Wat is een vector en wat zijn de kenmerken ervan?

een vector het is een hoeveelheid of verschijnsel dat twee onafhankelijke eigenschappen heeft: grootte en richting. De term geeft ook de wiskundige of geometrische weergave van een dergelijke hoeveelheid aan.

Voorbeelden van vectoren in de natuur zijn snelheid, kracht, elektromagnetische velden en gewicht. Een hoeveelheid of verschijnsel dat alleen de magnitude weergeeft, zonder specifieke richting, wordt scalair genoemd.

Voorbeelden van scalaires zijn snelheid, massa, elektrische weerstand en opslagcapaciteit van de harde schijf.

Vectoren kunnen grafisch in twee of drie dimensies worden weergegeven. De grootte wordt weergegeven als de lengte van een segment. De richting wordt aangegeven door de richting van het segment en door een pijl aan één uiteinde.

De bovenstaande afbeelding toont drie vectoren in tweedimensionale rechthoekige coördinaten (het Cartesische vlak) en hun equivalenten in poolcoördinaten.

De vectoren in de natuurkunde

In de natuurkunde moet je, als je een vector hebt, rekening houden met twee hoeveelheden: de richting en de grootte ervan. Hoeveelheden die slechts één magnitude hebben, worden scalar's genoemd. Als een richting wordt gegeven aan een scalaire grootheid, wordt een vector gemaakt.

Visueel zie je vectoren getekend als pijlen, wat perfect is omdat een pijl een duidelijke richting heeft en een duidelijke magnitude (de lengte van de pijl).

In de volgende afbeelding vertegenwoordigt de pijl een vector die begint aan de voet van de pijl (ook wel de staart genoemd) en eindigt in de kop.

In de natuurkunde wordt een vetgedrukte letter gewoonlijk gebruikt om een ​​vector weer te geven, hoewel deze ook kan worden weergegeven als een letter met een pijl erop..

De pijl betekent dat het niet alleen een scalaire waarde is, die zou worden voorgesteld door A, maar ook iets met richting.

Verschillen tussen vector en scalair

Waarden die geen vectoren zijn, zijn scalair. Een dergelijke hoeveelheid van 500 appels is bijvoorbeeld een scalaire waarde, het heeft geen adres, het is slechts een grootte. Tijd is ook een scalar, het heeft geen richting.

Snelheid is echter een vector omdat het niet alleen een grootte (snelheid) van de route aangeeft, maar ook de richting (en richting) van de route aangeeft.

De actielijn van de snelheidsvector kan bijvoorbeeld

30 ° van het horizontale vlak verwijderd zijn. Daarom weten we in welke richting het object beweegt.

Dit geeft echter nog steeds niet de richting van de reis aan, of deze nu van ons af beweegt of dichterbij komt. Daarom specificeren we ook de richting waarin de vector werkt via een pijlpunt.

Kracht, versnelling en afgelegde afstand zijn ook vectoren. Als bijvoorbeeld wordt aangegeven dat een auto 10 meter is verplaatst, geeft dit niet aan in welke richting het is verplaatst. Om de beweging volledig te specificeren, is het ook noodzakelijk om de richting en bewegingsrichting te specificeren.

Kracht is ook een vector, want als je een voorwerp naar jezelf toe trekt, komt het dicht bij je en als je het voorwerp van je af duwt. Dus kracht heeft een richting en een gevoel, en daarom is het een vector.

voorbeeld

Als voorbeelden van de informatie die een vector biedt, hebben we het volgende:

Zoek naar een gouden tas

Stel dat een leraar je vertelt: "Een zak goud is buiten het klaslokaal, om het te vinden, verplaats 20 meter." Deze verklaring zal u zeker interesseren, maar er is niet genoeg informatie opgenomen in de verklaring om de gouden zak te vinden.

De verplaatsing die nodig is om de gouden zak te vinden, is niet volledig beschreven. Aan de andere kant, veronderstel dat je leraar tegen je zegt: "Een zak met goud bevindt zich buiten het klaslokaal, om te zien dat het zich verplaatst vanuit het midden van de deur van de klas 20 meter in een richting van 30 ° naar het westen van het noorden".

