Gedeeltelijke fracties Gevallen en voorbeelden

de gedeeltelijke breuken het zijn fracties gevormd door polynomen, waarbij de noemer een lineaire of kwadratische polynoom kan zijn en bovendien tot een of andere kracht kan worden verhoogd. Soms, wanneer we rationale functies hebben, is het zeer nuttig om deze functie te herschrijven als een som van gedeeltelijke breuken of eenvoudige breuken.

Dit is zo omdat we op deze manier deze functies op een betere manier kunnen manipuleren, vooral in die gevallen waarin het nodig is om deze applicatie te integreren. Een rationele functie is eenvoudigweg het quotiënt tussen twee polynomen en kan geschikt of ongepast zijn.

Als de graad van de polynoom van de teller kleiner is dan de noemer, wordt deze de eigen rationale functie genoemd; anders staat het bekend als een onjuiste rationele functie.

index

• 1 Definitie
• 2 zaken
  • 2.1 Geval 1
  • 2.2 Geval 2
  • 2.3 Geval 3
  • 2.4 Geval 4
• 3 toepassingen
  • 3.1 Uitgebreide berekening
  • 3.2 Wet van massale actie
  • 3.3 Differentiaalvergelijkingen: logistieke vergelijking
• 4 Referenties

definitie

Als er een onjuiste rationale functie, kunnen we de polynoom teller delen door de noemer polynoom en daardoor herschrijven de fractie p (x) / q (x) na de splitsing algoritme t (x) + s (x) / q (x), waarbij t (x) een polynoom is en s (x) / q (x) een rationale functie is van zichzelf.

Een gedeeltelijke breuk is elke juiste functie van polynomen, waarvan de noemer de vorm heeft (ax + b)ⁿ o (bijl²+ bx + c)ⁿ, als de polynoombijl² + bx + c heeft geen echte wortels en n is een natuurlijk getal.

Teneinde een rationele functie deelfracties herschrijven, het eerste wat te doen is om de noemer q (x) als alle factoren lineaire en / of kwadratische factor. Zodra dit is gebeurd, worden gedeeltelijke fracties bepaald, die afhankelijk zijn van de aard van de genoemde factoren.

cases

We beschouwen verschillende gevallen afzonderlijk.

Case 1

De factoren van q (x) zijn allemaal lineair en geen enkele wordt herhaald. Dat is:

q (x) = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂) ... (a_sx + b_s)

Daar is geen lineaire factor identiek aan een andere. Wanneer dit geval zich voordoet zullen we schrijven:

p (x) / q (x) = A₁/ (a₁x + b₁) + A₂/ (a₂x + b₂) ... + A_s/ (a_sx + b_s).

Waar A₁,Een₂,..., A_s zijn de constanten die u wilt vinden.

voorbeeld

We willen de rationele functie ontbinden in eenvoudige breuken:

(x - 1) / (x³+3x²+2x)

We gaan over tot het ontbinden van de noemer, dat wil zeggen:

X³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

dan:

(x - 1) / (x³+3x²+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Als u het kleinste gemene veelvoud toepast, kunt u dat verkrijgen:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

We willen de waarden van de constanten A, B en C verkrijgen, die kunnen worden gevonden door de wortels te vervangen die elk van de termen annuleren. Vervanging 0 voor x we ​​hebben:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Vervangen - 1 voor x we ​​hebben:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Vervangen - 2 voor x we ​​hebben:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Op deze manier worden de waarden A = -1/2, B = 2 en C = -3/2 verkregen..

Er is een andere methode om de waarden van A, B en C. Indien aan de rechterzijde van de vergelijking x verkrijgen - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x + 1) x we ​​combineren voorwaarden, we hebben:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Omdat dit een gelijkheid van polynomen is, hebben we dat de coëfficiënten van de linkerkant gelijk moeten zijn aan die aan de rechterkant. Dit resulteert in het volgende systeem van vergelijkingen:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Bij het oplossen van dit stelsel van vergelijkingen verkrijgen we de resultaten A = -1/2, B = 2 en C = -3/2.

Ten slotte, als we de verkregen waarden vervangen, moeten we:

(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2 x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Case 2

De factoren van q (x) zijn allemaal lineair en sommige worden herhaald. Stel dat (ax + b) een factor is die de "s" -tijden herhaald wordt; vervolgens correspondeert deze factor met de som van "s" gedeeltelijke breuken.

Een_s/ (bijl + b)^s + Een_s-1/ (bijl + b)^s-1 +... + A₁/ (bijl + b).

