Hoe de omtrek van een cirkel te verwijderen?

de omtrek van een cirkel is de waarde van zijn omtrek, die kan worden uitgedrukt door een eenvoudige wiskundige formule.

In geometrie staat de som van de zijden van een plat figuur bekend als de omtrek. De term komt uit het Grieks waar peri betekent rond en metro meten. De cirkel bestaat alleen uit één zijde zonder randen, dit staat bekend als omtrek.

Een cirkel is een gedefinieerd gebied van een vlak dat wordt begrensd door een cirkel. De omtrek is een vlakke, gesloten curve, waarbij alle punten zich op dezelfde afstand van het midden bevinden.

Zoals het in de afbeelding wordt weergegeven, bestaat deze cirkel uit een cirkel C die het vlak begrenst op een vaste afstand van het centrale punt of de oorsprong O. Deze vaste afstand van de omtrek tot de oorsprong staat bekend als radio. 

De afbeelding toont ook D, de diameter. Het is het segment dat twee punten van de omtrek verbindt die door het midden gaan en een hoek van 180º heeft.

Om de omtrek van een cirkel te berekenen, wordt de functie toegepast:

• P = 2r · π als we het willen berekenen op basis van de straal
• P = d · π als we het willen berekenen op basis van de diameter.

Deze functies betekenen dat als we de waarde van de diameter vermenigvuldigen met de wiskundige constante π, die een geschatte waarde van 3,14 heeft. We verkrijgen de lengte van de omtrek.

Demonstratie van de berekening van de omtrek van de cirkel

De demonstratie van de berekening van de omtrek gebeurt met behulp van meetkundige figuren die zijn ingeschreven en beschreven. We zijn van mening dat een geometrische figuur binnen een cirkel is ingeschreven als zijn hoekpunten op de omtrek liggen.

De geometrische figuren die zijn omschreven, zijn die waarin de zijkanten van een meetkundige figuur de omtrek raken. Deze uitleg is veel gemakkelijker te begrijpen visueel.

In de figuur kunnen we zien dat de zijden van het vierkant A de omtrek C raken. Evenzo liggen de hoekpunten van het vierkant B op de omtrek C

Om onze berekeningen voort te zetten, moeten we de omtrek van pleinen A en B. Het kennen van de straal van de cirkel te krijgen, kunnen we de geometrische regel dat de som van de andere twee zijden kwadraat deze gelijk is aan de schuine zijde in het kwadraat is van toepassing. Op deze manier zou de omtrek van het ingeschreven vierkant, B, gelijk zijn aan 2r².

Om het te bewijzen, beschouwen we r als radio en h₁, de waarde van de hypotenusa van de driehoek die we vormen. Als we de vorige regel toepassen, moeten we h₁²= r²· R²= 2r². Bij het verkrijgen van de waarde van de hypotenusa, kunnen we de waarde van de omtrek van het vierkant B verkrijgen. Om de berekeningen later te vergemakkelijken, laten we de waarde van de hypotenusa als de vierkantswortel van 2 per r.

De omtrek van het vierkant berekenen De berekeningen zijn eenvoudiger omdat de lengte van een zijde gelijk is aan de diameter van de omtrek. Als we de gemiddelde lengte van de twee vierkanten berekenen, kunnen we een schatting maken van de waarde van de omtrek C.

Als we de waarde van de vierkantswortel van 2 plus 4 berekenen, krijgen we een geschatte waarde van 3.4142, dit is hoger dan het getal π, maar omdat we slechts een eenvoudige aanpassing aan de omtrek hebben gedaan.

Om waarden dichterbij te brengen en meer aan te passen aan de waarde van de omtrek, zullen we geometrische figuren met meer zijden tekenen zodat deze een meer accurate waarde hebben. Door middel van achthoekige vormen wordt de waarde op deze manier aangepast.

Door de sinusberekeningen van α kunnen we b verkrijgen₁ en b₂. Als u de geschatte lengte van beide achthoeken afzonderlijk berekent, berekenen we het gemiddelde om die van de omtrek te berekenen. Na de berekeningen is de uiteindelijke waarde 3.3117, wat dichter bij π ligt.

Daarom, als we onze berekeningen blijven doen totdat we een figuur met n gezichten hebben bereikt, kunnen we de lengte van de omtrek aanpassen en komen tot een geschatte waarde van π, wat de vergelijking van C = 2π · r maakt.

voorbeeld

Als we een cirkel hebben met een straal van 5 cm, gebruiken we de hierboven weergegeven formules om de omtrek te berekenen.

P = 2r · π = 2 · 5 · 3,14 = 31,4 cm.

Als we de algemene formule toepassen, is het verkregen resultaat 31,4 cm voor de lengte van de omtrek.

We kunnen het ook berekenen met de diameterformule, die zou zijn:

P = d · π = 10 · 3,14 = 31,4 cm

Waarbij d = r + r = 5 + 5 = 10

Als we het doen door de formules van de ingeschreven en afgebakende vierkanten, moeten we eerst de omtrek van beide vierkanten berekenen. 

Om dat van vierkant A te berekenen, zou de zijkant van het vierkant gelijk zijn aan de diameter, zoals we eerder zagen, de waarde is 10 cm. Om het vierkant B te berekenen, gebruiken we de formule waarbij de som van de vierkante vierkantjes gelijk is aan de hypotenusa in het kwadraat. In dit geval:

h²= r²+r²= 5²+5²= 25 + 25 = 50

h = √50

Als we het opnemen in de formule van de gemiddelden:

Zoals we kunnen zien, ligt de waarde zeer dicht bij die gemaakt met de normale formule. Als we ons aanpassen aan de hand van figuren met meer gezichten, zou de waarde elke keer dichter bij 31,4 cm liggen.

referenties

1. SANGWIN, Chris J.; MATHS, Statistieken; NETWORK, O. R. Geometrische functies: gereedschappen in GeoGebra.MSOR-verbindingen, 2008, vol. 8, nr. 4, p. 18-20.
2. BOSTOCK, Linda; CHANDLER, Suzanne.Kernberekeningen voor gevorderd niveau. Nelson Thornes, 2000.
3. KENDAL, Margaret; STACEY, Kaye. Goniometrie: Vergelijkingsverhouding en eenheidscirkelmethode. inTechnologie in wiskundeonderwijs. Proceedings van de 19e jaarlijkse conferentie van de studiegroep voor wiskundeonderwijs van Australië. p. 322-329.
4. POLTHIER, Konrad. Beeldverwerking van wiskunde - in de fles Klein.plus tijdschrift, 2003, vol. 26.
5. WENTWORTH, Jorge; SMITH, David Eugene.Vlak- en ruimtegeometrie. Ginn, 1915.
6. CLEMENS, Stanley R; O'DAFFER, Phares G.; COONEY, Thomas J.geometrie. Pearson Education, 1998.
7. CORTÁZAR, Juan.Verdrag van elementaire geometrie. Imp. Door Antonio Peñuelas, 1864.