Delen:
Hoe de zijden en hoeken van een driehoek berekenen?
Er zijn verschillende manieren om bereken de zijden en hoeken van een driehoek. Deze hangen af van het type driehoek waarmee u werkt.
In deze gelegenheid laten we zien hoe de zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek worden berekend, ervan uitgaande dat bepaalde driehoeksgegevens bekend zijn.
De elementen die zullen worden gebruikt zijn:
- De stelling van Pythagoras
Gegeven een rechthoekige driehoek met benen "a", "b" en hypotenusa "c", is het waar dat "c² = a² + b²".
- Gebied van een driehoek
De formule voor het berekenen van het gebied van een willekeurige driehoek is A = (b × h) / 2, waarbij "b" de lengte van de basis is en "h" de lengte van de hoogte.
- Hoeken van een driehoek
De som van de drie interne hoeken van een driehoek is 180º.
- De trigonometrische functies:
Overweeg een rechthoekige driehoek. Vervolgens worden de sinus-, cosinus- en tangensgoniometrische functies van de bèta-hoek (β) als volgt gedefinieerd:
sin (β) = CO / Heup, cos (β) = CA / Heup en tan (β) = CO / CA.
Hoe de zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek te berekenen?
Met een rechthoekige driehoek ABC kunnen de volgende situaties zich voordoen:
1- De twee benen zijn bekend
Als de cathetus "a" 3 cm meet en de cathetus "b" 4 cm, dan wordt voor het berekenen van de waarde van "c" de stelling van Pythagoras gebruikt. Bij vervanging van de waarden "a" en "b" wordt het resultaat verkregen dat c² = 25 cm², wat betekent dat c = 5 cm.
Nu, als de hoek β tegenovergesteld is aan de cathetus "b", dan is sin (β) = 4/5. Bij het toepassen van de inverse sinusfunctie verkrijgen we in deze laatste gelijkheid β = 53,13º. Twee interne hoeken van de driehoek zijn al bekend.
Laat θ de hoek zijn die nog moet worden gekend, dan 90º + 53,13º + θ = 180º, waaruit we die θ = 36,87º halen.
In dit geval is het niet nodig dat de bekende zijden de twee benen zijn, het belangrijkste is om de waarde van elke twee zijden te kennen.
2- Een cathetus en het gebied is bekend
Laat a = 3 cm het bekende been en A = 9 cm² het gebied van de driehoek.
In een rechthoekige driehoek kan een been worden beschouwd als een basis en de andere als hoogte (omdat ze loodrecht zijn).
Stel dat "a" de basis is, dus 9 = (3 x h) / 2, waaruit wordt afgeleid dat de andere katheter 6 cm meet. Om de hypotenusa te berekenen, gaan we verder zoals in het vorige geval, en we verkrijgen dat c = √ 45 cm.
Nu, als de hoek β tegenover het been "a" ligt, dan is sin (β) = 3 / √45. Bij het opruimen van β verkrijgen we dat de waarde 26.57º is. Het blijft alleen maar de waarde van de derde hoek θ kennen.
Hij is tevreden dat 90º + 26,57º + θ = 180º, waaruit wordt geconcludeerd dat θ = 63,43º.
3- Een hoek en een been zijn bekend
Laat β = 45 ° de bekende hoek en a = 3 cm het bekende been, waarbij het been "a" tegenover de hoek β staat. Met behulp van de formule van de tangens, verkrijgen we die tg (45º) = 3 / CA, waaruit blijkt dat CA = 3 cm.
Met behulp van de stelling van Pythagoras krijgen we dat c² = 18 cm², dat wil zeggen, c = 3√2 cm.
Het is bekend dat een hoek 90º meet en dat β 45º meet, waaruit wordt geconcludeerd dat de derde hoek 45º is.
In dit geval hoeft de bekende zijde geen poot te zijn, dit kan een van de drie zijden van de driehoek zijn.
referenties
- Landaverde, F. d. (1997). geometrie (Reprint ed.). vooruitgang.
- Leake, D. (2006). driehoeken (geïllustreerd ed.). Heinemann-Raintree.
- Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). geometrieën. CR-technologie.
- Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Goniometrie en analytische meetkunde. Pearson Education.