Factorisatiemethoden en voorbeelden

de factorisatie is een methode waarmee een polynoom wordt uitgedrukt in de vorm van vermenigvuldiging van factoren, die getallen, letters of beide kunnen zijn. Het ontbinden van factoren die gemeenschappelijk zijn voor de termen, is gegroepeerd en op deze manier wordt het polynoom ontbonden in verschillende polynomen.

Dus, wanneer de factoren elkaar vermenigvuldigen, is het resultaat het oorspronkelijke polynoom. Factoring is een zeer nuttige methode als u algebraïsche uitdrukkingen gebruikt, omdat het kan worden omgezet in de vermenigvuldiging van verschillende eenvoudige termen; Bijvoorbeeld: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Er zijn gevallen waarin een polynoom niet kan worden verwerkt omdat er geen gemeenschappelijke factor tussen de termen is; dus deze algebraïsche uitdrukkingen zijn alleen tussen zichzelf en door 1 deelbaar. Bijvoorbeeld: x + y + z.

In een algebraïsche uitdrukking is de gemene deler de grootste gemene deler van de termen die het samenstellen.

index

• 1 Factoringmethoden
  • 1.1 Factoring op basis van gemeenschappelijke factor
  • 1.2 Voorbeeld 1
  • 1.3 Voorbeeld 2
  • 1.4 Factoring door te groeperen
  • 1.5 Voorbeeld 1
  • 1.6 Factoring door inspectie
  • 1.7 Voorbeeld 1
  • 1.8 Voorbeeld 2
  • 1.9 Factoring met opmerkelijke producten
  • 1.10 Voorbeeld 1
  • 1.11 Voorbeeld 2
  • 1.12 Voorbeeld 3
  • 1.13 Factoring met de regel van Ruffini
  • 1.14 Voorbeeld 1
• 2 Referenties

Factoringmethoden

Er zijn verschillende factoringmethoden die afhankelijk van de situatie worden toegepast. Sommige hiervan zijn de volgende:

Factoring door gemeenschappelijke factor

In deze methode worden de meest voorkomende factoren geïdentificeerd; dat zijn degenen die worden herhaald in de termen van de uitdrukking. Vervolgens wordt de distributieve eigenschap toegepast, de maximale gemene deler verwijderd en de ontbinding voltooid.

Met andere woorden, de gemeenschappelijke expressiefactor wordt geïdentificeerd en elke term wordt ertussen verdeeld; de resulterende termen worden vermenigvuldigd met de grootste gemene deler om de ontbindingsfactor uit te drukken.

Voorbeeld 1

Factor (b²x) + (b²y).

oplossing

Eerst is er de gemeenschappelijke factor van elke term, die in dit geval b is², en dan zijn de voorwaarden als volgt verdeeld over de gemeenschappelijke factor:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

De ontbindingsfactor wordt uitgedrukt, waarbij de gemeenschappelijke factor wordt vermenigvuldigd met de resulterende termen:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Voorbeeld 2

Factorize (2a)²b³) + (3ab²).

oplossing

In dit geval hebben we twee factoren die in elke term worden herhaald die "a" en "b" zijn en die zijn verhoogd naar een macht. Om ze te factureren, worden eerst de twee termen uitgesplitst in hun lange vorm:

2_*naar_*naar_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Er kan worden waargenomen dat de factor "a" slechts eenmaal in de tweede term wordt herhaald en de factor "b" daarin tweemaal wordt herhaald; dus in de eerste term is er slechts 2, een factor "a" en een "b"; terwijl in de tweede termijn er slechts 3 is.

Zo vaak je schrijft "a" en "b" worden herhaald en vermenigvuldigd met de factoren die elke term te sparen, zoals te zien in de afbeelding:

Factorisatie door groepering

Omdat niet altijd de maximale gemene deler van een polynoom duidelijk wordt uitgedrukt, is het noodzakelijk om andere stappen te nemen om het polynoom en dus de factor te kunnen herschrijven..

