Delen:
Berekening van benaderingen met behulp van het differentieel
Een benadering in de wiskunde is een getal dat niet de exacte waarde van iets is, maar er zo dichtbij staat dat het als nuttig wordt beschouwd als die exacte waarde.
Wanneer benaderingen in de wiskunde worden gemaakt, is het omdat handmatig het moeilijk (of soms onmogelijk) is om de precieze waarde van wat wordt gevraagd te kennen.
Het belangrijkste hulpmiddel bij het werken met benaderingen is het verschil van een functie.
Het verschil van een functie f, aangeduid door Af (x), is niet meer dan de afgeleide van de functie f vermenigvuldigd met de verandering in de onafhankelijke variabele, dat wil zeggen Af (x) = f '(x) * Ax.
Soms worden df en dx gebruikt in plaats van Δf en Δx.
Benaderingen met behulp van het differentieel
De formule die wordt toegepast om een schatting te maken door het verschil, komt precies voort uit de definitie van de afgeleide van een functie als een limiet.
Deze formule wordt gegeven door:
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.
Hier wordt begrepen dat Ax = x-x0, daarom, x = xO + Ax. Hiermee kan de formule worden herschreven als
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.
Opgemerkt moet worden dat "x0" geen willekeurige waarde is, maar een waarde zodanig is dat f (x0) gemakkelijk bekend is; Bovendien is "f (x)" slechts de waarde die we willen benaderen.
Zijn er betere benaderingen?
Het antwoord is ja. De vorige is de eenvoudigste benadering genaamd "lineaire benadering".
Voor benaderingen van betere kwaliteit (de fout is kleiner) worden polynomen gebruikt met meer afgeleide producten die "Taylor-polynomen" worden genoemd, evenals andere numerieke methoden, zoals de Newton-Raphson-methode..
strategie
De te volgen strategie is:
- Kies een geschikte functie f om de benadering en de waarde "x" uit te voeren, zodat f (x) de waarde is die u wilt benaderen.
- Kies een waarde "x0", dichtbij "x", zodat de f (x0) gemakkelijk te berekenen is.
- Bereken Δx = x-x0.
- Bereken de afgeleide van de functie en f '(x0).
- Vervang de gegevens in de formule.
Opgeloste benaderingsoefeningen
In wat continueert is er een reeks oefeningen waarbij benaderingen worden gemaakt met behulp van het differentieel.
Eerste oefening
Ongeveer √3.
oplossing
Volgens de strategie moet een geschikte functie worden gekozen. In dit geval kan worden gezien dat de te kiezen functie f (x) = √x moet zijn en de geschatte waarde f (3) = √3.
Nu moeten we een waarde "x0" in de buurt van "3" kiezen, zodat f (x0) gemakkelijk te berekenen is. Als u "x0 = 2" kiest, staat "x0" dichtbij "3" maar f (x0) = f (2) = √2 is niet eenvoudig te berekenen.
De waarde van "x0" die handig is, is "4", omdat "4" dichtbij "3" is en ook f (x0) = f (4) = √4 = 2.
Als "x = 3" en "x0 = 4", dan is Δx = 3-4 = -1. Nu gaan we verder met het berekenen van de afgeleide van f. Dat wil zeggen, f '(x) = 1/2 * √x, zodat f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.
Vervang alle waarden in de formule die u krijgt:
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.
Als een rekenmachine wordt gebruikt, wordt het verkregen dat √3≈1.73205 ... Dit geeft aan dat het vorige resultaat een goede benadering is van de werkelijke waarde.
Tweede oefening
Ongeveer √10.
oplossing
Zoals eerder is gekozen als een functie f (x) = √x en in dit geval x = 10.
De waarde van x0 die moet worden gekozen in deze opportunity is "x0 = 9". We hebben dan die Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 en f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.
Bij het evalueren in de formule krijg je dat
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...
Met behulp van een rekenmachine krijg je die √10 ≈ 3.1622776 ... Hier kun je ook zien dat een goede schatting was verkregen vóór.
Derde oefening
Geschatte ³√10, waarbij ³√ de kubieke wortel aangeeft.
oplossing
Het is duidelijk dat de functie die moet worden gebruikt in deze oefening f (x) = ³√x is en de waarde van "x" moet "10" zijn.
Een waarde in de buurt van "10", zodat de wortel van de kubus bekend is, is "x0 = 8". Dan hebben we die Δx = 10-8 = 2 en f (x0) = f (8) = 2. We hebben ook die f '(x) = 1/3 * ³√x², en dus f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
Door de gegevens in de formule te substitueren, wordt het volgende verkregen:
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .
De rekenmachine zegt dat ³√10 ≈ 2.15443469 ... Daarom is de gevonden benadering goed.
Vierde oefening
Approxime ln (1.3), waarbij "ln" de natuurlijke logaritmafunctie aangeeft.
oplossing
Eerst wordt de functie f (x) = ln (x) gekozen en de waarde van "x" is 1,3. Nu we wat weten over de logaritmefunctie, kunnen we weten dat ln (1) = 0 en ook "1" bijna "1.3" is. Daarom is "x0 = 1" gekozen en dus Δx = 1.3 - 1 = 0.3.
Aan de andere kant is f '(x) = 1 / x, dus f' (1) = 1. Bij het evalueren in de gegeven formule moet u:
ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.
Bij gebruik van een rekenmachine moet je ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Dus de gemaakte benadering is goed.
referenties
- Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus wiskunde: een probleemoplossende benadering (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
- Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
- Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Platte analytische geometrie. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
- Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
- Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). berekening (Negende ed.). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Differentiaalrekening met vroege transcendentale functies voor wetenschap en techniek (Tweede editie). hypotenuse.
- Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (herdruk ed.). Bliksembron.
- Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.