Wat zijn schuine driehoeken? (met opgeloste oefeningen)

de schuine driehoeken zijn die driehoeken die geen rechthoeken zijn. Dat wil zeggen, driehoeken zodanig dat geen van de hoeken een rechte hoek heeft (de meting is 90 °).

Omdat er geen rechte hoek is, kan de stelling van Pythagoras niet op deze driehoeken worden toegepast.

Daarom is het voor het kennen van de gegevens in een schuine driehoek noodzakelijk om andere formules te gebruiken.

De formules die nodig zijn om een ​​schuine driehoek op te lossen zijn de zogenaamde wetten van sinussen en cosinussen, die later zullen worden beschreven.

Naast deze wetten kan altijd het feit worden gebruikt dat de som van de interne hoeken van een driehoek gelijk is aan 180º..

Schuine driehoeken

Zoals in het begin werd gezegd, is een schuine driehoek een driehoek, zodat geen van zijn hoeken 90º meet.

Het probleem van het vinden van de lengtes van de zijden van een schuine driehoek, evenals het vinden van de afmetingen van de hoeken, wordt "resolutie van schuine driehoeken" genoemd.

Een belangrijk feit bij het werken met driehoeken is dat de som van de drie interne hoeken van een driehoek gelijk is aan 180º. Dit is een algemeen resultaat, daarom kan het voor schuine driehoeken ook worden toegepast.

Wetten van borsten en cosinussen

Gegeven een driehoek ABC met zijden van lengte "a", "b" en "c":

- De sinusregel dat a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), waarbij A, B en C zijn het tegenovergestelde van "a", "b" en "c" hoeken respectievelijk.

- De wet van cosinus stelt dat: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Op dezelfde manier kunnen de volgende formules worden gebruikt:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) of a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Met behulp van deze formules kunt u de gegevens van een driehoek met schuine hoek berekenen.

opleiding

Hier zijn enkele oefeningen waarbij u de ontbrekende gegevens van de gegeven driehoeken zou moeten vinden, uit bepaalde gegevens die zijn verstrekt.

Eerste oefening

Gegeven een driehoek ABC dusdanig dat A = 45º, B = 60º en a = 12cm, bereken de andere gegevens van de driehoek.

oplossing

Daarmee is de som van de interne hoeken van een driehoek gelijk aan 180º, dat moet

C = 180º-45º-60º = 75º.

De drie hoeken zijn al bekend. Gebruik vervolgens de wet van de borsten om de twee zijden die ontbreken te berekenen.

De vergelijkingen die worden gesteld zijn 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Van de eerste gelijkheid kun je "b" wissen en die krijgen

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Je kunt ook "c" wissen en die krijgen

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392cm.

Tweede oefening

Gezien de driehoek ABC zodanig dat A = 60º, C = 75º en b = 10cm, bereken dan de andere gegevens van de driehoek.

oplossing

Zoals in de vorige oefening, B = 180º-60º-75º = 45º. Verder gebruik van de sinusregel men dat a / sin (60) = 10 / sin (45) = c / sin (75 °), waaruit resulteert dat a = 10 * sin (60 °) / sin (45 °) = 5√6 ≈ 12.247 cm c = 10 * sin (75 °) / sin (45) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Derde oefening

Gezien de driehoek ABC dusdanig dat a = 10cm, b = 15cm en C = 80º, bereken de andere gegevens van de driehoek.

oplossing

In deze oefening is slechts één hoek bekend, daarom kunt u niet starten zoals in de vorige twee oefeningen. Ook kan de wet van borsten niet worden toegepast omdat geen enkele vergelijking kan worden opgelost.

Daarom gaan we verder met het toepassen van de cosinuswet. Dat is het dan

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 cm,

dus dat is c ≈ 16.51 cm. Nu, wetende dat de 3 kanten, de wet van de borsten wordt gebruikt en je krijgt

10 / zonde (A) = 15 / zonde (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Vanaf hier resulteert het wissen B van het resultaat zonder (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, wat betekent dat B ≈ 63,38º.

Nu kan worden verkregen dat A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Vierde oefening

De zijkanten van een schuine driehoek zijn a = 5 cm, b = 3 cm en c = 7 cm. Bereken de hoeken van de driehoek.

oplossing

Nogmaals, de wet van de borsten kan niet direct worden toegepast, omdat geen enkele vergelijking zou dienen om de waarde van de hoeken te verkrijgen.

Met de cosinus wet moeten worden c² = a² + b² - 2 ab cos (C), waarbij clearing moet cos (C) = (a² + b² - c²) / 2 ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 en dus C = 120º.

Nu, als u de wet van de borsten kunt toepassen en 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120) kunt krijgen, waar u B kunt wissen en kunt krijgen zonder (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, dus B = 21,79º.

Uiteindelijk wordt de laatste hoek berekend met A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

referenties

1. Landaverde, F. d. (1997). geometrie (Reprint ed.). vooruitgang.
2. Leake, D. (2006). driehoeken (geïllustreerd ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). geometrieën. CR-technologie.
5. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Goniometrie en analytische meetkunde. Pearson Education.