Eigenschappen productkruisen, toepassingen en opgeloste oefeningen



de Kruisproduct of productvector Het is een manier om twee of meer vectoren te vermenigvuldigen. Er zijn drie manieren om vectoren te vermenigvuldigen, maar geen van deze is een vermenigvuldiging in de gebruikelijke betekenis van het woord. Een van deze vormen staat bekend als een vectorproduct, wat resulteert in een derde vector.

Het vectorproduct, ook wel crossproduct of extern product genoemd, heeft verschillende algebraïsche en geometrische eigenschappen. Deze eigenschappen zijn zeer nuttig, vooral in de studie van de natuurkunde.

index

  • 1 Definitie
  • 2 Eigenschappen
    • 2.1 Eigendom 1
    • 2.2 Eigenschap 2
    • 2.3 Eigenschap 3
    • 2.4 Eigenschap 4 (triple scalair product)
    • 2.5 Eigenschap 5 (triple vectorproduct)
    • 2.6 Eigendom 6
    • 2.7 Eigendom 7
    • 2.8 Eigenschap 8
  • 3 toepassingen
    • 3.1 Volumeberekening van een parallellepipedum
  • 4 Oefeningen opgelost
    • 4.1 Oefening 1
    • 4.2 Oefening 2
  • 5 Referenties

definitie

Een formele definitie van het vectorproduct is de volgende: als A = (a1, a2, a3) en B = (b1, b2, b3) vectoren zijn, dan is het vectorproduct van A en B, dat we zullen aanduiden als AxB, het volgende:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Vanwege de notatie AxB, wordt hier gelezen als "Een kruis B".

Een voorbeeld van hoe het externe product te gebruiken is dat als A = (1, 2, 3) en B = (3, -2, 4) vectoren zijn, dan hebben we met de definitie van vectorproduct:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Een andere manier om het vectorproduct tot expressie te brengen wordt gegeven door de determinantennotatie.

De berekening van een determinant van een tweede orde wordt gegeven door:

Daarom kan de formule van het vectorproduct in de definitie als volgt worden herschreven:

Dit wordt meestal als volgt vereenvoudigd in een determinant van de derde orde:

Waarbij i, j, k de vectoren vertegenwoordigen die de basis vormen van R3.

Met behulp van deze manier om het crossproduct uit te drukken, hebben we dat het vorige voorbeeld kan worden herschreven als:

eigenschappen

Sommige eigenschappen die het vectorproduct bezit, zijn de volgende:

Eigendom 1

Als A een vector is in R3, We moeten:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Deze eigenschappen zijn eenvoudig te controleren met alleen de definitie. Als A = (a1, a2, a3) moeten we:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Als i, j, k de eenheidsbasis van R vertegenwoordigen3, We kunnen ze als volgt schrijven:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Vervolgens moeten we de volgende eigenschappen vervullen:

Als mnemonic regel, om deze eigenschappen te onthouden, wordt meestal de volgende cirkel gebruikt:

Daar moeten we opmerken dat elke vector met zichzelf resulteert in vector 0, en de rest van de producten kan worden verkregen met de volgende regel:

Het kruisproduct van twee opeenvolgende vectoren in de richting van de wijzers van de klok geeft de volgende vector; en wanneer we de richting tegen de klok in beschouwen, is het resultaat de volgende vector met een negatief teken.

Dankzij deze eigenschappen kunnen we zien dat het vectorproduct niet commutatief is; het is bijvoorbeeld voldoende om op te merken dat i x j ≠ j x i. De volgende eigenschap vertelt ons hoe AxB en BxA zich in het algemeen verhouden.

Eigenschap 2

Als A en B R-vectoren zijn3, We moeten:

AxB = - (BxA).

tonen

Als A = (a1, a2, a3) en B = (b1, b2, b3), hebben we per definitie van een extern product:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

We kunnen ook vaststellen dat dit product niet verenigbaar is met het volgende voorbeeld:

ix (ixj) = ixk = - j maar (ixi) xj = 0xj = 0

Hieruit kunnen we opmaken dat:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Eigenschap 3

Als A, B, C R-vectoren zijn3 en r is een reëel getal, het volgende is waar:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Dankzij deze eigenschappen kunnen we het vectorproduct berekenen met behulp van de algebra wetten, op voorwaarde dat de volgorde wordt gerespecteerd. Bijvoorbeeld:

Als A = (1, 2, 3) en B = (3, -2, 4), kunnen we ze herschrijven op basis van de canonieke basis van R3.

