Opmerkelijke producten uitleg en oefeningen opgelost



de opmerkelijke producten zijn algebraïsche operaties waarbij vermenigvuldigingen van veeltermen, die niet hoeven traditioneel worden opgelost, maar met de hulp van bepaalde regels kan worden gevonden op dezelfde resultaten worden uitgedrukt.

Polynomen worden met zichzelf vermenigvuldigd, daarom kunnen ze een groot aantal termen en variabelen bevatten. Om het proces korter te maken, worden de regels van de opmerkelijke producten gebruikt, waarmee vermenigvuldigingen kunnen worden gemaakt zonder op tijd te hoeven gaan..

index

  • 1 Opmerkelijke producten en voorbeelden
    • 1.1 Binomiaal kwadraat
    • 1.2 Product van geconjugeerde binomials
    • 1.3 Product van twee binomials met een gemeenschappelijke term
    • 1.4 Polynoom kwadraat
    • 1.5 Binomiaal voor de kubus
    • 1.6 Emmer met een trinominaal
  • 2 Oefeningen opgelost voor opmerkelijke producten
    • 2.1 Oefening 1
    • 2.2 Oefening 2
  • 3 referenties

Opmerkelijke producten en voorbeelden

Elk opmerkelijk product is een formule die het resultaat is van een ontbindingsfactor, samengesteld uit polynomen van verschillende termen zoals binomials of trinomialen, factoren genaamd.

De factoren vormen de basis van een kracht en hebben een exponent. Wanneer de factoren zich vermenigvuldigen, moeten de exponenten worden toegevoegd.

Er zijn verschillende opmerkelijke productformules, waarvan sommige meer worden gebruikt dan andere, afhankelijk van de polynomen, en deze zijn de volgende:

Binomiaal kwadraat

Het is de vermenigvuldiging van een binomiaal alleen, uitgedrukt in de vorm van kracht, waarbij de termen worden opgeteld of afgetrokken:

a. Binomiaal van som naar het vierkant: is gelijk aan het kwadraat van de eerste term, plus tweemaal het product van de termen, plus het kwadraat van de tweede term. Het wordt als volgt uitgedrukt:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

De volgende afbeelding laat zien hoe het product volgens de bovengenoemde regel is ontwikkeld. Het resultaat wordt trinominaal van een perfect vierkant genoemd.

Voorbeeld 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Voorbeeld 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Binomiaal van een aftrekking in kwadraat: dezelfde regel is van toepassing op de binomiale waarde van een som, alleen dat in dit geval de tweede term negatief is. De formule is de volgende:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +de 2e * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Voorbeeld 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Product van geconjugeerde binomials

Twee binomialen worden geconjugeerd wanneer de tweede termen van elk van verschillende tekens zijn, dat wil zeggen dat de eerste van de eerste termen positief is en die van de tweede negatief of vice versa. Los dit op door elk vierkant van de monomy te verhogen en af ​​te trekken. De formule is de volgende:

(a + b) * (a - b)

In de volgende afbeelding wordt het product van twee geconjugeerde binomialen ontwikkeld, waarbij wordt waargenomen dat het resultaat een verschil in vierkanten is.

Voorbeeld 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Product van twee binomials met een gemeenschappelijke term

Het is een van de meest complexe en weinig gebruikte opmerkelijke producten omdat het een vermenigvuldiging is van twee binomials die een gemeenschappelijke term hebben. De regel geeft het volgende aan:

  • Het vierkant van de gemeenschappelijke term.
  • Plus voeg de termen toe die niet gebruikelijk zijn en vermenigvuldig ze met de algemene term.
  • Plus de som van de vermenigvuldiging van termen die niet gebruikelijk zijn.

Het wordt weergegeven in de formule: (x + a) * (x + b) en het is ontwikkeld zoals getoond in de afbeelding. Het resultaat is een vierkant trinominaal niet perfect.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Er is een mogelijkheid dat de tweede term (de andere term) negatief is en de formule is de volgende: (x + a) * (x - b).

Voorbeeld 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Het kan ook zijn dat beide termen negatief zijn. De formule is: (x - a) * (x - b).

Voorbeeld 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Vierkant polynoom

In dit geval zijn er meer dan twee termen ontwikkelen en elke gekwadrateerd en opgeteld met een dubbele vermenigvuldiging van een andere term; de formule: (a + b + c)2 en het resultaat van de bewerking is trinomiaal kwadraat.

Voorbeeld 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4Z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16Z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomiaal voor de kubus

Het is een opmerkelijk complex product. Om het te ontwikkelen, vermenigvuldig je de binomiaal door zijn vierkant, op de volgende manier:

a. Voor de binomiale naar de kubus van een som:

  • De kubus van de eerste term, plus de drievoud van het kwadraat van de eerste term met de tweede.
  • Plus driemaal de eerste termijn, voor het tweede kwadraat.
  • Plus de kubus van de tweede term.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + de 2e2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + de 3e2b + 3ab2 + b3.

Voorbeeld 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. Voor de binomiaal naar de kubus van een aftrekking:

  • De kubus van de eerste term, minus de drievoud van het vierkant van de eerste term met de tweede.
  • Plus driemaal de eerste termijn, voor het tweede kwadraat.
  • Minder de kubus van de tweede term.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - de 2e2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = naar3 - de 3e2b + 3ab2 - b3.

Voorbeeld 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Emmer van een trinominale

Het ontwikkelt zijn vierkante vermenigvuldigen. Het is een zeer uitgebreid opmerkelijk product omdat ze 3 hoog termen in blokjes, plus drie keer per term kwadraat, vermenigvuldigd met elk van de termen, meer dan zes keer het product van drie voorwaarden. Op een betere manier bekeken:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + de 3e2b + 3ab2 + de 3e2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Voorbeeld 1

Opgeloste oefeningen met opmerkelijke producten

Oefening 1

Ontwikkel de volgende binomiaal naar de kubus: (4x - 6)3.

oplossing

Eraan herinnerend dat een binomiaal naar de kubus gelijk is aan de eerste term verhoogd naar de kubus, minder de drievoud van het kwadraat van de eerste term met de tweede; plus de drievoud van de eerste term, de tweede kwadraat, minus de kubus van de tweede term.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Oefening 2

Ontwikkel de volgende binomiaal: (x + 3) (x + 8).

oplossing

Heeft een binomiale waar sprake is van een gemeenschappelijke term, dat wil zeggen x en de tweede term is positief. Ontwikkelen alleen kwadratuur de algemene term plus de som van termen die niet gemeenschappelijk zijn (3 en 8) en dan vermenigvuldigd met de gemeenschappelijke term plus de som van de vermenigvuldiging van de termen die niet gemeenschappelijk.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

referenties

  1. Angel, A. R. (2007). Elementaire algebra. Pearson Education,.
  2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
  3. Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. Verenigd Koninkrijk: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Elementaire en intermediaire algebra: een gecombineerde aanpak. Florida: Cengage Learning.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.