Polynomiale vergelijkingen (met opgeloste oefeningen)



de veeltermvergelijkingen zijn een verklaring die de gelijkheid van twee uitdrukkingen of leden verhoogt, waarbij ten minste een van de termen die beide kanten van gelijkheid vormen polynomen P (x) zijn. Deze vergelijkingen worden genoemd naar de mate van hun variabelen.

Over het algemeen is een vergelijking een verklaring die de gelijkheid van twee uitdrukkingen vaststelt, waarbij in ten minste één van deze uitdrukkingen onbekende grootheden voorkomen, die variabelen of onbekenden worden genoemd. Hoewel er vele soorten vergelijkingen zijn, worden ze over het algemeen ingedeeld in twee typen: algebraïsch en transcendent.

Polynomiale vergelijkingen bevatten alleen algebraïsche uitdrukkingen, die mogelijk een of meer onbekenden in de vergelijking hebben. Volgens de exponent (graden) zij die kunnen worden ingedeeld in eerstegraads (lineair), tweede graad (kwadratische), derdegraads (kubische), vierde klas (quartaire) van graad groter dan of gelijk aan vijf en irrationele.

index

  • 1 Kenmerken
  • 2 soorten
    • 2.1 Eerste leerjaar
    • 2.2 Tweede graad
    • 2.3 Resolver
    • 2.4 Hoger niveau
  • 3 Oefeningen opgelost
    • 3.1 Eerste oefening
    • 3.2 Tweede oefening
  • 4 Referenties

features

Polynomiale vergelijkingen zijn uitdrukkingen die worden gevormd door een gelijkheid tussen twee polynomen; dat wil zeggen, door de eindige sommen van vermenigvuldigingen tussen waarden die onbekend zijn (variabelen) en vaste getallen (coëfficiënten), waarbij de variabelen exponenten kunnen hebben, en hun waarde een positief geheel getal kan zijn, inclusief nul.

De exponenten bepalen de mate of het type vergelijking. Die term van de uitdrukking met de hoogste waarde exponent vertegenwoordigt de absolute graad van de polynoom.

Polynomiale vergelijkingen zijn ook bekend als algebraïsche vergelijkingen, hun coëfficiënten kunnen reële of complexe getallen zijn en variabelen zijn onbekende getallen voorgesteld door een letter, zoals: "x".

Bij vervanging van een waarde voor de variabele "x" in P (x) het resultaat nul (0), dan wordt gezegd dat deze waarde voldoet aan de vergelijking (het is een oplossing), en wordt meestal aangeduid wortel van het polynoom.

Wanneer een polynomiale vergelijking is ontwikkeld, wil je alle wortels of oplossingen vinden.

type

Er zijn verschillende soorten polynomiale vergelijkingen, die worden gedifferentieerd volgens het aantal variabelen, en ook volgens hun mate van exponent.

Aldus veeltermvergelijkingen, waarbij de eerste term is een polynoom die één onbekende heeft, terwijl de mate elk natuurlijk getal (n) en de tweede term kan nul, kan worden uitgedrukt als volgt:

naarn * Xn + naarn-1 * Xn-1 +... + a1 * X1 + naar0 * X0 = 0

waarbij:

- naarn, naarn-1 en a0, het zijn reële coëfficiënten (cijfers).

- naarn het is anders dan nul.

- De exponent n is een positief geheel getal dat de mate van de vergelijking vertegenwoordigt.

- x is de variabele of onbekend die gezocht moet worden.

De absolute of hogere graad van een polynomiale vergelijking is die exponent van grotere waarde onder al degenen die de veelterm vormen; op die manier worden de vergelijkingen geclassificeerd als:

Eerste leerjaar

Veeltermvergelijkingen van de eerste graad, ook bekend als lineaire vergelijkingen, die waarbij de mate (het grootste exponent) gelijk is aan 1, de polynoom van de vorm P (x) = 0; en het is samengesteld uit een lineaire term en een onafhankelijke term. Het is als volgt geschreven:

bijl + b = 0.

waarbij:

- a en b zijn reële getallen en een ≠ 0.

- bijl is de lineaire term.

- b is de onafhankelijke term.

Bijvoorbeeld, de vergelijking 13x - 18 = 4x.

Om lineaire vergelijkingen op te lossen, moeten alle termen die de onbekende x bevatten worden doorgegeven aan één kant van de gelijkheid, en diegene die niet hebben, worden naar de andere kant verplaatst om het te wissen en een oplossing te verkrijgen:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Op die manier heeft de gegeven vergelijking een enkele oplossing of root, die x = 2 is.

Tweede leerjaar

Veeltermvergelijkingen tweede graad, ook bekend als kwadratische vergelijkingen, die waarbij de mate (het grootste exponent) gelijk is aan 2, de polynoom van de vorm P (x) = 0, en bestaat uit een kwadratische term , één lineair en één onafhankelijk. Het wordt als volgt uitgedrukt:

bijl2 + bx + c = 0.

waarbij:

- a, b en c zijn reële getallen en een ≠ 0.

- bijl2 is de kwadratische term en "a" is de coëfficiënt van de kwadratische term.

- bx is de lineaire term en "b" is de coëfficiënt van de lineaire term.

- c is de onafhankelijke term.

resolvente

Over het algemeen wordt de oplossing voor dit type vergelijkingen gegeven door x uit de vergelijking te halen en deze wordt als volgt achtergelaten, een resolver genoemd:

Daar, (b2 - 4ac) wordt de discriminant van de vergelijking genoemd en deze uitdrukking bepaalt het aantal oplossingen dat de vergelijking kan hebben:

- Ja (b2 - 4ac) = 0, de vergelijking heeft een enkele oplossing die dubbel is; dat wil zeggen, je zult twee gelijke oplossingen hebben.

- Ja (b2 - 4ac)> 0 heeft de vergelijking twee verschillende echte oplossingen.

- Ja (b2 - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

U hebt bijvoorbeeld de vergelijking 4x2 + 10x - 6 = 0, om het op te lossen, identificeer eerst de termen a, b en c en vervang het in de formule:

a = 4

b = 10

c = -6.

Er zijn gevallen waarin polynomiale vergelijkingen van de tweede graad niet de drie termen hebben, en dat is waarom ze anders zijn opgelost:

- In het geval dat de kwadratische vergelijkingen niet de lineaire term hebben (dat wil zeggen, b = 0), wordt de vergelijking uitgedrukt als bijl2 + c = 0. Om het op te lossen, wordt het gewist x2 en de vierkantswortels worden toegepast in elk lid, bedenkend dat de twee mogelijke tekens die het onbekende kan hebben in overweging worden genomen:

bijl2 + c = 0.

X2 = - c ÷ a

Bijvoorbeeld 5 x2 - 20 = 0.

5 x2 = 20

X2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

X1 = 2.

X2 = -2.

- Wanneer de kwadratische vergelijking geen onafhankelijke term heeft (dwz, c = 0), wordt de vergelijking uitgedrukt als bijl2 + bx = 0. Om dit op te lossen, moeten we de gemeenschappelijke factor van de onbekende x in het eerste lid extraheren; aangezien de vergelijking gelijk is aan nul, is het waar dat ten minste één van de factoren gelijk is aan 0:

bijl2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Op die manier moet je:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Bijvoorbeeld: u hebt de vergelijking 5x2 + 30x = 0. Eerste factor:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Er worden twee factoren gegenereerd die x en (5x + 30) zijn. Er wordt van uitgegaan dat een van deze nul zal zijn en de andere oplossing zal worden gegeven:

X1 = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

X2 = -6.

Grote graad

De veeltermvergelijkingen zijn die welke gaan vanaf de derde graad, die kunnen worden uitgedrukt of opgelost met de algemene polynomiale vergelijking voor elke graad:

naarn * Xn + naarn-1 * Xn-1 +... + a1 * X1 + naar0 * X0 = 0

Dit wordt gebruikt omdat een vergelijking met een graad groter dan twee het resultaat is van de ontbinding van een polynoom; dat wil zeggen, het wordt uitgedrukt als de vermenigvuldiging van polynomen van graad één of meer, maar zonder echte wortels.

De oplossing van dit type vergelijkingen is direct, omdat de vermenigvuldiging van twee factoren gelijk is aan nul als een van de factoren nul is (0); daarom moet elk van de gevonden polynomiale vergelijkingen worden opgelost, waarbij elk van zijn factoren op nul wordt afgestemd.

U hebt bijvoorbeeld de vergelijking van de derde graad (kubieke) x3 + X2 +4x + 4 = 0. Om het op te lossen, moeten de volgende stappen worden gevolgd:

- De voorwaarden zijn gegroepeerd:

X3 + X2 +4x + 4 = 0

(x3 + X2 ) + (4x + 4) = 0.

- De ledematen worden afgebroken om de gemeenschappelijke factor van het onbekende te krijgen:

X2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4)*(x + 1) = 0.

- Op deze manier worden twee factoren verkregen, die gelijk moeten zijn aan nul:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Het kan worden gezien dat de factor (x2 + 4) = 0 heeft geen echte oplossing, terwijl de factor (x + 1) = 0 ja. Daarom is de oplossing:

(x + 1) = 0

x = -1.

Opgeloste oefeningen

Los de volgende vergelijkingen op:

Eerste oefening

(2x2 + 5)*(x - 3)*(1 + x) = 0.

oplossing

In dit geval wordt de vergelijking uitgedrukt als de vermenigvuldiging van polynomen; dat wil zeggen, het is in rekening gebracht. Om het op te lossen, moet elke factor gelijk zijn aan nul:

- 2x2 + 5 = 0, heeft geen oplossing.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

De gegeven vergelijking heeft dus twee oplossingen: x = 3 en x = -1.

Tweede oefening

X4 - 36 = 0.

oplossing

Het kreeg een polynoom, dat herschreven kan worden als een verschil in vierkanten om tot een snellere oplossing te komen. Dus de vergelijking blijft:

(x2 + 6)*(x2 - 6) = 0.

Om de oplossing van de vergelijkingen te vinden, zijn beide factoren gelijk aan nul:

(x2 + 6) = 0, heeft geen oplossing.

(x2 - 6) = 0

X2 = 6

x = ± √6.

De initiële vergelijking heeft dus twee oplossingen:

x = √6.

x = - √6.

referenties

  1. Andres, T. (2010). Wiskundige Olympiade Tresure. Springer. New York.
  2. Angel, A. R. (2007). Elementaire algebra Pearson Education,.
  3. Baer, ​​R. (2012). Lineaire algebra en projectieve meetkunde. Courier Corporation.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultuur.
  5. Castaño, H. F. (2005). Wiskunde vóór de berekening. Universiteit van Medellin.
  6. Cristóbal Sánchez, M.R. (2000). Wiskundehandleiding voor Olympische voorbereiding. Universitat Jaume I.
  7. Kreemly Pérez, M.L. (1984). Superior Algebra I.
  8. Massara, N. C.-L. (1995). Wiskunde 3.