Waar de A_s,Een_s-1,..., A₁ ze zijn de te bepalen constanten. Aan de hand van het volgende voorbeeld laten we zien hoe deze constanten kunnen worden bepaald.

voorbeeld

Ontleden in gedeeltelijke breuken:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

We schrijven de rationale functie als een som van gedeeltelijke breuken als volgt:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (x - 2)² + E / (x - 2).

dan:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + Cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²X²

Vervanging van 2 voor x, we moeten:

7 = 4C, dat wil zeggen C = 7/4.

Vervanging 0 voor x we ​​hebben:

- 1 = -8A of A = 1/8.

Als we deze waarden in de vorige vergelijking vervangen en ontwikkelen, moeten we:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² +dx³ - 2DX² + voormalig²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8B) x - 1.

Door coëfficiënten bij elkaar te zoeken, verkrijgen we het volgende systeem van vergelijkingen:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Oplossen van het systeem, we hebben:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Daarom moeten we:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

Case 3

De factoren van q (x) zijn kwadratisch lineair, zonder dat een kwadratische factor wordt herhaald. Voor dit geval is de kwadratische factor (ax² + bx + c) komt overeen met de deelfractie (Ax + B) / (bijl)² + bx + c), waarbij de constanten A en B degene zijn die u wilt bepalen.

In het volgende voorbeeld ziet u hoe u in dit geval verdergaat

voorbeeld

Ontleden in eenvoudige breuken a (x + 1) / (x³ - 1).

Eerst gaan we over tot het berekenen van de noemer, wat ons als resultaat geeft:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

We kunnen dat zien (x² + x + 1) is een onherleidbaar kwadratisch polynoom; dat wil zeggen, het heeft geen echte wortels. De ontbinding ervan in deelfracties is als volgt:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

Hieruit verkrijgen we de volgende vergelijking:

x + 1 = (A + B) x² +(A - B + C) x + (A - C)

Met behulp van gelijkheid van polynomen, verkrijgen we het volgende systeem:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Van dit systeem hebben we A = 2/3, B = - 2/3 en C = 1/3. Vervangen, we moeten:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1).

Case 4

Ten slotte is geval 4 er een waarin de factoren van q (x) lineair en kwadratisch zijn, waarbij sommige van de lineaire kwadratische factoren worden herhaald.

In dit geval, ja (bijl² + bx + c) is een kwadratische factor die "s" keer herhaald wordt, dan is de gedeeltelijke breuk corresponderend met de factor (ax)² + bx + c) zal zijn:

(A₁x + B) / (bijl² + bx + c) + ... + (A_s-1x + B_s-1) / (bijl)² + bx + c)^s-1 + (A_sx + B_s) / (bijl)² + bx + c)^s

Waar de A_s, Een_s-1,..., A en B_s, B_s-1,..., B zijn de constanten die u wilt bepalen.

voorbeeld

We willen de volgende rationele functie opsplitsen in gedeeltelijke breuken:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

Zoals x² - 4x + 5 is een onherleidbare kwadratische factor, we hebben de ontleding ervan in deelfracties gegeven door:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x +5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

Vereenvoudigend en in ontwikkeling, we hebben:

x - 2 = A (x² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Uit het bovenstaande hebben we het volgende systeem van vergelijkingen:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Bij het oplossen van het systeem, moeten we:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 en E = - 3/5.

Bij het vervangen van de verkregen waarden hebben we:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

toepassingen

Uitgebreide berekening

De gedeeltelijke fracties worden hoofdzakelijk gebruikt voor de studie van integraalberekening. Hieronder zullen we enkele voorbeelden zien van het maken van integralen met behulp van gedeeltelijke breuken.

Voorbeeld 1

We willen de integraal berekenen van:

We kunnen zien dat de noemer q (x) = (t + 2)²(t + 1) bestaat uit lineaire factoren waarbij een van deze herhalingen; hiervoor zijn we in geval 2.

We moeten:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

We herschrijven de vergelijking en we hebben:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

Als t = - 1, moeten we:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Als t = - 2, geeft dit ons:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Dan, als t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

De waarden van A en C vervangen:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Uit het bovenstaande hebben we dat B = - 1.

We herschrijven de integraal als:

We gaan door met het oplossen van de substitutiemethode:

Dit resulteert in:

Voorbeeld 2

Los de volgende integraal op:

In dit geval kunnen we factor tot q (x) = x² - 4 als q (x) = (x - 2) (x + 2). Het is duidelijk dat we in geval 1 zitten. Daarom:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Het kan ook worden uitgedrukt als:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Als x = - 2, hebben we:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

En als x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Dus, we moeten oplossen dat de gegeven integraal equivalent is om op te lossen:

Dit geeft ons als resultaat:

Voorbeeld 3

Los de integraal op:

We hebben q (x) = 9x⁴ + X² , dat we kunnen factor in q (x) = x²(9x² + 1).

