Euclidische geometrie geschiedenis, basisconcepten en voorbeelden

de Euclidische geometrie komt overeen met de studie van de eigenschappen van geometrische ruimtes waar aan de axioma's van Euclid is voldaan. Hoewel deze term soms wordt gebruikt om geometrieën te omvatten met superieure afmetingen met vergelijkbare eigenschappen, is deze term meestal synoniem met klassieke geometrie of platte geometrie..

In de derde eeuw a. C. Euclides en zijn discipelen schreven het elementen, een werk dat de wiskundige kennis omvatte van de tijd begiftigd met een logisch-deductieve structuur. Sindsdien is geometrie een wetenschap geworden, aanvankelijk om klassieke problemen op te lossen en is het uitgegroeid tot een vormende wetenschap die helpt redeneren.

index

• 1 Geschiedenis
• 2 Basisbegrippen
  • 2.1 Algemene begrippen
  • 2.2 Postulaten of axioma's
• 3 voorbeelden
  • 3.1 Eerste voorbeeld
  • 3.2 Tweede voorbeeld
  • 3.3 Derde voorbeeld
• 4 Referenties

geschiedenis

Om te praten over de geschiedenis van de Euclidische meetkunde, is het essentieel om te beginnen met Euclid van Alexandrië en de elementen.

Toen Egypte in handen was van Ptolemaeus I, na de dood van Alexander de Grote, begon hij zijn project op een school in Alexandrië.

Onder de wijzen die op school lesgaven, was Euclides. Er wordt gespeculeerd dat zijn geboortedata ongeveer 325 a bedragen. C. en zijn dood van 265 a. C. We kunnen met zekerheid weten dat hij naar de school van Plato ging.

Al meer dan dertig jaar onderwees Euclid in Alexandrië en bouwde zijn beroemde elementen: hij begon een uitvoerige beschrijving te schrijven van de wiskunde van zijn tijd. De leringen van Euclid leverden uitstekende discipelen op, zoals Archimedes en Apollonius van Perga.

Euclides was verantwoordelijk voor het structureren van de ongelijksoortige ontdekkingen van de klassieke Grieken in de elementen, maar in tegenstelling tot zijn voorgangers beperkt het zich niet tot het bevestigen dat een stelling waar is; Euclides biedt een demonstratie.

de elementen Ze zijn een compendium van dertien boeken. Na de Bijbel is het het meest gepubliceerde boek, met meer dan duizend edities.

de elementen is het meesterwerk van Euclides in het veld van de geometrie, en biedt een definitieve behandeling van geometrie van twee dimensies (het vlak) en drie dimensies (ruimte), dit is de oorsprong van wat we nu kennen als Euclidische meetkunde.

Basisbegrippen

De elementen zijn opgebouwd uit definities, gemeenschappelijke begrippen en postulaten (of axioma's) gevolgd door stellingen, constructies en demonstraties.

- Een punt is datgene dat geen delen heeft.

- Een lijn is een lengte zonder breedte.

- Een rechte lijn is degene die evenveel ligt in relatie tot de punten die hierin zitten.

- Als twee lijnen worden gesneden zodat de aangrenzende hoeken gelijk zijn, worden de hoeken recht genoemd en worden de lijnen loodlijnen genoemd..

- Parallelle lijnen zijn lijnen die nooit in hetzelfde vlak worden gesneden.

Na deze en andere definities presenteert Euclid een lijst met vijf postulaten en vijf begrippen.

Gemeenschappelijke begrippen

- Twee dingen die gelijk zijn aan een derde, zijn gelijk aan elkaar.

- Als gelijke dingen aan dezelfde dingen worden toegevoegd, zijn de resultaten hetzelfde.

- Als gelijke dingen worden afgetrokken van dezelfde dingen, zijn de resultaten hetzelfde.

- De dingen die bij elkaar passen, zijn gelijk aan elkaar.

- Het totaal is groter dan een gedeelte.

Postulaten of axioma's

- Voor twee verschillende punten passeert één en slechts één lijn.

- Rechte lijnen kunnen zich oneindig uitstrekken.

- Je kunt een cirkel tekenen met elk middelpunt en elke straal.

- Alle juiste hoeken zijn hetzelfde.

- Als een rechte lijn twee rechte lijnen kruist zodat de interne hoeken van dezelfde zijde optellen tot minder dan twee rechte hoeken, dan snijden de twee lijnen aan die kant.

Dit laatste postulaat staat bekend als het postulaat van de parallellen en werd als volgt geherformuleerd: "Voor een punt buiten een lijn, kun je een enkele parallel tekenen met de gegeven regel".

Voorbeelden

Vervolgens enkele stellingen van de elementen ze zullen dienen om eigenschappen te tonen van geometrische ruimtes waar de vijf veronderstellingen van Euclides vervuld zijn; Daarnaast zullen ze de logisch-deductieve redenering illustreren die door deze wiskundige wordt gebruikt.

Eerste voorbeeld

Voorstel 1.4. (LAL)

Als twee driehoeken twee zijden hebben en de hoek daartussen gelijk is, zijn de andere zijden en de andere hoeken gelijk.

tonen

Laat ABC en A'B'C 'twee driehoeken zijn met AB = A'B', AC = A'C 'en de hoeken BAC en B'A'C' gelijk. Ga naar driehoek A'B'C 'zodat A'B' samenvalt met AB en die hoek B'A'C 'valt samen met hoek BAC.

Dan valt lijn A'C 'samen met lijn AC, zodat C' samenvalt met C. Dan moet postulaat 1 lijn BC samenvallen met lijn B'C '. Daarom vallen de twee driehoeken samen en bijgevolg zijn hun hoeken en zijden gelijk.

Tweede voorbeeld

Voorstel 1.5. (Pons Asinorum)

Als een driehoek twee gelijke zijden heeft, zijn de hoeken tegenover die zijden gelijk.

tonen

Stel dat de driehoek ABC gelijke zijden AB en AC heeft.

Vervolgens hebben driehoeken ABD en ACD twee gelijke zijden en zijn de hoeken daartussen gelijk. Dus, door propositie 1.4, zijn de hoeken ABD en ACD gelijk.

Derde voorbeeld

Stelling 1.31

Je kunt een lijn parallel aan een lijn op een bepaald punt bouwen.

constructie

Gegeven een lijn L en een punt P, wordt een rechte lijn M getekend die door P loopt en in L. snijdt. Dan wordt een rechte lijn N getrokken door P die snijdt naar L. Nu volgen we met P een rechte N die snijdt naar M, een hoek vormen gelijk aan die welke L vormt met M.

bevestiging

N is parallel aan L.

tonen

Stel dat L en N niet evenwijdig zijn en elkaar kruisen op een punt A. Laat B een punt op L voorbij A. Zijn, denk aan de lijn O die door B en P gaat. Snijd dan naar M-vormhoeken die minder optellen dan twee rechtdoor.

Vervolgens moet bij 1.5 de lijn O worden afgekapt tot de lijn L aan de andere kant van M, dus L en O snijden elkaar op twee punten, wat in tegenspraak is met het postulaat 1. Daarom moeten L en N evenwijdig zijn.

referenties

1. Euclid Elementen van geometrie. Nationale Autonome Universiteit van Mexico
2. Euclides. De eerste zes boeken en de elfde en twaalfde elementen van Euclides
3. Eugenio Filloy Yague. Didactiek en geschiedenis van Euclidische meetkunde Iberoamerican Editorial Group
4. K.Ribnikov. Geschiedenis van de wiskunde Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Venezolaanse C.A Editorial.