Deze verklaring biedt nu een volledige beschrijving van de verplaatsingsvector, die de magnitude (20 meter) en richting (30 ° ten westen van het noorden) weergeeft met betrekking tot een referentie- of vertrekpositie (het midden van de klasseur). ).

Vectorhoeveelheden worden niet volledig beschreven, tenzij zowel de grootte als de richting worden aangegeven.

Verplaatsing van de auto

Als we in een auto gaan, gebruiken we verschillende vectoren. Deze vectoren verschijnen elke keer dat we van snelheid veranderen.

Wanneer we versnellen om een ​​andere auto in te halen, voegen we richting- en snelheidsvariabelen toe die samen een nieuwe vector vormen.

Aan de andere kant, wanneer we de snelheid willen verlagen, trekken we vectoren af ​​die corresponderen met de genoemde vertraging.

In een andere zin, wanneer we omkeren zonder de snelheid te veranderen, veranderen we de betekenis van de vector die voortkomt uit de beweging van de auto.

Open een deur

Wanneer we een deur openen, gebruiken we verschillende vectoren. Eerst moeten we een kracht in een bepaalde richting drukken om de knop van de deur te draaien, dan moeten we de deur in een bepaalde richting duwen, een kracht afdrukken.

Deze waarden voor kracht en richting komen overeen met de vectoren die worden gebruikt om een ​​deur te openen. Het proces van het sluiten van een deur, genereert een nieuwe vector, waarvan de waarde negatief zal zijn ten opzichte van degene die oorspronkelijk werd gegeven om het te openen.

Verplaats een doos

Wanneer we een doos willen duwen die erg zwaar is, moeten we een kracht uitoefenen op het zijoppervlak. Deze kracht moet in één richting worden uitgeoefend, zodat de doos kan bewegen.

In dit geval is de vector het gevolg van de combinatie van kracht en richting die is toegepast om de doos te verplaatsen.

Als de kracht niet wordt gebruikt om de doos te duwen, maar om hem verticaal op te tillen, verschijnt er een nieuwe vector.

Deze vector zal bestaan ​​uit de verticale as waarop de doos wordt opgeheven en de kracht die wordt uitgeoefend om deze op te tillen.

Verplaats een schaakbord

Net als in het vorige voorbeeld kan een schaakchip op het oppervlak van de tafel worden verplaatst - in een bepaalde richting en met een specifieke kracht - om zijn positie op het bord te veranderen, een vector te genereren.

Het kan ook van het bord worden getild en verticaal een nieuwe vector genereren.

Druk op een knop

Een botó wordt slechts in één richting ingedrukt, gegeven door hetzelfde systeem dat de knop bevat.

Om op die knop te drukken, is het nodig om een ​​kracht met de vinger uit te oefenen. Uit de oefening van deze beweging zal een vector resulteren.

Speel biljart

De actie van het raken van een biljartbal met de houten keu resulteert onmiddellijk in een vector, omdat deze het effect heeft van twee magnitudes: sterkte en richting.

Er wordt een kracht op de biljartbal uitgeoefend om deze in een bepaalde richting te verplaatsen. De biljartbal op tafel heeft een vooraf vastgestelde betekenis, die zal afhangen van de beslissing van de speler.

Een speelgoedauto trekken

Wanneer een kind zijn speelgoedauto neemt en aan een touw trekt, of het simpelweg manipuleert met zijn handen, zal hij talloze vectoren genereren.

Elke keer dat het kind de snelheid of richting verandert waarin de auto beweegt, maakt het een nieuwe vector aan.

De variabelen van de vector, in dit geval, zouden bestaan ​​uit de energie die het kind op de auto toepast en de richting waarin hij het wil verplaatsen..

Vertegenwoordiging van vectoren

Vectorgrootheden worden vaak weergegeven door geschaalde vectordiagrammen.