Een van deze stappen is om de termen van het polynoom te groeperen in verschillende groepen en vervolgens de methode met de gemeenschappelijke factor te gebruiken.

Voorbeeld 1

Factor ac + bc + ad + bd.

oplossing

Er zijn 4 factoren waar twee gebruikelijk zijn: in de eerste term is het "c" en in de tweede is het "d". Op deze manier worden de twee termen gegroepeerd en gescheiden:

(ac + bc) + (ad + bd).

Het is nu mogelijk om de gemeenschappelijke-factormethode toe te passen, waarbij elke term wordt gedeeld door zijn gemeenschappelijke factor en vervolgens die gemeenschappelijke factor wordt vermenigvuldigd met de resulterende termen, zoals deze:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nu krijg je een binomiaal die gebruikelijk is voor beide termen. Factor factor wordt vermenigvuldigd met de resterende factoren; op die manier moet je:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Factorisatie door inspectie

Deze methode wordt gebruikt voor het meten van kwadratische polynomen, ook trinomialen genoemd; dat zijn degenen die gestructureerd zijn als bijl² ± bx + c, waarbij de waarde van "a" anders is dan 1. Deze methode wordt ook gebruikt als de trinominaal de vorm x heeft² ± bx + c en de waarde van "a" = 1.

Voorbeeld 1

Factor x² + 5x + 6.

oplossing

U hebt een kwadratische trinominaal van de vorm x² ± bx + c. Om er eerst rekening mee te houden, moet je twee getallen vinden die, bij vermenigvuldiging, als resultaat de waarde van "c" geven (dat wil zeggen 6) en dat de som gelijk is aan de coëfficiënt "b", die 5 is. Die getallen zijn 2 en 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Op deze manier is de uitdrukking op deze manier vereenvoudigd:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Elke term is verwerkt:

- Voor (x² + 2x) de gemeenschappelijke term wordt geëxtraheerd: x (x + 2)

- Voor (3x + 6) = 3 (x + 2)

Dus de uitdrukking blijft:

x (x +2) + 3 (x +2).

Omdat je een gemeenschappelijke binomiaal hebt, vermenigvuldig je de expressie door de overtollige termen te vermenigvuldigen en moet je:

X² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Voorbeeld 2

Factor 4a² + 12a + 9 = 0.

oplossing

Je hebt een kwadratische drievoudige vorm van de vormbijl² ± bx + c en om dit te factor wordt de uitdrukking vermenigvuldigd met de coëfficiënt van x²; in dit geval 4.

de 4e² + 12a +9 = 0

de 4e² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² naar² + 12a (4) + 36 = 0

Nu moeten we twee getallen vinden die, als ze vermenigvuldigd worden, als resultaat de waarde van "c" (dat is 36) geven en dat ze bij optelling de coëfficiënt van de term "a" geven, wat 6 is.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Op deze manier wordt de uitdrukking herschreven, rekening houdend met dat² naar² = 4a _* 4A. Daarom wordt de distributieve eigenschap toegepast voor elke term:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Ten slotte wordt de uitdrukking gedeeld door de coëfficiënt van²; dat is 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

De uitdrukking is als volgt:

de 4e² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring met opmerkelijke producten

Er zijn gevallen waarin, om de polynomen volledig te factoriseren met de vorige methoden, het een zeer lang proces wordt.

