Wat is de som van de vierkanten van twee opeenvolgende getallen?

Weten wat is de som van de vierkanten van twee opeenvolgende getallen, je kunt een formule vinden waarmee het voldoende is om de betrokken nummers te vervangen om het resultaat te verkrijgen.

Deze formule kan op een algemene manier worden gevonden, dat wil zeggen dat deze voor elk paar opeenvolgende nummers kan worden gebruikt.

Door 'opeenvolgende getallen' te zeggen, impliceren we impliciet dat beide getallen gehele getallen zijn. En wanneer hij over 'de vierkanten' spreekt, doelt hij op het kwadrateren van elk getal.

Als we bijvoorbeeld de getallen 1 en 2 beschouwen, zijn hun vierkanten 1² = 1 en 2² = 4, daarom is de som van de vierkanten 1 + 4 = 5.

Aan de andere kant, als de nummers 5 en 6 zijn genomen, zijn hun vierkanten 5² = 25 en 6² = 36, waarbij de som van de vierkanten 25 + 36 = 61 is.

Wat is de som van de vierkanten van twee opeenvolgende getallen?

Het doel is nu om te generaliseren wat is gedaan in de vorige voorbeelden. Hiervoor is het noodzakelijk om een ​​algemene manier te vinden om een ​​geheel getal en zijn opeenvolgende geheel te schrijven.

Als twee opeenvolgende gehele getallen worden waargenomen, bijvoorbeeld 1 en 2, is te zien dat 2 kan worden geschreven als 1 + 1. Ook als we naar de nummers 23 en 24 kijken, concluderen we dat 24 kan worden geschreven als 23 + 1.

Voor negatieve gehele getallen kan dit gedrag ook worden geverifieerd. In feite, als u -35 en -36 overweegt, kunt u zien dat -35 = -36 + 1.

Daarom, als een geheel getal "n" wordt gekozen, is het gehele getal dat volgt op "n" "n + 1". Er is dus al een relatie vastgesteld tussen twee opeenvolgende gehele getallen.

Wat is de som van de vierkanten?

Gegeven twee opeenvolgende gehele getallen "n" en "n + 1", dan zijn hun vierkanten "n²" en "(n + 1) ²". Met behulp van de eigenschappen van opmerkelijke producten kan deze laatste term als volgt worden geschreven:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Tenslotte wordt de som van de vierkanten van de twee opeenvolgende getallen gegeven door de uitdrukking:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1 = 2n (n + 1) +1.

Als de vorige formule gedetailleerd is, kan worden gezien dat het voldoende is om het kleinste gehele getal "n" te kennen om te weten wat de som van de vierkanten is, dat wil zeggen dat het voldoende is om de kleinste van de twee gehele getallen te gebruiken.

Een ander perspectief van de verkregen formule is: de gekozen getallen worden vermenigvuldigd, vervolgens wordt het verkregen resultaat vermenigvuldigd met 2 en tenslotte wordt het toegevoegd 1.

Aan de andere kant is de eerste summand aan de rechterkant een even getal en als u 1 toevoegt, is het resultaat vreemd. Dit zegt dat het resultaat van het toevoegen van de vierkanten van twee opeenvolgende getallen altijd een oneven getal zal zijn.

Er kan ook worden opgemerkt dat aangezien er twee vierkante getallen worden toegevoegd, dit resultaat altijd positief zal zijn.

Voorbeelden

1.- Beschouw de gehele getallen 1 en 2. Het kleinste gehele getal is 1. Met de bovenstaande formule besluiten we dat de som van de vierkanten is: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Wat overeenkomt met de accounts die in het begin zijn gemaakt.

2.- Als de gehele getallen 5 en 6 worden ingenomen, dan is de som van de vierkanten 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, wat ook overeenkomt met het resultaat dat aan het begin is verkregen.

3.- Als de gehele getallen -10 en -9 worden gekozen, is de som van hun vierkanten: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Laat de gehele getallen in deze gelegenheid -1 en 0, dan wordt de som van hun vierkanten gegeven door 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

referenties

1. Bouzas, P.G. (2004). Algebra op de middelbare school: coöperatief werk in de wiskunde. Narcea-edities.
2. Cabello, R. N. (2007). Krachten en wortels. Publicatuslibros.
3. Cabrera, V. M. (1997). Berekening 4000. Redactie Progreso.
4. Guevara, M. H. (s.f.). De verzameling van de hele getallen. EUNED.
5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
6. Smith, S.A. (2000). algebra. Pearson Education.
7. Thomson. (2006). De GED passeren: wiskunde. InterLingua Publishing.