Dus A = i + 2j + 3k en B = 3i - 2j + 4k. Vervolgens de vorige eigenschappen toepassen:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Eigenschap 4 (triple scalair product)

Zoals we aan het begin al noemden, zijn er andere manieren om vectoren naast het vectorproduct te vermenigvuldigen. Een van deze manieren is het scalaire product of interne product, dat wordt aangeduid als A ∙ B en waarvan de definitie is:

Als A = (a1, a2, a3) en B = (b1, b2, b3), dan is A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

De eigenschap die beide producten relateert, staat bekend als het triple scalaire product.

Als A, B en C R-vectoren zijn3, dan A ∙ BxC = AxB ∙ C

Laten we als voorbeeld zien dat, gegeven A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) en C = (- 5, 1, - 4), aan deze eigenschap is voldaan.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Aan de andere kant:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Een ander drievoudig product is Ax (BxC), dat bekend staat als triple vector-product.

Eigenschap 5 (drievoudig vectorproduct)

Als A, B en C R-vectoren zijn3,  dan:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Laten we als voorbeeld zien dat, gegeven A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) en C = (- 5, 1, - 4), aan deze eigenschap is voldaan.

Uit het vorige voorbeeld weten we dat BxC = (- 18, - 22, 17). Laten we Ax (BxC) berekenen:

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Aan de andere kant moeten we:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Dus we moeten:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Eigenschap 6

Het is een van de geometrische eigenschappen van vectoren. Als A en B twee vectoren in R zijn3 en Θ is de hoek die tussen deze wordt gevormd, dan:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), waar || ∙ || geeft de module of magnitude van een vector aan.

De geometrische interpretatie van deze eigenschap is als volgt:

Laat A = PR en B = PQ. Dan is de hoek gevormd door vectoren A en B de hoek P van de driehoek RQP, zoals getoond in de volgende figuur.

Daarom is het gebied van het parallellogram met aangrenzende zijden PR en PQ || A |||| B || sin (Θ), omdat we als basis kunnen nemen || A || en de hoogte wordt gegeven door || B || sin (Θ).

Vanwege dit kunnen we concluderen dat || AxB || is het gebied van het parallellogram.

voorbeeld

Gegeven de volgende hoekpunten van een vierzijdige P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) en S (5,7, -3), laten zien dat genoemde vierhoek is een parallellogram en vindt zijn gebied.

Hiervoor bepalen we eerst de vectoren die de richting van de zijden van de vierhoek bepalen. Dit is:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Zoals we kunnen waarnemen hebben A en C dezelfde vectorregisseur, waarvoor we hebben dat beide evenwijdig zijn; op dezelfde manier gebeurt het met B en D. Daarom concluderen we dat PQRS een parallellogram is.

Om het gebied van het parallellogram te hebben, berekenen we BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Daarom zal het vierkante gebied zijn:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Er kan worden geconcludeerd dat het parallellogramgebied de vierkantswortel van 89 is.

Eigenschap 7

Twee vectoren A en B zijn evenwijdig in R3 Ja en alleen als AxB = 0

tonen

Het is duidelijk dat als A of B de nulvector is, hieruit volgt dat AxB = 0. Omdat de nulvector parallel is aan een andere vector, is de eigenschap geldig.

Als geen van de twee vectoren de nulvector is, hebben we dat hun magnitudes verschillen van nul; dat wil zeggen, beide || A || ≠ 0 als || B || ≠ 0, dus we moeten || AxB || = 0 als en alleen als sin (Θ) = 0, en dit gebeurt als en slechts als Θ = π of Θ = 0.

Daarom kunnen we AxB = 0 besluiten als en alleen als Θ = π of Θ = 0, wat alleen gebeurt wanneer beide vectoren parallel aan elkaar zijn.