Dat is de reden waarom een ​​uitdrukking kan worden ontwikkeld met de formules van de opmerkelijke producten en dus wordt het proces eenvoudiger. Een van de meest gebruikte opmerkelijke producten zijn:

- Verschil tussen twee vierkanten: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Perfect vierkant van een som: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Perfect vierkant van een verschil: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Verschil van twee kubussen: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Som van twee kubussen: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Voorbeeld 1

Factor (5² - X²)

oplossing

In dit geval is er een verschil van twee vierkanten; daarom wordt de formule van het opmerkelijke product toegepast:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - X²) = (5 - x) _* (5 + x)

Voorbeeld 2

Factor 16x² + 40x + 25²

oplossing

In dit geval hebben we een perfect vierkant van een som, omdat we twee termen in het kwadraat kunnen identificeren, en de resterende term is het resultaat van het vermenigvuldigen van twee met de vierkantswortel van de eerste term, met de vierkantswortel van de tweede term.

naar² + 2ab + b² = (a + b)²

Om te berekenen, worden alleen de vierkantswortels van de eerste en derde termen berekend:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Vervolgens worden de twee resulterende termen gescheiden door het teken van de bewerking en is het gehele polynoom gekwadrateerd:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Voorbeeld 3

Factor 27a³ - b³

oplossing

De uitdrukking vertegenwoordigt een aftrekking waarin twee factoren naar de kubus worden verhoogd. Om ze te factoriseren, wordt de formule van het opmerkelijke product van het kubusverschil toegepast, namelijk:

naar³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Dus om te ontbinden, wordt de kubieke wortel van elke term van de binomiaal geëxtraheerd en vermenigvuldigd met het kwadraat van de eerste term, plus het product van de eerste door de tweede term, plus de tweede term door de vierkant.

27e³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27e³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27e³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Factoring met de regel van Ruffini

Deze methode wordt gebruikt als u een veelterm met een graad groter dan twee heeft, om de uitdrukking te vereenvoudigen tot meerdere polynomen in mindere mate.

Voorbeeld 1

Factor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

oplossing

Zoek eerst naar de getallen die delers zijn van 12, wat de onafhankelijke term is; deze zijn ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 en ± 12.

Dan wordt de x vervangen door deze waarden, van laagste naar hoogste, en dus wordt bepaald met welke van de waarden de deling exact zal zijn; dat wil zeggen, de rest moet 0 zijn:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

En zo verder voor elke scheidingslijn. In dit geval zijn de gevonden factoren voor x = -1 en x = 2.

Nu wordt de Ruffini-methode toegepast, volgens welke de coëfficiënten van de uitdrukking worden verdeeld over de factoren die voor de verdeling exact zijn. De polynoom-termen worden geordend van de hoogste naar de laagste exponent; in het geval dat een term met de graad die volgt in de reeks ontbreekt, wordt een 0 op zijn plaats geplaatst.

De coëfficiënten bevinden zich in een schema zoals te zien in de volgende afbeelding.

De eerste coëfficiënt wordt verlaagd en vermenigvuldigd met de deler. In dit geval is de eerste deler -1 en wordt het resultaat in de volgende kolom geplaatst. Vervolgens wordt de waarde van de coëfficiënt verticaal toegevoegd met het resultaat dat is verkregen en wordt het resultaat hieronder weergegeven. Op die manier wordt het proces herhaald tot de laatste kolom.

Vervolgens wordt dezelfde procedure opnieuw herhaald, maar dan met de tweede deler (wat 2 is) omdat de uitdrukking nog steeds kan worden vereenvoudigd.

Dus, voor elke verkregen wortel, zal de polynoom een ​​term (x - a) hebben, waarbij "a" de waarde van de wortel is:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Aan de andere kant moeten deze termen worden vermenigvuldigd met de rest van Ruffini's regel 1: 1 en -6, die factoren zijn die een cijfer vertegenwoordigen. Op deze manier is de uitdrukking die wordt gevormd: (x² + x - 6).

Het resultaat van de ontbinding van het polynoom door de Ruffini-methode is:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Om te eindigen kan de polynoom van graad 2 die in de vorige uitdrukking verschijnt, worden herschreven als (x + 3) (x-2). Daarom is de uiteindelijke ontbinding:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

referenties

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Kinderen leren over factoring naar polynomiaal.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Basis wiskunde met applicaties.
4. Roelse, P. L. (1997). Lineaire methoden voor polynomiale ontbinding in eindige velden: theorie en implementaties. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringen en Factorisatie.