Homothety-eigenschappen, typen en voorbeelden

de homotecia is een geometrische verandering in het vlak waarbij, vanaf een vast punt genaamd midden (O), de afstanden worden vermenigvuldigd met een gemeenschappelijke factor. Op deze manier komt elk punt P overeen met een ander punt P 'product van de transformatie, en deze zijn uitgelijnd met het punt O.

Dan is de homothety een overeenkomst tussen twee geometrische figuren, waarbij de getransformeerde punten homothetisch worden genoemd, en deze zijn uitgelijnd met een vast punt en met segmenten parallel aan elkaar.

index

• 1 Homotecia
• 2 Eigenschappen
• 3 soorten
  • 3.1 Directe homothety
  • 3.2 Omgekeerde homothety
• 4 Samenstelling
• 5 voorbeelden
  • 5.1 Eerste voorbeeld
  • 5.2 Tweede voorbeeld
• 6 Referenties

homotecia

De homothety is een transformatie die geen congruent beeld heeft, omdat van een figuur één of meer figuren van grotere of kleinere afmeting dan de oorspronkelijke figuur zullen worden verkregen; dat wil zeggen, dat de homothety een polygoon in een andere soortgelijke transformeert.

Om te voldoen aan de homothety moeten ze overeenkomen met punt en recht naar recht, zodat de paren van homologe punten zijn uitgelijnd met een derde vast punt, dat het centrum is van de homothety.

Op dezelfde manier moeten de paren lijnen die hen verbinden parallel zijn. De relatie tussen dergelijke segmenten is een constante die de homothetyverhouding (k) wordt genoemd; op zo'n manier dat de homothety gedefinieerd kan worden als:

Om dit type transformatie te maken, begin je met het kiezen van een willekeurig punt, dat het centrum van de homothety zal zijn.

Vanaf dit punt worden lijnsegmenten getekend voor elk hoekpunt van de figuur die moet worden getransformeerd. De schaal waarop de reproductie van de nieuwe figuur wordt uitgevoerd, wordt gegeven door de reden van de homothety (k).

eigenschappen

Een van de belangrijkste eigenschappen van homothety is dat, omwille van homothety (k), alle homothetische figuren vergelijkbaar zijn. Onder andere uitstekende eigenschappen zijn de volgende:

- Het centrum van de homothety (O) is het enige dubbele punt en het transformeert zichzelf; dat wil zeggen, het varieert niet.

- De lijnen die door het midden gaan, transformeren zichzelf (ze zijn dubbel), maar de punten die het samenstellen zijn niet dubbel.

- Straights die niet door het centrum gaan, worden omgezet in parallelle lijnen; op deze manier blijven de hoeken van homothety hetzelfde.

- Het beeld van een segment met een homothetrie van middelpunt O en verhouding k, is een segment evenwijdig hieraan en heeft k maal de lengte ervan. Bijvoorbeeld, zoals te zien is in de volgende afbeelding, zal een segment AB door homothetic resulteren in een ander segment A'B ', zodat AB parallel zal zijn aan A'B' en de k zal zijn:

- Homothetische hoeken zijn congruent; dat wil zeggen, ze hebben dezelfde maat. Daarom is het beeld van een hoek een hoek die dezelfde amplitude heeft.

Aan de andere kant varieert de homothetyiteit afhankelijk van de waarde van de verhouding (k) en de volgende gevallen kunnen zich voordoen:

- Als de constante k = 1, worden alle punten hersteld omdat ze zichzelf transformeren. Dus de homothetische figuur valt samen met het origineel en de transformatie zal de identiteitsfunctie worden genoemd.

- Als k ≠ 1, is het enige vaste punt het centrum van de homothety (O).

- Als k = -1, wordt de homothety een centrale symmetrie (C); dat wil zeggen, een rotatie rond C zal plaatsvinden onder een hoek van 180^of.

- Als k> 1 is de grootte van het getransformeerde cijfer groter dan het origineel.

- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Als k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

type

De homothety kan ook in twee typen worden ingedeeld, afhankelijk van de waarde van de verhouding (k):

Directe homothety

Het gebeurt als de constante k> 0; dat wil zeggen, de homothetische punten liggen aan dezelfde kant ten opzichte van het midden:

De factor van proportionaliteit of verhouding van gelijkenis tussen directe homothetische cijfers zal altijd positief zijn.

Reverse homothetic

Het gebeurt als de constante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

De factor van proportionaliteit of verhouding van gelijkenis tussen de homothetische inverse cijfers zal altijd negatief zijn.

samenstelling

Wanneer verschillende opeenvolgende bewegingen worden gemaakt totdat een cijfer wordt verkregen dat gelijk is aan het origineel, ontstaat een bewegingscompositie. De samenstelling van verschillende bewegingen is ook een beweging.

De compositie tussen twee homothecias resulteert in een nieuwe homothecia; dat wil zeggen, we hebben een homothetisch product waarin het centrum zal worden uitgelijnd met het centrum van de twee oorspronkelijke transformaties, en de ratio (k) is het product van de twee redenen.

Aldus in de samenstelling van twee H-homotheces₁(O₁, k₁) en H₂(O₂, k₂), vermenigvuldig uw redenen: k₁ x k₂ = 1 resulteert in een homothety van verhouding k₃ = K₁ x k₂. Het centrum van deze nieuwe homothety (O₃) bevindt zich op de O-straat₁ O₂.

De homothety komt overeen met een vlakke en onomkeerbare verandering; als twee homo's worden toegepast die hetzelfde centrum en dezelfde verhouding hebben maar met een ander teken, wordt de oorspronkelijke figuur verkregen.

Voorbeelden

Eerste voorbeeld

Breng een homothety aan op de gegeven middelste veelhoek (O), op 5 cm van punt A en de verhouding is k = 0.7.

oplossing

Elk punt wordt gekozen als het centrum van de homothety, en van deze straal worden getrokken door de hoekpunten van de figuur:

De afstand van middelpunt (O) tot punt A is OA = 5; hiermee kun je de afstand van een van de homothetische punten (OA ') bepalen, ook wetende dat k = 0.7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Het proces kan voor elk hoekpunt worden uitgevoerd, of u kunt ook de homothetische polygoon tekenen, waarbij u onthoudt dat de twee polygonen parallelle zijden hebben:

Eindelijk ziet de transformatie er als volgt uit:

Tweede voorbeeld

Pas een homothety aan op de gegeven middelste veelhoek (O), gelegen op 8,5 cm van punt C en wiens y-verhouding k = -2.

oplossing

De afstand van middelpunt (O) tot punt C is OC = 8,5; met deze gegevens is het mogelijk om de afstand van een van de homothetische punten (OC ') te bepalen, wetende dat k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Na het tekenen van de segmenten van de hoekpunten van de getransformeerde veelhoek, hebben we dat de beginpunten en hun homothetics zich in de tegenovergestelde uiteinden bevinden ten opzichte van het midden:

referenties

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technische tekening: activiteiten notitieboek.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J.L. (2002). Affiniteit, homologie en homothetrie.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineaire algebra en projectieve meetkunde. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Algemene wiskunde, kansen en statistiek.
5. Meserve, B.E. (2014). Fundamentele concepten van geometrie. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Inleiding tot de algebra. Reverte.