Additieve decompositie-applicaties, partities, grafische afbeeldingen

de additieve ontbinding van een positief geheel getal is om het uit te drukken als een som van twee of meer positieve gehele getallen. We hebben dus dat het getal 5 kan worden uitgedrukt als 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 of 5 = 1 + 2 + 2. Elk van deze manieren om het getal 5 te schrijven is wat we een additieve decompositie noemen.

Als we opletten, kunnen we zien dat de uitdrukkingen 5 = 2 + 3 en 5 = 3 + 2 dezelfde samenstelling vertegenwoordigen; beide hebben dezelfde nummers. Echter, voor het gemak is elk van de bijlagen meestal geschreven volgens het criterium van minst naar hoogste.

index

• 1 Additieve ontleding
• 2 canonieke additieve ontbinding
• 3 toepassingen
  • 3.1 Voorbeeldstelling
• 4 partities
  • 4.1 Definitie
• 5 afbeeldingen
• 6 Referenties

Additieve ontleding

Als een ander voorbeeld kunnen we nummer 27 nemen, wat we kunnen uitdrukken als:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

De additieve decompositie is een zeer nuttig hulpmiddel waarmee we onze kennis over de nummeringssystemen kunnen versterken.

Additieve canonieke decompositie

Als we meer dan twee cijfers hebben, is een bepaalde manier om ze te ontbinden in de veelvouden van 10, 100, 1000, 10 000, enz., Die het goedmaken. Deze manier van schrijven van elk nummer wordt canonieke additieve decompositie genoemd. Het nummer 1456 kan bijvoorbeeld als volgt worden opgesplitst:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Als we het nummer 20 846 295 hebben, zal de canonieke additie van het additief zijn:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Dankzij deze decompositie kunnen we zien dat de waarde van een bepaald cijfer wordt gegeven door de positie die het inneemt. Neem de nummers 24 en 42 als voorbeeld:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Hier kunnen we zien dat in 24 de 2 een waarde heeft van 20 eenheden en de 4 een waarde van 4 eenheden; aan de andere kant, in 42 heeft de 4 een waarde van 40 eenheden en de 2 van twee eenheden. Dus hoewel beide getallen dezelfde cijfers gebruiken, verschillen hun waarden totaal van de positie die ze innemen.

toepassingen

Een van de toepassingen die het additief ontleding kan geven is in een soort van demonstraties, in wat erg handig is zien we een positief geheel getal als een som van andere.

Voorbeeldstelling

Neem als voorbeeld de volgende stelling met zijn respectieve demonstraties.

- Laat Z een 4-cijferig geheel getal zijn, dan is Z deelbaar door 5 als het nummer dat overeenkomt met de eenheden nul of vijf is.

tonen

Onthoud wat deelbaarheid is. Als we "a" en "b" gehele getallen hebben, zeggen we dat "a" "b" verdeelt als er een integer "c" is, zodanig dat b = a * c.

Een eigenschap van scheidbaarheid vertelt ons dat als "a" en "b" deelbaar zijn door "c", dan aftrekken van "a-b" zo is.

Laat Z een 4-cijferig geheel getal zijn; daarom kunnen we Z als Z = ABCD schrijven.

Met behulp van de canonical additive decomposition hebben we dat:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Duidelijk, A * 1000 + B * + C * 10 100 deelbaar is door 5. Hiervoor hebben we Z deelbaar is door 5 indien Z - (A * 1000 + B * + C * 10 100) deelbaar is door 5.

Maar Z - (A * 1000 + B * + C * 10 100) = D en D een enkel cijfer, zodat de enige manier deelbaar is door 5 ofwel 0 of 5.

Daarom is Z deelbaar door 5 als D = 0 of D = 5.

Merk op dat als Z n-cijfers heeft, het bewijs exact hetzelfde is, het verandert alleen dat we nu Z = A zouden schrijven₁Een₂... A_n en het doel zou zijn om te bewijzen dat A_n het is nul of vijf.

scheidingswanden

We zeggen dat een verdeling van een positief geheel getal een manier is om een ​​getal te schrijven als een som van positieve gehele getallen.

Het verschil tussen een additief ontleding en een scheidingswand is dat terwijl de eerstgenoemde is de bedoeling dat ten minste kan worden ontleed in twee woorden of meer, de partitie niet deze beperking hebben.

Dus we hebben het volgende:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Het bovenstaande zijn partities van 5.

Dat wil zeggen, we hebben dat alle additieve decompositie een partitie is, maar niet elke partitie is noodzakelijkerwijs een additieve decompositie.

In de getaltheorie garandeert de fundamentele stelling van de rekenkunde dat elk geheel getal uniek kan worden geschreven als een product van neven en nichten.

Bij het bestuderen van partities is het doel om te bepalen op hoeveel manieren u een positief geheel getal kunt schrijven als de som van andere gehele getallen. Daarom definiëren we de partitiefunctie zoals hieronder weergegeven.

definitie

De partitiefunctie p (n) wordt gedefinieerd als het aantal manieren waarop een positief geheel getal n kan worden geschreven als een som van positieve gehele getallen.

Terugkomend op het voorbeeld van 5, moeten we:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Op zo'n manier, p (5) = 7.

grafisch

Zowel de partities als de additieve decomposities van een getal n kunnen geometrisch worden weergegeven. Stel dat we een additieve decompositie van n hebben. In deze decompositie kunnen de bijlagen zodanig worden ingericht dat de leden van de som worden gerangschikt van het laagste naar het hoogste. Dan is het de moeite waard:

n = a₁ + naar₂ + naar₃ +... + a_r met

naar₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a_r.

We kunnen deze decompositie op de volgende manier in kaart brengen: in de eerste rij markeren we de₁-punten, dan in de volgende die we markeren₂-punten, enzovoort, totdat je zover bent_r.

Neem het nummer 23 en de volgende decompositie als voorbeeld:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

We bestellen deze decompositie en we hebben:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

De bijbehorende grafiek zou zijn:

Als we de grafiek verticaal in plaats van horizontaal lezen, kunnen we een decompositie verkrijgen die kan verschillen van de vorige. In het voorbeeld van 23 wordt het volgende benadrukt:

Dus we moeten 23 we kunnen het ook schrijven als:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

referenties

1. G.H. Hardy en E. M. Wright. Een inleiding tot de theorie van de getallen. Oxford. Clarendon Press.
2. Navarro C. Didactische encyclopedie 6. Redactioneel Santillana, S.A.
3. Navarro C.Verband met wiskunde 6. Redactioneel Santillana, S.A.
4. Niven & Zuckerman. Introductie tot de getaltheorie. Limusa.
5. VV.AA Evaluatie Criteria voor wiskundig gebied: een model voor het basisonderwijs. Wolters Kluwer Education.
6. Didactische encyclopedie 6.