Eenvoudige slingerbeweging, eenvoudige harmonische beweging

een slinger is een object (idealiter een puntmassa) opgehangen aan een draad (idealiter zonder massa) van een vast punt en dat oscilleert dankzij de zwaartekracht, die mysterieuze onzichtbare kracht die, onder andere, vast blijft zitten aan het universum.

De pendelende beweging is die van een object van de ene naar de andere kant, hangend aan een vezel, kabel of draad. De krachten die in deze beweging ingrijpen, zijn de combinatie van de zwaartekracht (verticaal, naar het midden van de aarde) en de spanning van de draad (richting van de draad).

Het is wat slingerklokken doen (vandaar de naam) of schommels in de speeltuin. In een ideale slinger zou de oscillerende beweging onafgebroken doorgaan. In een echte slinger eindigt de beweging echter na verloop van tijd als gevolg van wrijving met de lucht.

Het denken aan een slinger maakt het onvermijdelijk om het beeld op te roepen van de pendelklok, de herinnering aan die oude en imposante klok van het landhuis van de grootouders. Of misschien het verhaal van Edgar Allan Poe's van terreur, De put en de slinger waarvan het verhaal is geïnspireerd door een van de vele martelmethodes die door de Spaanse Inquisitie werden gebruikt.

De waarheid is dat de verschillende soorten slingers verschillende toepassingen hebben die verder gaan dan de meettijd, zoals bijvoorbeeld de versnelling van de zwaartekracht op een bepaalde plaats bepalen en zelfs de rotatie van de aarde laten zien, net als de Franse fysicus Jean Bernard Léon Foucault.

index

• 1 De eenvoudige slinger en de eenvoudige harmonische trilbeweging
  • 1.1 Eenvoudige slinger
  • 1.2 Eenvoudige harmonische beweging
  • 1.3 Dynamiek van de slingerbeweging
  • 1.4 Verplaatsing, snelheid en versnelling
  • 1.5 Maximumsnelheid en versnelling
• 2 Conclusie
• 3 referenties

De eenvoudige slinger en de eenvoudige harmonische trillende beweging

Eenvoudige slinger

De eenvoudige slinger, hoewel het een ideaal systeem is, maakt het mogelijk om een ​​theoretische benadering van de beweging van een slinger uit te voeren.

Hoewel de vergelijkingen van de beweging van een eenvoudige slinger enigszins gecompliceerd kunnen zijn, is de waarheid dat wanneer de amplitude (A), of verplaatsing van de evenwichtspositie, van de beweging klein is, deze kan worden benaderd met de vergelijkingen van een harmonische beweging eenvoudig dat niet overdreven ingewikkeld is.

Eenvoudige harmonische beweging

De eenvoudige harmonische beweging is een periodieke beweging, dat wil zeggen, het herhaalt zichzelf in de tijd. Verder is het een oscillerende beweging waarvan de oscillatie plaatsvindt rond een punt van evenwicht, dat wil zeggen een punt waarop het netto resultaat van de som van de krachten uitgeoefend op het lichaam nul is..

Op deze manier is een fundamentele karakteristiek van de beweging van de slinger de periode (T), die de tijd bepaalt die nodig is om een ​​volledige cyclus (of volledige oscillatie) uit te voeren. De periode van een slinger wordt bepaald door de volgende uitdrukking:

zijn, l = de lengte van de slinger; en, g = de waarde van de versnelling van de zwaartekracht.

Een magnitude gerelateerd aan de periode is de frequentie (f), die het aantal cycli bepaalt dat de slinger in een seconde aflegt. Op deze manier kan de frequentie worden bepaald uit de periode met de volgende expressie:

Dynamiek van de slingerbeweging

De krachten die in de beweging ingrijpen zijn het gewicht, of wat hetzelfde is, de zwaartekracht (P) en de spanning van de draad (T). De combinatie van deze twee krachten is de oorzaak van de beweging.

Terwijl de spanning altijd in de richting van de draad of het touw wordt gericht die de massa met het vaste punt verbindt en daarom is het niet nodig om het te ontbinden; het gewicht wordt altijd verticaal gericht naar het massamidden van de aarde, en daarom is het nodig om het te ontbinden in zijn tangentiële en normale of radiale componenten.

De tangentiële component van gewicht P_t = mg sen θ, terwijl het normale gewichtscomponent P is_N = mg cos θ. Deze tweede wordt gecompenseerd met de spanning van de draad; De tangentiële component van het gewicht dat als een herstelkracht fungeert, is daarom de eindverantwoordelijke voor de beweging.

Verplaatsing, snelheid en versnelling

De verplaatsing van een eenvoudige harmonische beweging, en dus van de slinger, wordt bepaald door de volgende vergelijking:

x = A ω cos (ω t + θ₀)

waarbij ω = de hoeksnelheid van de rotatie is; t = is tijd; en, θ₀ = is de beginfase.

Op deze manier kunt u met deze vergelijking op elk moment de slingerpositie bepalen. In dit opzicht is het interessant om enkele relaties tussen enkele van de magnitudes van eenvoudige harmonische beweging te benadrukken.

ω = 2 Π / T = 2 Π / f

Aan de andere kant wordt de formule die de snelheid van de slinger bepaalt als functie van de tijd verkregen door de verplaatsing af te leiden als een functie van de tijd, dus:

v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ₀)

Op dezelfde manier voortgaand, verkrijgen we de uitdrukking van de versnelling met betrekking tot tijd:

a = dv / dt = - A ω² cos (ω t + θ₀)

Maximale snelheid en versnelling

Terwijl ze zowel de uitdrukking van snelheid als versnelling waarnemen, worden enkele interessante aspecten van de slingerbeweging op prijs gesteld.

De snelheid neemt zijn maximale waarde in de evenwichtsstand, op welk moment de versnelling nul is, omdat, zoals hierboven reeds vermeld, op dat moment de netto kracht nul is..

Aan de andere kant gebeurt het tegenovergestelde aan de uiterste punten van de verplaatsing, waarbij de versnelling de maximale waarde aanneemt en de snelheid een nulwaarde heeft.

Uit de vergelijkingen van snelheid en versnelling is het eenvoudig om zowel de maximumsnelheidmodule als de maximale versnellingsmodule af te leiden. Neem eenvoudig de maximaal mogelijke waarde voor zowel de sen (ω t + θ₀) als voor de cos (ω t + θ₀), wat in beide gevallen 1 is.

│v_max │ = A ω

│a_max│ = A ω²

Het moment waarop de slinger de maximale snelheid bereikt, is wanneer deze het evenwichtspunt van krachten passeert sindsdien sin (ω t + θ₀) = 1. Integendeel, de maximale versnelling wordt aan beide uiteinden van de beweging sindsdien bereikt cos (ω t + θ₀) = 1

conclusie

Een slinger is een gemakkelijk object om te ontwerpen en in uiterlijk met een eenvoudige beweging hoewel de waarheid is dat op de achtergrond het veel complexer is dan het lijkt.

Wanneer de aanvankelijke amplitude echter klein is, kan de beweging ervan worden verklaard met vergelijkingen die niet buitengewoon gecompliceerd zijn, gegeven dat deze kan worden benaderd met de vergelijkingen van een eenvoudige harmonische vibrerende beweging..

De verschillende typen pendels die bestaan, hebben verschillende toepassingen voor zowel het dagelijks als wetenschappelijk gebied.

referenties

1. Van Baak, Tom (november 2013). "Een nieuwe en prachtige vergelijking van de slingerperioden". Horological Science Nieuwsbrief. 2013 (5): 22-30.
2. Pendulum. (N.D.). In Wikipedia. Opgehaald op 7 maart 2018, via en.wikipedia.org.
3. Pendulum (wiskunde). (N.D.). In Wikipedia. Opgehaald op 7 maart 2018, via en.wikipedia.org.
4. Llorente, Juan Antonio (1826). De geschiedenis van de inquisitie van Spanje. Verkort en vertaald door George B. Whittaker. Oxford University. pp. XX, voorwoord.
5. Poe, Edgar Allan (1842). De put en de slinger. Booklassic. ISBN 9635271905.