Delen:
Historische achtergrond van analytische meetkunde
de Historische achtergrond van analytische meetkunde ze gaan terug tot de 17e eeuw, toen Pierre de Fermat en René Descartes hun fundamentele idee definieerden. Zijn uitvinding volgde de modernisering van de algebra en de algebraïsche notatie van François Viète.
Dit veld heeft zijn basis in het oude Griekenland, vooral in de werken van Apollonius en Euclid, die een grote invloed hadden op dit gebied van de wiskunde.
Het essentiële idee achter de analytische meetkunde is dat een relatie tussen twee variabelen, zodat de ene een functie is van de ander, een curve definieert.
Dit idee werd voor het eerst ontwikkeld door Pierre de Fermat. Dankzij dit essentiële kader konden Isaac Newton en Gottfried Leibniz de berekening ontwikkelen.
De Franse filosoof Descartes ontdekte ook een algebraïsche benadering van de geometrie, blijkbaar alleen. Descartes 'werk over geometrie verschijnt in zijn beroemde boek Toespraak van de methode.
In dit boek wordt aangegeven dat het kompas en de geometrische constructies van rechte randen betrekking hebben op de optelling, de aftrekking, de vermenigvuldiging en de vierkantswortels.
Analytische geometrie vertegenwoordigt de vereniging van twee belangrijke tradities in de wiskunde: geometrie als de studie van vorm, en rekenkunde en algebra, die te maken hebben met kwantiteit of aantallen. Daarom is analytische geometrie de studie van het veld van geometrie met behulp van coördinatensystemen.
geschiedenis
Achtergrond van analytische meetkunde
De relatie tussen geometrie en algebra is geëvolueerd in de geschiedenis van de wiskunde, hoewel de geometrie eerder volwassen is geworden.
Bijvoorbeeld, de Griekse wiskundige Euclid was in staat om veel resultaten te organiseren in zijn klassieke boek De elementen.
Maar het was de oude Griekse Apollonius van Perga die de ontwikkeling van de analytische meetkunde in zijn boek voorspelde conisch. Hij definieerde een kegelsnede als de kruising tussen een kegel en een vlak.
Met behulp van de resultaten van Euclid in gelijkaardige driehoeken en cirkeldroging, vond hij een relatie gegeven door de afstanden vanaf elk punt "P" van een kegelsnede tot twee loodrechte lijnen, de hoofdas van een kegel en de raaklijn aan een laatste punt van de as. Apollonius gebruikte deze relatie om fundamentele eigenschappen van conics af te leiden.
De daaropvolgende ontwikkeling van coördinatenstelsels in de wiskunde ontstond pas nadat de algebra was gerijpt dankzij islamitische en Indiase wiskundigen.
Tot de Renaissance-geometrie werd gebruikt om oplossingen voor algebraïsche problemen te rechtvaardigen, maar er was niet veel dat de algebra kon bijdragen aan de geometrie.
Deze situatie zou veranderen met de goedkeuring van een handige notatie voor algebraïsche relaties en de ontwikkeling van het concept van een wiskundige functie, die nu mogelijk was.
XVI eeuw
Aan het einde van de zestiende eeuw introduceerde de Franse wiskundige François Viète de eerste systematische algebraïsche notatie, met behulp van letters om numerieke hoeveelheden weer te geven, zowel bekend als onbekend.
Hij ontwikkelde ook krachtige algemene methoden voor het werken met algebraïsche uitdrukkingen en het oplossen van algebraïsche vergelijkingen.
Dankzij dit waren wiskundigen niet volledig afhankelijk van geometrische figuren en geometrische intuïtie om problemen op te lossen.
Zelfs sommige wiskundigen begonnen af te stappen van de standaard geometrische manier van denken, volgens welke de lineaire variabelen van lengtes en vierkanten overeenkomen met gebieden, terwijl de kubieke lijn overeenkomt met de volumes.
De eerste om deze stap te zetten waren de filosoof en wiskundige René Descartes, en de advocaat en wiskundige Pierre de Fermat.
