Multiplicatieve Principe Tellingstechnieken en Voorbeelden



de multiplicatief principe is een techniek die wordt gebruikt om telproblemen op te lossen om de oplossing te vinden zonder dat het nodig is om de elementen ervan op te sommen. Het is ook bekend als het fundamentele principe van combinatorische analyse; is gebaseerd op opeenvolgende vermenigvuldiging om te bepalen hoe een gebeurtenis kan plaatsvinden.

Dit principe bepaalt dat, als een beslissing (d1) kan op n manieren worden genomen en een andere beslissing (d2) kan op verschillende manieren worden genomen, het totale aantal manieren waarop beslissingen kunnen worden genomen1 en d2 is gelijk aan vermenigvuldiging met n * m. Volgens het principe wordt elke beslissing één na één genomen: aantal manieren = N1 * N2... * NX manieren.

index

  • 1 voorbeelden
    • 1.1 Voorbeeld 1
    • 1.2 Voorbeeld 2
  • 2 Teltechnieken
    • 2.1 Principe van toevoeging
    • 2.2 Principe van permutatie
    • 2.3 Combinatiebeginsel
  • 3 Oefeningen opgelost
    • 3.1 Oefening 1
    • 3.2 Oefening 2
  • 4 Referenties

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Paula is van plan met haar vrienden naar de film te gaan en om de kleding te kiezen die ze zal dragen, scheid ik 3 blouses en 2 rokken. Hoeveel manieren kan Paula aankleden??

oplossing

In dit geval moet Paula twee beslissingen nemen:

d1 = Kies uit 3 blouses = n

d2 = Kies tussen 2 skirts = m

Op die manier heeft Paula n * m beslissingen te nemen of verschillende manieren van aankleden.

n * m = 3* 2 = 6 beslissingen.

Het principe van vermenigvuldiging is afkomstig van de techniek van het boomdiagram, een diagram dat alle mogelijke resultaten weergeeft, zodat elk een eindig aantal keren kan voorkomen.

Voorbeeld 2

Mario had heel veel dorst, dus ging hij naar de bakkerij om een ​​sap te kopen. Luis antwoordt hem en vertelt hem dat hij twee maten heeft: groot en klein; en vier smaken: appel, sinaasappel, citroen en druif. Hoeveel manieren kan Mario het sap kiezen?

oplossing

In het diagram kan worden opgemerkt dat Mario 8 verschillende manieren heeft om het sap te kiezen en dat, zoals in het multiplicatieve principe, dit resultaat wordt verkregen door de vermenigvuldiging van n*m. Het enige verschil is dat je via dit diagram kunt zien hoe Mario het sap voor de manier kiest.

Aan de andere kant, wanneer het aantal mogelijke resultaten erg groot is, is het praktischer om het multiplicatieve principe te gebruiken.

Tel technieken

Teltechnieken zijn methoden die worden gebruikt om een ​​directe telling te maken, en dus het aantal mogelijke arrangementen kennen dat de elementen van een gegeven set kunnen hebben. Deze technieken zijn gebaseerd op verschillende principes:

Principe van toevoeging

Dit principe stelt dat, als twee gebeurtenissen m en n niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, het aantal manieren waarop de eerste of tweede gebeurtenis kan plaatsvinden, de som is van m + n:

Aantal vormen = m + n ... + x verschillende vormen.

voorbeeld

Antonio wil een reis maken maar beslist niet naar welke bestemming; bij het South Tourism Agency bieden ze je een promotie aan om naar New York of Las Vegas te reizen, terwijl het East Tourism Agency je aanbeveelt naar Frankrijk, Italië of Spanje te reizen. Hoeveel verschillende reisalternatieven biedt Antonio aan??

oplossing

Met het South Tourism Agency heeft Antonio 2 alternatieven (New York of Las Vegas), terwijl het East Tourism Agency 3 opties heeft (Frankrijk, Italië of Spanje). Het aantal verschillende alternatieven is:

Aantal alternatieven = m + n = 2 + 3 = 5 alternatieven.

Principe van permutatie

Het gaat om het bestellen van alle of een deel van de elementen waaruit een set bestaat, om het tellen van alle mogelijke arrangementen die kunnen worden gemaakt met de elementen te vergemakkelijken.

