Hoeveel oplossingen heeft een kwadratische vergelijking?

Een kwadratische vergelijking of vergelijking van de tweede graad kan nul, één of twee echte oplossingen hebben, afhankelijk van de coëfficiënten die in de vergelijking voorkomen.

Als je aan complexe getallen werkt, kun je zeggen dat elke kwadratische vergelijking twee oplossingen heeft.

Om een ​​kwadratische vergelijking te starten is een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0, waarbij a, b en c reële getallen zijn en x een variabele is.

Er wordt gezegd dat x1 een oplossing is van de vorige kwadratische vergelijking als het vervangen van x door x1 voldoet aan de vergelijking, dat wil zeggen als a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Als je bijvoorbeeld de vergelijking x²-4x + 4 = 0 hebt, dan is x1 = 2 de oplossing omdat (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Integendeel, als x2 = 0 wordt vervangen, verkrijgen we (0) ²-4 (0) + 4 = 4 en als 4 ≠ 0 dan is x2 = 0 geen oplossing van de kwadratische vergelijking.

Oplossingen van een kwadratische vergelijking

Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking kan worden onderverdeeld in twee gevallen die:

1.- In de echte cijfers

Bij het werken met reële getallen, kunnen kwadratische vergelijkingen hebben:

-Nul oplossingen: dat wil zeggen, er is geen reëel getal dat voldoet aan de kwadratische vergelijking. Bijvoorbeeld, de vergelijking gegeven door de vergelijking x² + 1 = 0, er is geen reëel getal dus dat voldoet aan deze vergelijking, aangezien zowel x² groter is dan of gelijk is aan nul en 1 groter is dan strikt nul, zodat zijn som groter zal zijn strikt dat nul.

-Een herhaalde oplossing: er is een enkele reële waarde die voldoet aan de kwadratische vergelijking. De enige oplossing voor de vergelijking x²-4x + 4 = 0 is bijvoorbeeld x1 = 2.

-Twee verschillende oplossingen: er zijn twee waarden die voldoen aan de kwadratische vergelijking. Bijvoorbeeld, x² + x-2 = 0 heeft twee verschillende oplossingen die x1 = 1 en x2 = -2 zijn.

2.- In complexe getallen

Bij het werken met complexe getallen hebben de kwadratische vergelijkingen altijd twee oplossingen die z1 en z2 zijn, waarbij z2 het conjugaat van z1 is. Bovendien kunnen ze worden ingedeeld in:

-complex: de oplossingen hebben de vorm z = p ± qi, waarbij p en q reële getallen zijn. Dit geval komt overeen met het eerste geval van de vorige lijst.

-Pure complexen: is wanneer het echte deel van de oplossing gelijk is aan nul, dat wil zeggen, de oplossing heeft de vorm z = ± qi, waarbij q een reëel getal is. Dit geval komt overeen met het eerste geval van de vorige lijst.

-Complexen met een denkbeeldig deel gelijk aan nul: is wanneer het complexe deel van de oplossing gelijk is aan nul, dat wil zeggen dat de oplossing een reëel getal is. Dit geval komt overeen met de laatste twee gevallen van de vorige lijst.

Hoe worden de oplossingen van een kwadratische vergelijking berekend??

Om de oplossingen van een kwadratische vergelijking te berekenen, wordt een formule gebruikt die bekend staat als "de resolver", die zegt dat de oplossingen van een vergelijking ax² + bx + c = 0 worden gegeven door de uitdrukking van de volgende afbeelding:

De kwantiteit die in de vierkantswortel verschijnt, wordt de discriminant van de kwadratische vergelijking genoemd en wordt aangeduid met de letter "d".

De kwadratische vergelijking heeft:

-Twee echte oplossingen als, en alleen als, d> 0.

-Een echte oplossing herhaald als, en alleen als, d = 0.

-Nul echte oplossingen (of twee complexe oplossingen) als, en alleen als, d<0.

Voorbeelden:

-De oplossingen van de vergelijking x² + x-2 = 0 worden gegeven door:

-De vergelijking x²-4x + 4 = 0 heeft een herhaalde oplossing die wordt gegeven door:

-De oplossingen van de vergelijking x² + 1 = 0 worden gegeven door:

Zoals je in dit laatste voorbeeld kunt zien, is x2 het conjugaat van x1.

referenties

1. Bronnen, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot berekening. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen.: Hoe een kwadratische vergelijking op te lossen. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Wiskunde voor administratie en economie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. drempel.
5. Preciado, C. T. (2005). Wiskunde Cursus 3o. Redactie Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra I Is Easy! Zo eenvoudig. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie. Pearson Education.