Delen:
Discrete wiskunde Wat ze dienen, Theorie van Sets
de discrete wiskunde corresponderen met een wiskundig gebied dat verantwoordelijk is voor het bestuderen van de reeks natuurlijke getallen; dat wil zeggen, de set van eindige en oneindig telbare getallen waar de elementen afzonderlijk kunnen worden geteld, één voor één.
Deze sets staan bekend als discrete sets; Een voorbeeld van deze sets zijn gehele getallen, grafieken of logische expressies, en ze worden toegepast in verschillende wetenschapsgebieden, voornamelijk in de informatica of de informatica..
index
- 1 Beschrijving
- 2 Waar zijn de discrete wiskunde voor??
- 2.1 Combinatoriaal
- 2.2 Theorie van discrete distributie
- 2.3 Theorie van informatie
- 2.4 Computing
- 2.5 Cryptografie
- 2.6 Logica
- 2.7 Theorie van grafieken
- 2.8 Geometrie
- 3 Theorie van sets
- 3.1 Eindige set
- 3.2 Oneindige boekhoudset
- 4 Referenties
beschrijving
In discrete wiskunde zijn processen telbaar, gebaseerd op hele getallen. Dit betekent dat decimale getallen niet worden gebruikt en daarom worden de benaderingen of limieten niet gebruikt, zoals in andere gebieden. Een onbekende kan bijvoorbeeld gelijk zijn aan 5 of 6, maar nooit 4,99 of 5,9.
Aan de andere kant zullen in de grafische weergave de variabelen discreet zijn en worden gegeven uit een eindige set van punten, die een voor een worden geteld, zoals te zien in de afbeelding:
De discrete wiskunde wordt geboren uit de behoefte om een exact onderzoek te verkrijgen dat kan worden gecombineerd en getest om het op verschillende gebieden toe te passen.
Waar zijn de discrete wiskunde voor??
Discrete wiskunde wordt op meerdere gebieden gebruikt. Een van de belangrijkste zijn de volgende:
combinatorisch
Bestudeer eindige sets waarin de elementen kunnen worden besteld of gecombineerd en geteld.
Theorie van discrete distributie
Studie-evenementen die plaatsvinden in ruimtes waar de monsters telbaar zijn, waarbij continue verdelingen worden gebruikt om discrete distributies te benaderen of anderszins.
Theorie van informatie
Het verwijst naar het coderen van informatie, gebruikt voor het ontwerpen en verzenden en opslaan van gegevens, zoals bijvoorbeeld analoge signalen.
gegevensverwerking
Door middel van discrete wiskundige problemen worden opgelost met behulp van algoritmen, evenals bestuderen wat kan worden berekend en de tijd die het kost om het te doen (complexiteit).
Het belang van discrete wiskunde op dit gebied is de afgelopen decennia toegenomen, vooral voor de ontwikkeling van programmeertalen en softwares.
geheimschrift
Het is gebaseerd op discrete wiskunde om beveiligingsstructuren of versleutelingsmethoden te creëren. Een voorbeeld van deze toepassing zijn wachtwoorden, waarbij bits die informatie bevatten afzonderlijk worden verzonden.
Door de studie kunnen de eigenschappen van gehele getallen en priemgetallen (getaltheorie) die beveiligingsmethoden creëren of vernietigen.
logica
Er worden discrete structuren gebruikt, die meestal een eindige set vormen, om stellingen te bewijzen of, bijvoorbeeld, software te verifiëren.
Grafiek theorie
Hiermee kunnen logische problemen worden opgelost, met behulp van knooppunten en lijnen die een type grafiek vormen, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:
Het is een gebied dat nauw verbonden is met discrete wiskunde omdat de algebraïsche uitdrukkingen discreet zijn. Hierdoor worden elektronische schakelingen, processoren, programmeren (Booleaanse algebra) en databases (relationele algebra) ontwikkeld..
geometrie
Bestudeer de combinatorische eigenschappen van geometrische objecten, zoals de coating van het vlak. Aan de andere kant maakt computationele geometrie het mogelijk om geometrische problemen te ontwikkelen door algoritmen toe te passen.