Eigenschap 8

Als A en B twee vectoren in R zijn3, dan staat AxB loodrecht op zowel A als B.

tonen

Onthoud voor deze demonstratie dat twee vectoren loodrecht staan ​​als A ∙ B gelijk is aan nul. Bovendien weten we dat:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, maar AxA is gelijk aan 0. Daarom moeten we:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Hiermee kunnen we concluderen dat A en AxB loodrecht op elkaar staan. Op een analoge manier moeten we:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Aangezien BxB = 0, moeten we:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Daarom staan ​​AxB en B loodrecht op elkaar en daarmee wordt de eigenschap gedemonstreerd. Dit is erg handig, omdat ze ons in staat stellen om de vergelijking van een vliegtuig te bepalen.

Voorbeeld 1

Verkrijg een vergelijking van het vlak dat door de punten P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) en R (2, 1, 3) gaat.

Laat A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) en B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Vervolgens A = - i + 3j + k en B = i - 2j + k. Om het vlak te vinden dat gevormd wordt door deze drie punten, is het voldoende om een ​​vector te vinden die normaal is voor het vlak, dat is AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Met deze vector en uitgaande van het punt P (1, 3, 2), kunnen we de vergelijking van het vlak als volgt bepalen:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Dus, we hebben dat de vergelijking van het vlak 5x + 2y - z - 9 = 0 is.

Voorbeeld 2

Zoek de vergelijking van het vlak met het punt P (4, 0, - 2) en dat staat loodrecht op elk van de vlakken x - y + z = 0 en 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Wetende dat een normale vector naar een vlak ax + by + cz + d = 0 is (a, b, c), hebben we dat (1, -1,1) een normale vector is van x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) is een normale vector van 2x + y - 4z - 5 = 0.

Daarom moet een normale vector op het gewenste vlak loodrecht staan ​​op (1, -1,1) en a (2, 1, - 4). Die vector is:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Dan hebben we dat het gezochte vlak datgene is dat het punt P (4,0, - 2) bevat en de vector (3,6,3) heeft als een normale vector.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

toepassingen

Berekening van het volume van een parallellepipedum

Een applicatie die het triple scalaire product heeft, is om het volume van een parallellepipedum te berekenen waarvan de randen worden gegeven door de vectoren A, B en C, zoals weergegeven in de afbeelding:

We kunnen deze toepassing op de volgende manier afleiden: zoals we eerder al zeiden, is de vector AxB een vector die normaal is ten opzichte van het vlak van A en B. We hebben ook dat de vector - (AxB) een andere vector is normaal ten opzichte van het vlak.

We kiezen de normale vector die de kleinste hoek vormt met de vector C; zonder verlies van algemeenheid, laat AxB de vector zijn waarvan de hoek met C de kleinste is.

We hebben dat zowel AxB als C hetzelfde uitgangspunt hebben. Bovendien weten we dat het gebied van het parallellogram dat de basis vormt van het parallellepipedum || AxB || is. Daarom, als de hoogte van het parallellepipedum wordt gegeven door h, hebben we dat het volume zal zijn:

V = || AxB || h.

Overweeg daarentegen het scalaire product tussen AxB en C, dat als volgt kan worden beschreven:

Echter, door trigonometrische eigenschappen hebben we dat h = || C || cos (Θ), dus we moeten:

Op deze manier moeten we:

In algemene termen hebben we dat het volume van een parallellepipedum wordt gegeven door de absolute waarde van het drievoudige scalaire product AxB ∙ C.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Aangezien de punten P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) en S = (2, 6, 9) vormen deze punten een parallellepipedum waarvan de randen ze zijn PQ, PR en PS. Bepaal het volume van dat parallellepipedum.

oplossing

Als we nemen:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Als we de eigenschap van het triple scalar-product gebruiken, moeten we:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Daarom hebben we dat het volume van die parallellepipedum 52 is.

Oefening 2

Bepalen van het volume van een parallellepipedum waarvan de randen worden gegeven door A = PQ, B = PR en C = PS, waarbij de punten P, Q, R en S (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) en (2, 2, 5), respectievelijk.

oplossing

Eerst hebben we dat A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

We berekenen AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Vervolgens berekenen we AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

We concluderen dus dat het volume van het parallellepipedum 1 kubieke eenheid is.

referenties

  1. Leithold, L. (1992). DE BEREKENING met Analytical Geometry. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Deel 1. Mexico: Continentaal.
  3. Saenz, J. (s.f.). Vector berekening 1ed. hypotenuse.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Vector analyse 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G., Wright, W. (2011). Berekening van verschillende variabelen 4ed. Mc Graw Hill.