Vectordiagrammen vertegenwoordigen een vector door een pijl te gebruiken om te schalen in een specifieke richting. Een geschikt vectordiagram moet verschillende kenmerken hebben:

• Een schaal wordt duidelijk vermeld.
• Een vectorpijl wordt getekend (met pijlpunt) in een specifieke richting. De vectorpijl heeft een kop en een staart.
• De grootte en richting van de vector is duidelijk gelabeld.

Adres van een vector

De vectoren kunnen gericht zijn naar het oosten, westen, zuiden en noorden. Maar sommige vectoren zijn gericht naar het noordoosten (in een hoek van 45 °). Daarom is er een duidelijke behoefte om de richting van een vector te identificeren die niet afhankelijk is van het noorden, zuiden, oosten of westen.

Er zijn verschillende conventies om de richting van een vector te beschrijven, maar slechts twee ervan worden hieronder uitgelegd.

1-De richting van een vector wordt vaak uitgedrukt als een rotatiehoek van de vector rond zijn "staart" naar het oosten, westen, noorden of zuiden.

Er kan bijvoorbeeld worden gezegd dat een vector een adres heeft van 40 ° ten noorden van het westen (wat betekent dat een vector die naar het westen wijst 40 ° naar de noordelijke richting is gedraaid) of dat deze een richting van 65 ° graden heeft ten oosten van het zuiden (wat betekent dat een naar het zuiden wijzende vector 65 ° naar het oosten is gedraaid).

2-De richting van een vector wordt vaak uitgedrukt als een draaihoek in de richting tegen de klok in van de vector. Met deze conventie is een vector met een 30 ° -richting een vector die 30 ° tegen de wijzers van de klok in is geroteerd ten opzichte van het oosten..

Een vector met een 160 ° -richting is een vector die in tegenwijzerzin ten opzichte van het oosten 160 ° is geroteerd. Een vector met een 270 ° -richting is een vector die 270 ° in tegenwijzerzin ten opzichte van het oosten is geroteerd.

Grootte van een vector

De grootte van een vector in een geschaald vectordiagram wordt weergegeven door de lengte van de pijl. De pijl wordt getekend met een nauwkeurige lengte volgens een gekozen schaal.

Als u bijvoorbeeld een vector met een grootte van 20 meter wilt tekenen, kunt u kiezen als schaal 1 cm = 5 meter en een pijl tekenen met een lengte van 4 cm.

Met dezelfde schaal (1 cm = 5 meter) wordt een verplaatsingsvector van 15 meter weergegeven door een 3 cm lange vectorpijl.

Op dezelfde manier wordt een verplaatsingsvector van 25 meter voorgesteld door een pijl met een lengte van 5 cm. En tenslotte wordt een verplaatsingsvector van 18 meter voorgesteld door een pijl van 3,6 cm lang.

Andere kenmerken van vectoren

gelijkheid: er wordt gezegd dat twee vectoren gelijk zijn als ze dezelfde grootte en richting hebben. Evenzo zullen ze gelijk zijn als hun coördinaten gelijk zijn.

oppositie: twee vectoren zijn tegengesteld als ze dezelfde grootte hebben maar tegengestelde richting.

paralelos: twee vectoren zijn evenwijdig als ze dezelfde richting hebben maar niet noodzakelijkerwijs dezelfde magnitude of antiparallel als ze de tegenovergestelde richting hebben maar niet noodzakelijkerwijs dezelfde magnitude.

Vector eenheid: een eenheidsvector is elke vector met een lengte van één.

Vector nul: de nulvector is de vector met een lengte nul. In tegenstelling tot elke andere vector, heeft deze een willekeurige of onbepaalde richting en kan niet worden genormaliseerd

referenties

1. Jong IC, Rogers BG. Technische mechanica: statica (1991). Saunders College Publishing.
2. Ito K. Encyclopedic Dictionary of Mathematics (1993). MIT Druk op.
3. Ivanov AB. Encyclopedia of Mathematics (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
5. Lang S. Inleiding tot lineaire algebra (1986). Springer.
6. Niku S. Technische principes in het dagelijks leven voor niet-ingenieurs (2016). Morgan & Claypool.
7. Pedoe D. Geometry: een uitgebreide cursus (1988). Dover.