder de Laplace expansie, introduceren veel meer eenvoudige en intuïtieve werkwijze. Om de waarde van de Sarrus-regel te kunnen controleren, nemen we elke matrix van dimensie 3:

De berekening van de bepalende factor zou worden uitgevoerd door het product van de hoofddiagonalen, waarbij het product wordt afgetrokken van de inverse diagonalen. Dit zou als volgt zijn:

De Sarrus-regel stelt ons in staat om een ​​veel eenvoudiger zicht te krijgen bij het berekenen van de diagonalen van de determinant. Het zou vereenvoudigd worden door de eerste twee kolommen aan de achterkant van de matrix toe te voegen. Op deze manier kunt u duidelijker zien wat uw belangrijkste diagonalen zijn en wat de omgekeerde zijn, voor de berekening van het product.

Via deze afbeelding kunnen we de toepassing van de Sarrus-regel zien, we nemen rij 1 en 2 op, onder de grafische weergave van de initiële matrix. Op deze manier zijn de belangrijkste diagonalen de drie diagonalen die op de eerste plaats verschijnen.

De drie omgekeerde diagonalen zijn op hun beurt degene die het eerst achterin verschijnen.

Dus de diagonalen weergegeven in een visuele manier, zonder complicerende de resolutie van de determinant, proberen te achterhalen welke elementen van de matrix behoren tot elke diagonale.

Zoals het in de afbeelding wordt weergegeven, kiezen we de diagonalen en berekenen we het resulterende product van elke functie. De diagonalen die in blauw verschijnen, zijn diagonalen die optellen. Tot de som hiervan trekken we de waarde van de diagonalen af ​​die in rood verschijnen.

Om compressie te vergemakkelijken, kunnen we een numeriek voorbeeld gebruiken in plaats van algebraïsche termen en subtermen te gebruiken.

Als we een matrix van 3 × 3 nemen, bijvoorbeeld:

Om de Sarrus-regel toe te passen en op een meer visuele manier op te lossen, moeten we rij 1 en 2 opnemen, respectievelijk in rij 4 en 5. Het is belangrijk om rij 1 op de 4e positie te houden en rij 2 op de 5e positie. Omdat als we ze ruilen, de Sarrus-regel niet effectief is.

Om de determinant te berekenen, ziet onze matrix er als volgt uit:

Om door te gaan met de berekening, vermenigvuldigen we de elementen van de hoofddiagonalen. De dalende degenen die beginnen met links, zullen een positief teken nemen; terwijl de omgekeerde diagonalen, die beginnen aan de rechterkant, een negatief teken hebben.

In dit voorbeeld zouden de blauwe met een positief teken gaan en de rode met een negatief teken. De uiteindelijke berekening van de Sarrus-regel ziet er als volgt uit:

Typen determinanten

Bepalend voor dimensie 1

Als de dimensie van de matrix 1 is, is de matrix van deze vorm: A = (a)

Daarom is de bepalende factor als volgt: det (A) = | A | = a

Samenvattend is de determinant van matrix A gelijk aan de absolute waarde van matrix A, die in dit geval een is.

Bepalend voor dimensie 2

Als we naar matrices van dimensie 2 gaan, krijgen we matrices van het type:

Waar de bepalende factor wordt gedefinieerd als:

De resolutie van deze determinant is gebaseerd op de vermenigvuldiging van de hoofddiagonaal ervan, waarbij het product wordt afgetrokken van de inverse diagonaal.

Als mnemonische regel kunnen we het volgende diagram gebruiken om de bepalende factor te onthouden:

Bepalend voor dimensie 3

Als de dimensie van de matrix 3 is, zou de resulterende matrix van dit type zijn:

De determinant van deze matrix zou op deze manier via de Sarrus-regel worden opgelost:

referenties

1. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Een onderzoek naar de berekening van de determinanten van een 3 × 3-matrix. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Publicatie doorgeven.
6. Jesse Russell (2012) Rule of Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Inleiding tot lineaire algebra. ESIC Editorial.