Minimale vierkantsmethode, opgeloste oefeningen en wat het voor ogen heeft



De methode van minste vierkanten is een van de belangrijkste toepassingen in de benadering van functies. Het idee is om een ​​curve te vinden zodat, gegeven een set geordende paren, deze functie de gegevens beter benadert. De functie kan een lijn, een kwadratische curve, een kubieke curve, enz. Zijn.

Het idee van de methode is om de som van de vierkanten van de verschillen in de ordinaten (component Y) te minimaliseren, tussen de punten die worden gegenereerd door de gekozen functie en de punten die bij de gegevensverzameling horen.

index

  • 1 kleinste kwadratenmethode
  • 2 Oefeningen opgelost
    • 2.1 Oefening 1
    • 2.2 Oefening 2
  • 3 Waar is het voor??
  • 4 Referenties

Kleinste vierkanten methode

Voordat we de methode geven, moeten we eerst duidelijk zijn over wat 'betere benadering' betekent. Laten we veronderstellen dat we een lijn y = b + mx zoeken die het best een verzameling van n punten vertegenwoordigt, namelijk (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Zoals weergegeven in de vorige afbeelding, als de variabelen x en y gerelateerd waren door de lijn y = b + mx, dan zou voor x = x1 de bijbehorende waarde van y b + mx1 zijn. Deze waarde verschilt echter van de werkelijke waarde van y, die y = y1 is.

Herinner dat in het vlak de afstand tussen twee punten wordt gegeven door de volgende formule:

Met dit in gedachten, om te bepalen hoe de lijn y = b + mx te kiezen die het beste de gegeven gegevens benadert, is het zinvol om de selectie van de lijn te gebruiken die de som van de vierkanten van de afstanden tussen de punten als criterium minimaliseert en het rechte stuk.

Omdat de afstand tussen de punten (x1, y1) en (x1, b + mx1) y1- (b + mx1) is, is ons probleem beperkt tot het vinden van de getallen m en b, zodat de volgende som minimaal is:

De regel die aan deze voorwaarde voldoet, staat bekend als de "benadering van de kleinstekwadratenlijn naar de punten (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Zodra het probleem is opgelost, hoeven we alleen maar een methode te kiezen om de kleinste-kwadratenbenadering te vinden. Als de punten (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) allemaal op de lijn y = mx + b staan, moeten we collineair zijn en:

In deze uitdrukking:

Als de punten ten slotte niet collineair zijn, dan is y-Au = 0 en kan het probleem worden vertaald in het vinden van een vector of zodanig dat de Euclidische norm minimaal is.

Het vinden van de minimaliserende vector is niet zo moeilijk als je zou denken. Omdat A een matrix nx2 is en u een 2 x 1 matrix is, hebben we dat de vector Au een vector in R isn en het behoort tot het beeld van A, dat een deelruimte van R isn met een dimensie niet groter dan twee.

We gaan ervan uit dat n = 3 laat zien welke procedure moet worden gevolgd. Als n = 3, is de afbeelding van A een vlak of lijn die de oorsprong passeert.

Laat v de minimaliserende vector zijn. In de figuur zien we dat y-Au geminimaliseerd is wanneer het orthogonaal is ten opzichte van het beeld van A. Dat wil zeggen, als v de minimaliserende vector is, dan gebeurt het dat:

Dan kunnen we het bovenstaande op deze manier uitdrukken:

Dit kan alleen gebeuren als:

Als we tenslotte wissen, moeten we:

Het is mogelijk om dit te doen sinds AtA is inverteerbaar zolang de n-punten gegeven als gegevens niet collineair zijn.

Als we nu in plaats van naar een regel te zoeken een parabool willen vinden (waarvan de expressie de vorm y = a + bx + cx zou hebben2) dat een betere benadering was voor de n gegevenspunten, zou de procedure zijn zoals hieronder beschreven.

Als de n gegevenspunten zich in de parabool bevonden, zou het moeten:

dan:

Op een vergelijkbare manier kunnen we y = Au schrijven. Als alle punten niet in de parabool staan, hebben we dat y-Au voor elke vector u anders is dan nul en is ons probleem opnieuw: zoek een vector u in R3 zodanig dat zijn norm || y-Au || zo klein mogelijk zijn.

Door de vorige procedure te herhalen, kunnen we de vector bereiken waarop wordt gezocht:

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Zoek de lijn die het beste bij de punten past (1,4), (-2,5), (3, -1) en (4,1).

oplossing

We moeten:

dan:

Daarom concluderen we dat de lijn die het beste bij de punten past wordt gegeven door:

Oefening 2

Stel dat een voorwerp van een hoogte van 200 m valt. Tijdens het vallen worden de volgende maatregelen genomen:

We weten dat de hoogte van dat voorwerp, na een tijd t te hebben gepasseerd, wordt gegeven door:

Als we de waarde van g willen verkrijgen, kunnen we een parabool vinden die een betere benadering is van de vijf punten in de tabel, en dus zouden we de coëfficiënt hebben die bij de2 het is een redelijke benadering van (-1/2) g als de metingen nauwkeurig zijn.

We moeten:

En dan:

Dus de gegevenspunten worden aangepast door de volgende kwadratische uitdrukking:

Dan moet je:

Dit is een waarde die redelijk dicht bij de juiste is, namelijk g = 9,81 m / s2. Om een ​​nauwkeuriger benadering van g te verkrijgen, zou het moeten beginnen met nauwkeuriger waarnemingen.

Waar is het voor??

In de problemen die zich voordoen in de natuurwetenschappen of sociale wetenschappen is het handig om de relaties die optreden tussen verschillende variabelen te schrijven door middel van een wiskundige uitdrukking.

We kunnen bijvoorbeeld de kosten (C), het inkomen (I) en de winst (U) in de economie relateren aan de hand van een eenvoudige formule:

In de natuurkunde kunnen we de versnelling relateren die wordt veroorzaakt door de zwaartekracht, de tijd dat een object valt en de hoogte van het object door de wet:

In de vorige uitdrukking sof is de beginhoogte van dat object en vof is je beginsnelheid.

Formules als deze vinden is echter geen eenvoudige taak; meestal is het aan de professional van dienst om met veel gegevens te werken en herhaaldelijk verschillende experimenten uit te voeren (om te verifiëren dat de verkregen resultaten constant zijn) om verbanden te vinden tussen de verschillende gegevens.

Een gebruikelijke manier om dit te bereiken, is door de gegevens die in een vlak zijn verkregen als punten weer te geven en te zoeken naar een continue functie die deze punten optimaal benadert.

Een van de manieren om de functie te vinden die de gegeven gegevens het beste benadert, is de methode met de kleinste kwadraten.

Bovendien, zoals we ook in de oefening zagen, kunnen we dankzij deze methode benaderingen benaderen die vrij dicht bij fysieke constanten liggen.

referenties

  1. Charles W Curtis Lineaire algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementaire geschiktheidstheorie met stochastische processen. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J. Douglas Faires. Numerieke analyse (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Toepassingen van lineaire algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Lineaire algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO