Parallellepipedische kenmerken, typen, oppervlakte, volume

een parallellepipedum is een geometrisch lichaam gevormd door zes vlakken, waarvan het hoofdkenmerk is dat al hun vlakken parallellogrammen zijn en ook hun tegenoverliggende vlakken evenwijdig aan elkaar zijn. Het is een algemeen veelvlak in ons dagelijks leven, omdat we het in schoenendozen, de vorm van een baksteen, de vorm van een magnetron, enz. Kunnen vinden..

Omdat het een veelvlak is, omsluit het parallellepipedum een ​​eindig volume en zijn alle vlakken vlak. Het maakt deel uit van de groep van prisma's, die veelvlakken zijn waarin al hun hoekpunten zich in twee evenwijdige vlakken bevinden.

index

• 1 Elementen van de parallellepipedum
  • 1.1 Gezichten
  • 1.2 Randen
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Diagonaal
  • 1.5 Center
• 2 Kenmerken van de parallellepipedum
• 3 soorten
  • 3.1 Berekening van diagonalen
• 4 Gebied
  • 4.1 Gebied van een orthohedron
  • 4.2 Oppervlakte van een kubus
  • 4.3 Oppervlakte van een rhombohedron
  • 4.4 Oppervlakte van een rhombic
• 5 Volume van een parallellepipedum
  • 5.1 Perfect parallellepipedum
• 6 Bibliografie

Elementen van het parallellepipedum

Caras

Ze zijn elk van de gebieden gevormd door parallellogrammen die het parallellepipedum beperken. Een parallellepipedum heeft zes vlakken, waarbij elk vlak vier aangrenzende vlakken heeft en één tegenoverliggend. Bovendien is elke zijde evenwijdig aan het tegenovergestelde.

Aristas

Ze zijn de gemeenschappelijke kant van twee gezichten. In totaal heeft een parallellepipedum twaalf randen.

toppunt

Het is het gemeenschappelijke punt van drie gezichten die twee aan twee aan elkaar grenzen. Een parallellepipedum heeft acht hoekpunten.

diagonaal

Gegeven twee tegenoverliggende zijden van een parallellepipedum, kunnen we een lijnsegment tekenen dat van de top van één vlak naar de tegenovergestelde hoek van de andere kant gaat.

Dit segment staat bekend als de diagonaal van het parallellepipedum. Elke parallellepipedum heeft vier diagonalen.

centrum

Het is het punt waarop alle diagonalen elkaar kruisen.

Kenmerken van het parallellepipedum

Zoals we al zeiden, dit geometrische lichaam heeft twaalf randen, zes gezichten en acht hoekpunten.

In een parallellepipedum kunt u drie sets identificeren die worden gevormd door vier randen die parallel aan elkaar zijn. Bovendien voldoen de randen van deze sets ook aan de eigenschap dat ze dezelfde lengte hebben.

Een andere eigenschap wordt bezeten door parallellepipedumvormige die convex zijn, dat wil zeggen als we een aantal punten die behoren tot een in het blokvormige bepaald door neem het paar segmentpunten ook binnen het parallellepipedum.

Bovendien parellellepipida daar zij veelvlakken voldoen Stelling van Euler voor veelvlakken, die een relatie tussen het aantal koppen, het aantal randen en het aantal hoekpunten geeft. Deze relatie wordt gegeven in de vorm van de volgende vergelijking:

C + V = A + 2

Deze functie staat bekend als het kenmerk van Euler.

Waarbij C het aantal vlakken is, V het aantal hoekpunten en A het aantal randen.

type

We kunnen parallellepipedums classificeren op basis van hun gezichten, in de volgende typen:

kuboid

Het zijn de parallellepipeda waar hun gezichten worden gevormd door zes rechthoeken. Elke rechthoek staat loodrecht op degene die hij deelt. Ze komen het meest voor in ons dagelijks leven, dit is de gebruikelijke manier van schoenendozen en bakstenen.

Kubus of gewone hexahedron

Dit is een specifiek geval van de vorige, waarbij elk van de gezichten een vierkant is.

De kubus maakt ook deel uit van de geometrische lichamen die platonische lichamen worden genoemd. Een platonische vaste stof is een convexe veelvlak, zodat beide zijden en de interne hoeken gelijk zijn aan elkaar.

romboedro

Het is een parallellepipedum met diamanten op het gezicht. Deze diamanten zijn allemaal gelijk aan elkaar, omdat ze randen delen.

