Wat zijn trigonometrische grenzen? (met opgeloste oefeningen)

de goniometrische limieten het zijn functieslimieten, zodanig dat deze functies worden gevormd door trigonometrische functies.

Er zijn twee definities die bekend moeten zijn om te begrijpen hoe de berekening van een trigonometrische limiet wordt uitgevoerd.

Deze definities zijn:

- Limiet van een functie "f" wanneer "x" neigt naar "b": het bestaat uit het berekenen van de waarde waarop f (x) nadert als "x" "b" benadert, zonder "b" te bereiken.

- Trigonometrische functies: de trigonometrische functies zijn de sinus-, cosinus- en tangensfuncties, aangeduid door respectievelijk sin (x), cos (x) en tan (x).

De andere trigonometrische functies worden verkregen uit de drie hierboven genoemde functies.

Limieten van functies

Om het concept van de limiet van een functie te verduidelijken, worden enkele voorbeelden met eenvoudige functies weergegeven.

- De limiet van f (x) = 3 wanneer "x" neigt naar "8" is gelijk aan "3", omdat de functie altijd constant is. Ongeacht hoeveel "x" het waard is, de waarde van f (x) zal altijd "3" zijn.

- De limiet van f (x) = x-2 wanneer "x" neigt naar "6" is "4". Aangezien "x" "6" nadert, benadert "x-2" "6-2 = 4".

- De limiet van g (x) = x² wanneer "x" neigt naar "3" is gelijk aan 9, omdat wanneer "x" "3" nadert, "x²" dichterbij komt "3² = 9".

Zoals te zien is in de voorgaande voorbeelden, bestaat het berekenen van een limiet uit het evalueren van de waarde waarnaar "x" neigt in de functie, en het resultaat is de waarde van de limiet, hoewel dit alleen geldt voor doorlopende functies.

Zijn er meer gecompliceerde limieten?

Het antwoord is ja. De bovenstaande voorbeelden zijn de eenvoudigste voorbeelden van limieten. In de berekeningsboeken zijn de oefeningen met de belangrijkste limieten die welke een onbepaaldheid van het type 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 en (∞) genereren ^ 0.

Deze uitdrukkingen worden indeterminaties genoemd, omdat het uitdrukkingen zijn die wiskundig niet logisch zijn.

Afgezien van dat, afhankelijk van de functies die betrokken zijn bij de oorspronkelijke limiet, het resultaat dat wordt verkregen bij het oplossen van de indeterminaties, kan in beide gevallen verschillend zijn..

Voorbeelden van eenvoudige trigonometrische limieten

Om limieten op te lossen, is het altijd handig om de grafieken van de betreffende functies te kennen. Hieronder staan ​​de grafieken van de functies sinus, cosinus en tangens.

Enkele voorbeelden van eenvoudige trigonometrische limieten zijn:

- Bereken de limiet van sin (x) wanneer "x" neigt naar "0".

Bij het bekijken van de grafiek kunt u zien dat als "x" "0" nadert (zowel aan de linker- als aan de rechterkant), de sinusgrafiek ook "0" nadert. Daarom is de limiet van sin (x) wanneer "x" neigt naar "0" "0".

- Bereken de limiet van cos (x) wanneer "x" neigt naar "0".

Als we de cosinusgrafiek observeren, kan worden gezien dat wanneer "x" dichtbij "0" is, de cosinusgrafiek dichtbij "1" is. Dit betekent dat de limiet van cos (x) wanneer "x" neigt naar "0" gelijk is aan "1".

Er kan een limiet bestaan ​​(een getal zijn), zoals in de vorige voorbeelden, maar het kan ook voorkomen dat het niet bestaat zoals in het volgende voorbeeld wordt getoond.

- De limiet van tan (x) wanneer "x" neigt naar "Π / 2" aan de linkerkant is gelijk aan "+ ∞", zoals te zien is in de grafiek. Aan de andere kant is de limiet van tan (x) wanneer "x" neigt naar "-Π / 2" aan de rechterkant gelijk aan "-∞".

Identiteiten van trigonometrische grenzen

Twee zeer nuttige identiteiten bij het berekenen van trigonometrische limieten zijn:

- De limiet van "sin (x) / x" wanneer "x" neigt naar "0" is gelijk aan "1".

- De limiet van "(1-cos (x)) / x" wanneer "x" neigt naar "0" is gelijk aan "0".

Deze identiteiten worden heel vaak gebruikt als je een soort onbepaaldheid hebt.

Opgeloste oefeningen

Los de volgende limieten op met behulp van de hierboven beschreven identiteiten.

- Bereken de limiet van "f (x) = sin (3x) / x" wanneer "x" neigt naar "0".

Als de functie "f" wordt geëvalueerd in "0", wordt een onbepaaldheid van het type 0/0 verkregen. Daarom moeten we proberen deze onbepaaldheid op te lossen met behulp van de beschreven identiteiten.

Het enige verschil tussen deze limiet en identiteit is het getal 3 dat wordt weergegeven in de sinusfunctie. Om de identiteit toe te passen, moet de functie "f (x)" op de volgende manier worden herschreven "3 * (sin (3x) / 3x)". Nu, zowel het argument van de sinus en de noemer zijn gelijk.

Dus wanneer "x" de neiging heeft om "0" te zijn, gebruikt de identiteitsresultaten "3 * 1 = 3". Daarom is de limiet van f (x) wanneer "x" neigt naar "0" gelijk aan "3".

- Bereken de limiet van "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" wanneer "x" neigt naar "0".

Wanneer "x = 0" is gesubstitueerd in g (x), wordt een onbepaalde bepaling van het type ∞-∞ verkregen. Om het op te lossen, worden de breuken afgetrokken, wat het resultaat oplevert "(1-cos (x)) / x".

Nu, bij het toepassen van de tweede goniometrische identiteit, hebben we de limiet van g (x) wanneer "x" neigt naar "0" gelijk is aan 0.

- Bereken de limiet van "h (x) = 4tan (5x) / 5x" wanneer "x" neigt naar "0".

Nogmaals, als u h (x) evalueert naar "0", krijgt u een onbepaaldheid van het type 0/0.

Het herschrijven van tan (5x) als sin (5x) / cos (5x) resulteert in h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Gebruikmakend van de limiet van 4 / cos (x) wanneer "x" neigt naar "0" is gelijk aan "4/1 = 4" en de eerste trigonometrische identiteit wordt verkregen dat de limiet van h (x) wanneer "x" neigt een "0" staat voor "1 * 4 = 4".

observatie

Goniometrische limieten zijn niet altijd eenvoudig op te lossen. In dit artikel werden alleen basisvoorbeelden getoond.

referenties

1. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus wiskunde: een probleemoplossende benadering (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Platte analytische geometrie. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). berekening (Negende ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentiaalrekening met vroege transcendentale functies voor wetenschap en techniek (Tweede editie). hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (herdruk ed.). Bliksembron.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.