Bij deze gelegenheid hebben we een herhaalde lineaire factor en een kwadratische factor; dat wil zeggen, we zijn in geval 3.

We moeten:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + dx²

Door gelijkheid van polynomen te groeperen en gebruiken, hebben we:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Van dit stelsel van vergelijkingen moeten we:

D = - 9 en C = 0

Op deze manier hebben we:

Door het bovenstaande op te lossen, hebben we:

Wet van massale actie

Een interessante toepassing van de partiële fracties toegepast op de integraalrekening is te vinden in de chemie, meer bepaald in de wet van massale actie.

Stel dat we twee stoffen A en B, die worden samengevoegd en vormen een stof C, zodat de afgeleide van de hoeveelheid C versus tijd is evenredig met het product van de hoeveelheden A en B op enig moment.

We kunnen de wet van massale actie als volgt uitdrukken:

In deze uitdrukking is α de initiële hoeveelheid gram overeenkomend met A en β de initiële hoeveelheid gram overeenkomend met B.

Daarnaast vertegenwoordigen r en s het aantal grammen A en B die samen een r + s gram van C vormen. Van zijn kant vertegenwoordigt x het aantal gram van stof C op tijdstip t, en K is de constante van proportionaliteit. De bovenstaande vergelijking kan worden herschreven als:

De volgende wijziging aanbrengen:

We hebben dat de vergelijking wordt:

Uit deze uitdrukking kunnen we het volgende verkrijgen:

Waar ja a ≠ b, kunnen gedeeltelijke breuken worden gebruikt voor integratie.

voorbeeld

Neem bijvoorbeeld een stof C die ontstaat door het combineren van een stof A met een B, zodanig dat aan de wet van de massa wordt voldaan als de waarden van a en b respectievelijk 8 en 6 zijn. Geef een vergelijking die ons de waarde van gram C geeft als functie van de tijd.

Door de waarden in de gegeven massale wet te vervangen, hebben we:

Bij het scheiden van variabelen hebben we:

Hier kan 1 / (8 - x) (6 - x) worden geschreven als een som van gedeeltelijke breuken, als volgt:

Dus 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Als we x voor 6 vervangen, hebben we die B = 1/2; en vervangen door x voor 8, hebben we A = - 1/2.

Integratie door gedeeltelijke breuken hebben we:

Dit geeft ons als resultaat:

Differentiaalvergelijkingen: logistieke vergelijking

Een andere toepassing die aan gedeeltelijke breuken kan worden gegeven, is in de logistische differentiaalvergelijking. In eenvoudige modellen hebben we dat de groeisnelheid van een populatie evenredig is aan de omvang ervan; dat is:

Deze casus is een ideaal en wordt als realistisch beschouwd totdat de middelen die beschikbaar zijn in een systeem onvoldoende zijn om de populatie te behouden.

In deze situaties is het redelijker om te denken dat er een maximale capaciteit is, die we L zullen noemen, die het systeem kan volhouden en dat de groeisnelheid evenredig is met de bevolkingsomvang vermenigvuldigd met de beschikbare omvang. Dit argument leidt tot de volgende differentiaalvergelijking:

Deze uitdrukking wordt de logistische differentiaalvergelijking genoemd. Het is een scheidbare differentiaalvergelijking die kan worden opgelost met de methode van integratie door gedeeltelijke breuken.

voorbeeld

Een voorbeeld zou zijn om een ​​populatie te beschouwen die groeit volgens de volgende logistische differentiaalvergelijking y '= 0.0004y (1000 - y), waarvan de initiële gegevens 400 zijn. We willen de grootte van de populatie weten op tijdstip t = 2, waarbij t wordt gemeten in jaren.

Als we een en 'schrijven met de Leibniz-notatie als een functie die van t afhangt, moeten we:

De integraal van de linkerkant kan worden opgelost met behulp van de methode van integratie door gedeeltelijke breuken:

Deze laatste gelijkheid kan als volgt worden herschreven:

- Vervanging y = 0 we hebben A is gelijk aan 1/1000.

- Vervangend y = 1000 hebben we dat B gelijk is aan 1/1000.

Met deze waarden blijft de integraal als volgt achter:

De oplossing is:

De eerste gegevens gebruiken:

Bij het opruimen en we zijn vertrokken:

Dan hebben we dat op t = 2:

Concluderend, na 2 jaar is de populatie ongeveer 597,37.

referenties

1. A, R. A. (2012). Wiskunde 1. Universiteit van de Andes. Publications Council.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 opgeloste integralen. Nationale experimentele universiteit van Tachira.
3. Leithold, L. (1992). DE BEREKENING met Analytical Geometry. HARLA, S.A.
4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). berekening. Mexico: Pearson Education.
5. Saenz, J. (s.f.). Uitgebreide calculus. hypotenuse.