Wat is het domein en de Condominium van een functie? (Met opgeloste voorbeelden)

De concepten van domein en counterdomein van een functie ze worden vaak onderwezen in de calculuscursussen die aan het begin van universitaire carrières worden gegeven.

Voordat u het domein en het domein definieert, moet u weten wat een functie is. Een functie f is een wet (regel) van overeenstemming gemaakt tussen de elementen van twee sets.

De set waarvan de elementen worden gekozen, wordt het domein van de functie genoemd, en de set waarnaar deze elementen door f worden verzonden, wordt een tellerdomein genoemd.

In de wiskunde wordt een functie met domein A en tellerdomein B aangeduid met de uitdrukking f: A → B.

De bovenstaande uitdrukking zegt dat de elementen van set A worden verzonden naar set B volgens de correspondentiewetgeving f.

Een functie wijst elk element van set A een enkel element toe van set B.

Domein en tegeldomein

Gegeven een echte functie van een reële variabele f (x), is om het domein van de functie zal al die reële getallen zodanig dat, wanneer geëvalueerd in f, het resultaat is een reëel getal.

Over het algemeen is het teldomdomijn van een functie de verzameling van de reële getallen R. Het contradomein wordt ook de aankomstset of codomain van de functie f genoemd.

Het tegen-domein van een functie is altijd R?

Nee. Zolang de functie niet in detail wordt bestudeerd, wordt deze meestal als een tegen-domein beschouwd als de verzameling van de reële getallen R.

Maar als de functie eenmaal is bestudeerd, kan een meer geschikte set worden genomen als een tegen-domein, wat een subset van R zal zijn.

De juiste set die in de vorige alinea werd genoemd, komt overeen met de afbeelding van de functie.

De definitie van de afbeelding of het bereik van een functie f verwijst naar alle waarden die afkomstig zijn van het evalueren van een element van het domein in f.

Voorbeelden

De volgende voorbeelden illustreren hoe het domein van een functie en de afbeelding ervan te berekenen.

Voorbeeld 1

Laat f een echte functie zijn gedefinieerd door f (x) = 2.

Het domein van f zijn alle reële getallen zodanig dat, wanneer geëvalueerd in f, het resultaat een reëel getal is. Het tegen-domein op dit moment is gelijk aan R.

Aangezien de gegeven functie constant is (altijd gelijk aan 2), is dat ongeacht het werkelijke aantal is gekozen omdat het evalueren f het resultaat zal altijd gelijk zijn aan 2, waarbij een reëel getal.

Daarom zijn het domein van de gegeven functie allemaal reële getallen; dat wil zeggen, A = R.

Nu dat het reeds bekend is dat het resultaat van de functie is altijd gelijk aan 2, heeft het beeld van de functie alleen nummer 2, dus de teller-domeinfunctie kunnen worden geherdefinieerd als B = Img (f) = 2.

Daarom, f: R → 2.

Voorbeeld 2

Laat g een echte functie zijn gedefinieerd door g (x) = √x.

Hoewel het beeld van g niet bekend is, is het counterdomein van g B = R.

Met deze functie moet u er rekening mee houden dat de vierkantswortels alleen worden gedefinieerd voor niet-negatieve getallen; dat wil zeggen, voor getallen groter dan of gelijk aan nul. √-1 is bijvoorbeeld geen reëel getal.

Daarom moet het domein van de functie g alle getallen groter dan of gelijk aan nul zijn; dit is, x ≥ 0.

Daarom is A = [0, + ∞).

Om het bereik te berekenen moet worden opgemerkt dat elk resultaat van g (x), dat een vierkantswortel is, altijd groter dan of gelijk aan nul zal zijn. Dat wil zeggen, B = [0, + ∞).

Tot slot, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Voorbeeld 3

Als de functie h (x) = 1 / (x-1) is deze functie niet gedefinieerd voor x = 1, aangezien de noemer nul en deling door nul worden verkregen niet gedefinieerd.

Aan de andere kant, voor elke andere reële waarde zal het resultaat een reëel getal zijn. Daarom is het domein alle realen behalve één; dat is, A = R \ 1.

Op dezelfde manier kan worden opgemerkt dat de enige waarde die als resultaat niet kan worden verkregen 0 is, omdat voor een breuk gelijk aan nul de teller nul moet zijn.

Daarom is de afbeelding van de functie de verzameling van alle realen behalve nul, dus wordt deze genomen als een counterdomein B = R \ 0.

Tot slot, h: R \ 1 → R \ 0.

opmerkingen

Het domein en de afbeelding hoeven niet dezelfde set te zijn, zoals is aangetoond in voorbeelden 1 en 3.

Wanneer een functie wordt geplot op het Cartesische vlak, wordt het domein vertegenwoordigd door de X-as en wordt het teldomein of het bereik vertegenwoordigd door de Y-as.

referenties

1. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus wiskunde: een probleemoplossende benadering (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Platte analytische geometrie. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). berekening (Negende ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentiaalrekening met vroege transcendentale functies voor wetenschap en techniek (Tweede editie). hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (herdruk ed.). Bliksembron.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.