Dimensionale analysetechnieken, principe van homogeniteit en oefeningen

de dimensionale analyse is een tool die veel wordt gebruikt in verschillende takken van wetenschap en techniek om de verschijnselen waarbij verschillende fysieke grootheden aanwezig zijn beter te begrijpen. De magnitudes hebben dimensies en daaruit worden de verschillende maateenheden afgeleid.

De oorsprong van het begrip dimensie is te vinden in de Franse wiskundige Joseph Fourier, die het heeft bedacht. Fourier begreep ook dat, om twee vergelijkingen vergelijkbaar te maken, ze homogeen moeten zijn met betrekking tot hun dimensies. Dat wil zeggen, u kunt geen meters toevoegen met kilogrammen.

Dus is dimensionale analyse verantwoordelijk voor het bestuderen van de magnitudes, dimensies en homogeniteit van fysische vergelijkingen. Om deze reden wordt het vaak gebruikt om relaties en berekeningen te controleren, of om hypothesen op te stellen over gecompliceerde vragen die vervolgens experimenteel kunnen worden getest..

Op deze manier is de dimensionale analyse een perfect hulpmiddel om fouten in de berekeningen te detecteren bij het controleren van de congruentie of incongruentie van de eenheden die erin worden gebruikt, met name gericht op de eenheden van de eindresultaten.

Daarnaast wordt dimensionale analyse gebruikt om systematische experimenten te projecteren. Het maakt het mogelijk om het aantal noodzakelijke experimenten te verminderen en om de interpretatie van de verkregen resultaten te vergemakkelijken.

Een van de fundamentele grondslagen van de dimensionale analyse is dat het mogelijk is om elke fysieke hoeveelheid weer te geven als een product van de krachten van een kleinere hoeveelheid, bekend als fundamentele grootheden waaruit de rest is afgeleid..

index

• 1 Fundamentele grootheden en dimensionale formule
• 2 Dimensionale analysetechnieken
  • 2.1 Rayleigh-methode
  • 2.2 Buckingham-methode
• 3 Principe van dimensionele homogeniteit
  • 3.1 Principe van overeenkomst
• 4 toepassingen
• 5 Oefeningen opgelost
  • 5.1 Eerste oefening
  • 5.2 Tweede oefening
• 6 Referenties

Fundamentele magnitudes en dimensionale formule

In de natuurkunde worden fundamentele grootheden beschouwd als factoren die het anderen mogelijk maken om zich in termen hiervan uit te drukken. Volgens afspraak is het volgende gekozen: de lengte (L), de tijd (T), de massa (M), de elektrische stroomintensiteit (I), de temperatuur (θ), de lichtintensiteit (J) en de hoeveelheid stof (N).

Integendeel, de rest wordt beschouwd als afgeleide grootheden. Sommige van deze zijn: oppervlakte, volume, dichtheid, snelheid, versnelling, onder anderen.

Wiskundige gelijkheid wordt gedefinieerd als een dimensionale formule die de relatie weergeeft tussen een afgeleide kwantiteit en de fundamentele.

Dimensionale analysetechnieken

Er zijn verschillende technieken of methoden voor dimensionele analyse. Twee van de belangrijkste zijn de volgende:

Rayleigh-methode

Rayleigh, die naast Fourier zat, een van de voorlopers van dimensionale analyse, ontwikkelde een directe en zeer eenvoudige methode waarmee we dimensieloze elementen kunnen verkrijgen. In deze methode worden de volgende stappen gevolgd:

1- De potentiële karakterfunctie van de afhankelijke variabele is gedefinieerd.

2- Elke variabele wordt gewijzigd door de bijbehorende afmetingen.

3- De homogeniteitsconditie-vergelijkingen zijn vastgesteld.

4- De n-p onbekenden zijn opgelost.

5- Vervang de exponenten die zijn berekend en gefixeerd in de potentiële vergelijking.

6- Verplaats de groepen variabelen om de dimensieloze getallen te definiëren.