Romboiedro

De zes gezichten zijn rhomboids. Bedenk dat een romboïde een veelhoek is met vier zijden en vier hoeken die gelijk zijn aan twee of twee. De romboïden zijn de parallellogrammen die noch vierkant zijn, noch rechthoeken, noch ruiten.

Aan de andere kant zijn de schuine parallellepipedumden die waarbij ten minste één hoogte niet overeenkomt met zijn rand. In deze classificatie kunnen we de rhombohedrons en rhombichedrons opnemen.

Diagonale berekening

Om de diagonaal van een orthohedron te berekenen, kunnen we de stelling van Pythagoras voor R gebruiken³.

Herinner dat een orthohedron het kenmerk heeft dat elke zijde loodrecht staat op de zijden die de rand delen. Uit dit feit kunnen we afleiden dat elke rand loodrecht staat op diegenen die vertex delen.

Om de lengte van een diagonaal van een orthohedron te berekenen, gaan we als volgt te werk:

1. We berekenen de diagonaal van een van de vlakken, die we als een basis plaatsen. Hiervoor gebruiken we de stelling van Pythagoras. Noem deze diagonaal d_b.

2. Dan met d_b we kunnen een nieuwe rechthoekige driehoek vormen, zodat de hypotenusa van die driehoek de diagonaal D is die gezocht wordt.

3. We gebruiken opnieuw de stelling van Pythagoras en we hebben dat de lengte van die diagonaal is:

Een andere manier om diagonalen op een meer grafische manier te berekenen, is met de som van vrije vectoren.

Herinner dat twee vrije vectoren A en B worden toegevoegd door de staart van vector B te plaatsen met punt van vector A.

De vector (A + B) is degene die begint bij de staart van A en eindigt bij de punt B.

Overweeg een parallellepipedum waarop we een diagonaal willen berekenen.

We identificeren randen met goed georiënteerde vectoren.

Vervolgens voegen we deze vectoren toe en de resulterende vector zal de diagonaal van het parallellepipedum zijn.

gebied

Het oppervlak van een parallellepipedum wordt gegeven door de som van elk van de vlakken van hun vlakken.

Als we een van de zijden als basis bepalen,

Een_L + 2A_B = Totale oppervlakte

Waar A_L is gelijk aan de som van de gebieden van alle zijden naast de basis, het laterale gebied en A genoemd_B is het basisgebied.

Afhankelijk van het type parallellepipedum waarmee we werken, kunnen we de formule herschrijven.

Gebied van een orthohedron

Het wordt gegeven door de formule

A = 2 (ab + bc + ca).

Voorbeeld 1

Gezien de volgende orthohedron, met zijden a = 6 cm, b = 8 cm en c = 10 cm, bereken het oppervlak van de parallellepipedum en de lengte van de diagonaal.

Gebruik de formule voor het gebied van een orthohedron die we moeten gebruiken

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Merk op dat aangezien het een ortohedron is, de lengte van elk van de vier diagonalen hetzelfde is.

We moeten de stelling van Pythagoras gebruiken voor ruimte

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Ruimte van een kubus

Omdat elke rand dezelfde lengte heeft, hebben we a = b en a = c. Vervangen in de vorige formule die we hebben

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Voorbeeld 2

De doos van een spelconsole heeft de vorm van een kubus. Als we deze doos willen verpakken met cadeaupapier, hoeveel papier zouden we uitgeven wetende dat de lengte van de randen van de kubus 45 cm is?

Met behulp van de formule van het kubusgebied verkrijgen we dat

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Gebied van een rhombohedron

Omdat al hun gezichten gelijk zijn, is het voldoende om het gebied van één ervan te berekenen en het met zes te vermenigvuldigen.

We kunnen het gebied van een diamant berekenen met zijn diagonalen met de volgende formule

Een_R = (Dd) / 2

Met behulp van deze formule volgt dat het totale gebied van de rhombohedron is

Een_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Voorbeeld 3

De vlakken van de volgende rhombohedron worden gevormd door een ruit waarvan de diagonalen D = 7 cm en d = 4 cm zijn. Uw gebied zal zijn

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Gebied van een rhombic

Om het gebied van een rhombic te berekenen moeten we het gebied van de rhomboids berekenen die het samenstellen. Aangezien parallellepipeda voldoen aan de eigenschap dat de tegenovergestelde zijden hetzelfde gebied hebben, kunnen we de zijden in drie paren associëren.

Op deze manier hebben we dat jouw omgeving zal zijn

Een_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Waar de b_ik zijn de basissen geassocieerd met de zijkanten en de_ik de relatieve hoogte die overeenkomt met de genoemde bases.