Het aantal permutaties van n verschillende elementen, allemaal in één keer genomen, wordt weergegeven als:

nPn = n!

voorbeeld

Vier vrienden willen een foto maken en willen weten hoeveel verschillende vormen kunnen worden besteld.

oplossing

U wilt de set van alle mogelijke manieren kennen waarop de 4 personen kunnen worden geplaatst om de foto te maken. Dus je moet:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 verschillende manieren.

Als het aantal permutaties van n beschikbare elementen wordt ingenomen door delen van een set die wordt gevormd door r-elementen, wordt dit weergegeven als:

nPr = n! ÷ (n - r)!

voorbeeld

In een klaslokaal zijn er 10 posities. Als 4 studenten naar de klas gaan, op hoeveel verschillende manieren kunnen studenten de posities innemen?

oplossing

Het totale aantal stoelen is 10, en hiervan worden er slechts 4 gebruikt. De gegeven formule wordt toegepast om het aantal permutaties te bepalen:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 manieren om de berichten te vullen.

Er zijn gevallen waarin sommige van de beschikbare elementen van een set worden herhaald (ze zijn hetzelfde). Om het aantal arrangementen te berekenen waarbij alle elementen tegelijk worden genomen, wordt de volgende formule gebruikt:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

voorbeeld

Hoeveel verschillende woorden van vier letters kunnen worden gevormd uit het woord "wolf"?

oplossing

In dit geval hebben we 4 elementen (letters) waarvan er twee exact hetzelfde zijn. Als we de gegeven formule toepassen, weten we hoeveel verschillende woorden zijn:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 verschillende woorden.

Principe van combinatie

Het gaat erom alle of sommige elementen die een set vormen te fixen zonder een specifieke volgorde. Als u bijvoorbeeld een XYZ-array hebt, is deze identiek aan de ZXY-, YZX-, ​​ZYX-arrays, enzovoort; dit komt omdat, ondanks dat ze niet in dezelfde volgorde staan, de elementen van elke rangschikking hetzelfde zijn.

Wanneer sommige elementen (r) van set (n) worden genomen, wordt het combinatiebeginsel gegeven door de volgende formule:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

voorbeeld

In een winkel verkopen ze 5 verschillende soorten chocolade. Hoeveel verschillende manieren kun je kiezen voor 4 chocolaatjes?

oplossing

In dit geval moet u 4 chocolaatjes kiezen van de 5 soorten die in de winkel worden verkocht. De volgorde waarin ze worden gekozen doet er niet toe en bovendien kan een type chocolade meer dan twee keer worden gekozen. Als u de formule toepast, moet u:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 verschillende manieren om 4 chocolaatjes te kiezen.

Wanneer alle elementen (r) van de set (n) zijn genomen, wordt het combinatiebeginsel gegeven door de volgende formule:

nCn = n!

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Je hebt een honkbalteam met 14 leden. Op hoeveel manieren kun je 5 posities toewijzen voor een game?

oplossing

De set bestaat uit 14 elementen en u wilt 5 specifieke posities toewijzen; dat wil zeggen dat die volgorde ertoe doet. De permutatieformule wordt toegepast wanneer n beschikbare elementen worden ingenomen door delen van een set die wordt gevormd door r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Waarbij n = 14 en r = 5. Het is gesubstitueerd in de formule:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 manieren om de 9 spelposities toe te wijzen.

Oefening 2

Als een gezin van 9 leden op reis gaat en hun kaartjes met opeenvolgende zitplaatsen koopt, hoeveel verschillende manieren kunnen ze dan gebruiken?

oplossing

Het gaat om 9 elementen die achtereenvolgens 9 zitplaatsen innemen.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 verschillende manieren van zitten.

referenties

  1. Hopkins, B. (2009). Middelen voor het lesgeven in discrete wiskunde: klaslokaalprojecten, geschiedenismodules en artikelen.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Discrete wiskunde Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L.A. (2012). Eindige en discrete wiskundige probleemoplosser. Research & Education Association Editors.
  4. Padró, F.C. (2001). Discrete wiskunde Politec. van Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Wiskunde voor toegepaste wetenschappen. Reverte.