Welke soorten integralen zijn er?

de soorten integralen die we in de berekening vinden zijn: onbepaalde integralen en gedefinieerde integralen. Hoewel de definitieve integralen veel meer toepassingen hebben dan de onbepaalde integralen, is het noodzakelijk om eerst te leren om onbepaalde integralen op te lossen..

Een van de meest aantrekkelijke toepassingen van definitieve integralen is de berekening van het volume van een omwentelingsvolume.

Beide typen integralen hebben dezelfde lineariteitseigenschappen en ook de integratietechnieken zijn niet afhankelijk van het type integraal.

Maar ondanks dat het erg op elkaar lijkt, is er een groot verschil; in het eerste type integraal is het resultaat een functie (die niet specifiek is), terwijl in het tweede type het resultaat een getal is.

Twee basistypen integralen

De wereld van integralen is zeer breed, maar hierin kunnen we twee basistypen integralen onderscheiden, die van grote invloed zijn in het dagelijks leven..

1- Onbepaalde integralen

Als F '(x) = f (x) voor alle x in het domein van f, zeggen we dat F (x) een antiderivatief, een primitief of een integraal van f (x) is.

Merk anderzijds op dat (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), wat impliceert dat de integraal van een functie niet uniek is, omdat het geven van verschillende waarden aan de constante C we verschillende je primitieve functie.

Om deze reden wordt F (x) + C de onbepaalde integraal van f (x) genoemd en wordt C integrerende constante genoemd en we schrijven deze op de volgende manier

Zoals we kunnen zien, is de onbepaalde integraal van de functie f (x) een familie van functies.

Als u bijvoorbeeld de onbepaalde integraal van de functie f (x) = 3x² wilt berekenen, moet u eerst een antiderivatief vinden van f (x).

Het valt gemakkelijk op te merken dat F (x) = x³ een antiderivatief is, omdat F '(x) = 3x². Daarom kan worden geconcludeerd dat

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- gedefinieerde integralen

Laat y = f (x) een feitelijke functie zijn, continu in een gesloten interval [a, b] en laat F (x) een antiderivaat van f (x) zijn. Het wordt definite integral van f (x) genoemd tussen de limieten a en b tot het getal F (b) -F (a), en wordt als volgt aangegeven

De hierboven getoonde formule is beter bekend als "The Fundamental Theorem of Calculus". Hier wordt "a" de ondergrens genoemd en "b" wordt de bovengrens genoemd. Zoals je kunt zien, is de definitieve integraal van een functie een getal.

In dit geval, als de definitieve integraal van f (x) = 3x² in het interval [0.3] wordt berekend, zal een getal worden verkregen.

Om dit aantal te bepalen, kiezen we F (x) = x³ als antiderivatief van f (x) = 3x². Vervolgens berekenen we F (3) -F (0), wat ons het resultaat 27-0 = 27 geeft. Concluderend, de definitieve integraal van f (x) in het interval [0.3] is 27.

Er kan worden benadrukt dat als G (x) = x³ + 3 is gekozen, dan is G (x) een antiderivatief van f (x) anders dan F (x), maar dit heeft geen invloed op het resultaat, aangezien G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Om deze reden verschijnt in de gedefinieerde integralen de integratieconstante niet.

Een van de nuttigste toepassingen die dit type integraal heeft, is dat het mogelijk is om het gebied (volume) van een plat figuur (van een omwentelingsvolume) te berekenen, geschikte functies en integratielimieten (en een rotatieas) in te stellen.

Binnen de gedefinieerde integralen kunnen we verschillende uitbreidingen hiervan vinden, zoals bijvoorbeeld lijnintegralen, oppervlakte-integralen, onjuiste integralen, meerdere integralen, allemaal met zeer nuttige toepassingen in de wetenschap en engineering.

referenties

1. Casteleiro, J. M. (2012). Is het gemakkelijk te integreren? Autodidactisch handboek. Madrid: ESIC.
2. Casteleiro, J. M., & Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Uitgebreide berekening (Illustrated ed.). Madrid: ESIC Editorial.
3. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
4. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus wiskunde: een probleemoplossende benadering (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
5. Kishan, H. (2005). Integrale calculus. Atlantische uitgevers en distributeurs.
6. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). berekening (Negende ed.). Prentice Hall.