Buckingham-methode

Deze methode is gebaseerd op Buckingham's stelling of pi-stelling, waarin het volgende staat:

Als er een relatie bestaat op een homogeen dimensionaal niveau tussen een aantal "n" van fysieke grootheden of variabelen waar "p" verschillende fundamentele dimensies verschijnen, is er ook een homogeniteitsrelatie tussen n-p, onafhankelijke dimensieloze groepen.

Principe van dimensionale homogeniteit

Het principe van Fourier, ook bekend als het principe van dimensionale homogeniteit, beïnvloedt de juiste structurering van expressies die algebraïsche fysische grootheden verbinden.

Het is een principe dat wiskundige consistentie heeft en stelt dat de enige optie is om fysische grootheden die van dezelfde aard zijn af te trekken of samen te voegen. Daarom is het niet mogelijk om een ​​massa toe te voegen met een lengte, of een tijd met een oppervlak, enz..

Evenzo stelt het principe dat, om de fysieke vergelijkingen op dimensionaal niveau correct te laten zijn, de totale voorwaarden van de leden van de twee zijden van gelijkheid dezelfde dimensie moeten hebben. Met dit principe kan de samenhang van de fysieke vergelijkingen worden gegarandeerd.

Principe van gelijkenis

Het gelijkheidsbeginsel is een uitbreiding van het karakter van homogeniteit op het dimensionale niveau van de fysieke vergelijkingen. Het staat als volgt vermeld:

De fysieke wetten blijven ongewijzigd ten opzichte van de verandering van de dimensies (grootte) van een fysiek feit in hetzelfde systeem van eenheden, ongeacht of dit veranderingen van een reëel of een denkbeeldig karakter betreft.

De duidelijkste toepassing van het gelijkheidsbeginsel wordt gegeven in de analyse van de fysieke eigenschappen van een model dat op een kleinere schaal is gemaakt, om later de resultaten in het object op ware grootte te gebruiken.

Deze praktijk is fundamenteel op gebieden zoals het ontwerp en de fabricage van vliegtuigen en schepen en in grote hydraulische werken.

toepassingen

Onder de vele toepassingen van dimensionale analyse kunnen we de hieronder genoemde markeren.

- Lokaliseer mogelijke fouten in de uitgevoerde operaties

- Los problemen op waarvan de resolutie enkele onoverkomelijke wiskundige problemen oplevert.

- Ontwerp en analyseer kleinschalige modellen.

- Maak opmerkingen over hoe de mogelijke wijzigingen in een model van invloed zijn.

Bovendien wordt dimensionale analyse vrij vaak gebruikt in de studie van vloeistofmechanica.

De relevantie van dimensionale analyse in vloeistofmechanica is te wijten aan de moeilijkheid om vergelijkingen te maken in bepaalde stromingen en de moeilijkheid om ze op te lossen, dus het is onmogelijk om empirische relaties te krijgen. Daarom is het noodzakelijk om terug te grijpen naar de experimentele methode.

Opgeloste oefeningen

Eerste oefening

Zoek de dimensionale vergelijking van snelheid en versnelling.

oplossing

Omdat v = s / t is het waar dat: [v] = L / T = L ∙ T^-1

Op dezelfde manier:

a = v / t

[a] = L / T² = L ∙ T^-2

Tweede oefening

Bepaal de dimensionale vergelijking van de hoeveelheid beweging.

oplossing

Omdat het momentum het product is tussen massa en snelheid, is het waar dat p = m ∙ v

daarom:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T^-2

referenties

1. Dimensionale analyse (n.d.). In Wikipedia. Opgehaald op 19 mei 2018, via en.wikipedia.org.
2. Dimensionale analyse (n.d.). In Wikipedia. Opgehaald op 19 mei 2018, via en.wikipedia.org.
3. Langhaar, H. L. (1951), Dimensional Analysis and Theory of Models, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Natuurkunde en scheikunde. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Fysica begrijpen. Birkhäuser.