Theorie van de sets
In discrete wiskundige sets (eindig en oneindig getal) zijn de belangrijkste doelstelling van studie. De theorie van sets werd uitgegeven door George Cantor, die liet zien dat alle oneindige sets dezelfde grootte hebben.
Een set is een groep elementen (getallen, dingen, dieren en mensen, onder andere) die goed zijn gedefinieerd; dat wil zeggen, er is een relatie volgens welke elk element tot een set behoort, en wordt bijvoorbeeld uitgedrukt in ∈ A.
In de wiskunde zijn er verschillende sets die bepaalde getallen groeperen op basis van hun kenmerken. Dus, bijvoorbeeld, heb je:
- Set van natuurlijke getallen N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.
- Set van gehele getallen E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞.
- Subset van rationale getallen Q * = -∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞.
- Set van reële getallen R = -∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞.
De sets zijn benoemd met letters van het alfabet, met hoofdletters; terwijl de elementen in kleine letters worden genoemd, tussen accolades () en gescheiden door komma's (,). Ze worden meestal weergegeven in diagrammen zoals Venn's en Caroll's, maar ook in rekenkracht.
Met basishandelingen zoals vakbond, intersectie, complement, verschil en Cartesiaans product, worden de sets en hun elementen beheerd, gebaseerd op de onderlinge relatie.
Er zijn verschillende soorten sets, de meest bestudeerde in discrete wiskunde zijn de volgende:
Eindige set
Het is er een met een eindig aantal elementen en dat komt overeen met een natuurlijk getal. Dus, bijvoorbeeld, A = 1, 2, 3,4 is een eindige set die 4 elementen heeft.
Oneindige boekhoudset
Het is degene waarin er een overeenkomst is tussen de elementen van een verzameling en de natuurlijke getallen; dat wil zeggen dat van een element achtereenvolgens alle elementen van een verzameling kunnen worden weergegeven.
Op deze manier komt elk element overeen met elk element van de reeks natuurlijke getallen. Bijvoorbeeld:
De verzameling van gehele getallen Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... kan worden weergegeven als Z = 0, 1, -1, 2, -2 .... Op deze manier is het mogelijk om één-op-één correspondentie te maken tussen de elementen van Z en de natuurlijke getallen, zoals getoond in de volgende afbeelding:
Het is een methode om continue problemen (modellen en vergelijkingen) op te lossen die moeten worden omgezet in discrete problemen, waarbij de oplossing bekend is met de benadering van de oplossing van het continue probleem.
Op een andere manier bekeken, probeert discretisatie een eindige hoeveelheid uit een oneindige verzameling punten te halen; op deze manier wordt een continue eenheid omgezet in individuele eenheden.
Over het algemeen wordt deze methode gebruikt in de numerieke analyse, zoals bijvoorbeeld in de oplossing van een differentiaalvergelijking, door middel van een functie die wordt vertegenwoordigd door een eindige hoeveelheid gegevens in het domein, zelfs als deze continu is.
Een ander voorbeeld van discretisatie is het gebruik ervan om een analoog signaal in digitaal om te zetten, wanneer continue signaaleenheden worden omgezet in individuele eenheden (ze worden gediscretiseerd) en vervolgens gecodeerd en gekwantiseerd om een digitaal signaal te verkrijgen.
referenties
- Grimaldi, R.P. (1997). Discrete en combinatorische wiskunde. Addison Wesley Iberoamericana.
- Ferrando, V. Gregori. (1995). Discrete wiskunde Reverte.
- Jech, T. (2011). Theorie instellen. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- José Francisco Villalpando Becerra, A.G. (2014). Discrete wiskunde: toepassingen en oefeningen. Patria Editorial Group.
- Landau, R. (2005). Computing, een eerste cursus in wetenschappelijk.
- Merayo, F.G. (2005). Discrete wiskunde. Thomson Editorial.
- Rosen, K.H. (2003). Discrete wiskunde en zijn toepassingen. McGraw-Hill.
- Schneider, D.G. (1995). Een logische aanpak voor discrete wiskunde.