Voorbeeld 4

Beschouw het volgende parallellepipedum,

waarbij de zijde A en de zijde A '(de tegenoverliggende zijde) als basis b = 10 hebben en voor de hoogte h = 6. Het gemarkeerde gebied heeft een waarde van

Een₁ = 2 (10) (6) = 120

De B ​​en B 'hebben dan b = 4 en h = 6

Een₂ = 2 (4) (6) = 48

En C en C 'hebben b = 10 en h = 5, dus

Een₃ = 2 (10) (5) = 100

Eindelijk is het gebied van de rhombohedron

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume van een parallellepipedum

De formule die ons het volume van een parallellepipedum geeft, is het product van het gebied van een van zijn gezichten met de hoogte die overeenkomt met het gezicht.

V = A_Ch_C

Afhankelijk van het type parallellepipedum kan genoemde formule worden vereenvoudigd.

Dus we hebben bijvoorbeeld dat het volume van een orthohedron wordt gegeven door

V = abc.

Waar a, b en c de lengte van de orthohedron-randen voorstellen.

En in het specifieke geval van de kubus is

V = a³

Voorbeeld 1

Er zijn drie verschillende modellen voor dozen met cookies en u wilt weten in welke van deze modellen u meer cookies kunt opslaan, dat wil zeggen, welke van de dozen het hoogste volume heeft.

De eerste is een kubus waarvan de rand een lengte heeft van a = 10 cm

Het volume is V = 1000 cm³

De tweede heeft randen b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

En daarom is het volume V = 765 cm³

En de derde heeft e = 9 cm, f = 9 cm en g = 13 cm

En het volume is V = 1053 cm³

Daarom is de doos met het grootste volume de derde.

Een andere methode om het volume van een parallellepipedum te verkrijgen is om terug te grijpen naar vectoralgebra. In het bijzonder het drievoudige scalaire product.

Een van de geometrische interpretaties met het drievoudige scalaire product is het volume van het parallellepipedum, waarvan de randen drie vectoren zijn die dezelfde vertex als uitgangspunt hebben.

Op deze manier als we een parallellepipedum hebben en we willen weten wat het volume ervan is, volstaat het om het in een coördinatensysteem in R te vertegenwoordigen.³ een van zijn hoekpunten matchen met de oorsprong.

Vervolgens vertegenwoordigen we de randen die overeenkomen met de oorsprong met vectoren zoals weergegeven in de afbeelding.

En op deze manier hebben we dat het volume van die parallellepipedum wordt gegeven door

V = | AxB ∙ C |

Of equivalent het volume is de bepalende factor van de 3 x 3 matrix, gevormd door de componenten van de randvectoren.

Voorbeeld 2

Door de volgende parallellepipedum weer te geven in R³ we kunnen zien dat de vectoren die dit bepalen het volgende zijn

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) en w = (-0.25, -4, 4)

Met behulp van het triple scalar-product dat we hebben

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Hieruit concluderen we dat V = 60

Beschouw nu de volgende parallellepipedum in R3 waarvan de randen worden bepaald door de vectoren

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) en C = (3, 4, 4)

Het gebruik van determinanten geeft ons dat

Dus we hebben dat het volume van die parallellepipedum 112 is.

Beide zijn equivalente manieren om het volume te berekenen.

Perfect parallellepipedum

Het staat bekend als Euler's baksteen (of het blok van Euler) aan een orthohedron die voldoet aan de eigenschap dat zowel de lengte van de randen als de lengte van de diagonalen van elk van de vlakken gehele getallen zijn.

Hoewel Euler niet de eerste wetenschapper was die de orthohedrons die die eigenschap ontmoetten, bestudeerde, vond hij interessante resultaten over hen.

De kleinere Euler-steen werd ontdekt door Paul Halcke en de lengtes van de randen zijn a = 44, b = 117 en c = 240.

Een open probleem in de getaltheorie is als volgt

Zijn er perfecte orthohedrons?

Op dit moment kon deze vraag niet worden beantwoord, omdat het niet mogelijk was om te bewijzen dat deze instanties niet bestaan, maar geen van beide is gevonden.

Wat tot nu toe is aangetoond, is dat er perfecte parallellepipedums bestaan. De eerste die ontdekt moet worden heeft de lengte van de randen van de waarden 103, 106 en 271.

bibliografie

1. Guy, R. (1981). Onopgeloste problemen in de getaltheorie. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. vooruitgang.
3. Leithold, L. (1992). DE BEREKENING met Analytical Geometry. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Technische tekening: Werkboek 3 Tweede baccalaureaat . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Deel 1. Mexico: Continentaal.