Oprichting van analytische meetkunde
Descartes en Fermat richtten onafhankelijk de analytische meetkunde op in de jaren 1630 door de Viète-algebra te gebruiken voor de studie van de geometrische locus..
Deze wiskundigen realiseerden zich dat algebra een instrument was van grote kracht in geometrie en uitvonden wat tegenwoordig bekend staat als analytische meetkunde.
Een vooruitgang die ze maakten was om Viète te overwinnen door letters te gebruiken om afstanden te representeren die variabel zijn in plaats van vast..
Descartes gebruikte vergelijkingen om de geometrisch gedefinieerde curven te bestuderen en benadrukte de noodzaak om de algemene algebraïsche-grafische curven van polynomiale vergelijkingen in de graden "x" en "y" te beschouwen..
Fermat benadrukte van zijn kant dat elke relatie tussen de coördinaten "x" en "en" een curve bepaalt.
Met behulp van deze ideeën, herstructureerde hij de uitspraken van Apollonius over algebraïsche termen en herstelde hij enkele van zijn verloren werken..
Fermat gaf aan dat elke kwadratische vergelijking in "x" en "y" in de standaardvorm van een van de kegelsneden kan worden geplaatst. Desondanks heeft Fermat zijn werk over dit onderwerp nooit gepubliceerd.
Dankzij zijn vorderingen, wat Archimedes alleen met grote moeite kon oplossen en voor geïsoleerde gevallen, konden Fermat en Descartes het snel oplossen en voor een groot aantal curven (nu bekend als algebraïsche krommen).
Maar zijn ideeën werden pas algemeen aanvaard door de inspanningen van andere wiskundigen in de tweede helft van de zeventiende eeuw.
Wiskundigen Frans van Schooten, Florimond de Beaune en Johan de Witt hielpen het werk van Decartes uit te breiden en voegden belangrijk aanvullend materiaal toe.
invloed
In Engeland heeft John Wallis analytische geometrie gepopulariseerd. Hij gebruikte vergelijkingen om de kegelsneden te definiëren en hun eigenschappen af te leiden. Hoewel hij vrijelijk negatieve coördinaten gebruikte, was het Isaac Newton die twee schuine assen gebruikte om het vliegtuig in vier kwadranten te verdelen.
Newton en de Duitse Gottfried Leibniz revolutioneerden de wiskunde aan het einde van de 17e eeuw door onafhankelijk de kracht van berekening te tonen.
Newton heeft het belang aangetoond van analytische methoden in de geometrie en de rol ervan in calculus, toen hij beweerde dat elke kubus (of een derde graad algebraïsche curve) drie of vier standaardvergelijkingen heeft voor geschikte coördinaatassen. Met de hulp van Newton zelf bewees de Schotse wiskundige John Stirling het in 1717.
Analytische geometrie van drie en meer dimensies
Hoewel zowel Descartes als Fermat suggereerden om drie coördinaten te gebruiken om curves en oppervlakken in de ruimte te bestuderen, ontwikkelde de driedimensionale analytische geometrie zich langzaam tot 1730..
De wiskundigen Euler, Hermann en Clairaut produceerden algemene vergelijkingen voor cilinders, kegels en oppervlakken van revoluties.
Euler gebruikte bijvoorbeeld vergelijkingen voor vertalingen in de ruimte om het algemene kwadratische oppervlak te transformeren, zodat de hoofdassen ervan samenvielen met de gecoördineerde assen.
Euler, Joseph-Louis Lagrange en Gaspard Monge hebben de analytische geometrie onafhankelijk gemaakt van synthetische geometrie (niet-analytisch).
referenties
- De ontwikkeling van analytische meetkunde (2001). Hersteld van encyclopedia.com
- Geschiedenis van analytische meetkunde (2015). Hersteld van maa.org
- Analyse (wiskunde). Hersteld van britannica.com
- Analytische geometrie. Hersteld van britannica.com
- Descartes en de geboorte van analytische meetkunde. Hersteld van sciencedirect.com