Eigenschappen van gelijkheid



de eigenschappen van gelijkheid ze verwijzen naar de relatie tussen twee wiskundige objecten, getallen of variabelen. Het wordt aangeduid door het symbool "=", dat altijd tussen deze twee objecten ingaat. Deze uitdrukking wordt gebruikt om vast te stellen dat twee wiskundige objecten hetzelfde object vertegenwoordigen; in een ander woord, dat twee objecten hetzelfde zijn.

Er zijn gevallen waarin het triviaal is om gelijkheid te gebruiken. Het is bijvoorbeeld duidelijk dat 2 = 2. Als het echter om variabelen gaat, is het niet langer triviaal en heeft het specifieke toepassingen. Als u bijvoorbeeld y = x hebt en aan de andere kant x = 7, kunt u ook concluderen dat y = 7.

Het vorige voorbeeld is gebaseerd op een van de eigenschappen van gelijkheid, zoals we binnenkort zullen zien. Deze eigenschappen zijn essentieel voor het oplossen van vergelijkingen (gelijkheden met variabelen), die een zeer belangrijke rol spelen in de wiskunde.

index

  • 1 Wat zijn de eigenschappen van gelijkheid?
    • 1.1 Reflecterende eigendom
    • 1.2 Symmetrische eigenschap
    • 1.3 Transitief eigendom
    • 1.4 Uniforme eigendom
    • 1.5 Annulering eigendom
    • 1.6 Vervangende eigendom
    • 1.7 Eigendom van macht in gelijkheid
    • 1.8 Eigendom van de wortel in een gelijkheid
  • 2 Referenties

Wat zijn de eigenschappen van gelijkheid?

Reflecterende eigendom

Reflecterende eigenschap, in het geval van gelijkheid, stelt dat elk getal gelijk is aan zichzelf en wordt uitgedrukt als b = b voor elk reëel getal b.

In het specifieke geval van gelijkheid lijkt deze eigenschap voor de hand te liggen, maar in een ander type verband tussen getallen is dit niet het geval. Met andere woorden, niet elke relatie van reële getallen vervult deze eigenschap. Bijvoorbeeld, een dergelijk geval van de "minder dan" relatie (<); ningún número es menor que sí mismo.

Symmetrische eigenschap

De symmetrische eigenschap voor gelijkheid zegt dat als a = b, dan b = a. Ongeacht welke volgorde in de variabelen wordt gebruikt, dit wordt bewaard door de gelijkheidsrelatie.

Een zekere analogie van deze eigenschap kan worden waargenomen met de commutatieve eigenschap in het geval van optelling. Vanwege deze eigenschap is het bijvoorbeeld gelijk aan het schrijven van y = 4 of 4 = y.

Overgangsvermogen

De transitieve eigenschap in gelijkheid stelt dat als a = b en b = c, dan a = c. Bijvoorbeeld 2 + 7 = 9 en 9 = 6 + 3; daarom hebben we door de transitieve eigenschap 2 + 7 = 6 + 3.

Een eenvoudige toepassing is de volgende: stel dat Julian 14 jaar oud is en dat Mario dezelfde leeftijd heeft als Rosa. Als Rosa even oud is als Julian, hoe oud is Mario dan??

Achter dit scenario wordt de transitieve eigenschap twee keer gebruikt. Wiskundig gezien wordt het als volgt geïnterpreteerd: wees "a" het tijdperk van Mario, "b" het tijdperk van Rosa en "c" het tijdperk van Julianus. Het is bekend dat b = c en dat c = 14.

Voor de transitieve eigenschap hebben we die b = 14; dat wil zeggen, Rosa is 14 jaar oud. Aangezien a = b en b = 14, gebruiken we opnieuw de transitieve eigenschap a = 14; dat wil zeggen, dat Mario's leeftijd ook 14 jaar is.

Uniform eigendom

De uniforme eigenschap is dat, als beide zijden van een gelijkheid worden toegevoegd of vermenigvuldigd met dezelfde hoeveelheid, gelijkheid wordt bewaard. Bijvoorbeeld, als 2 = 2, dan 2 + 3 = 2 + 3, wat duidelijk is, dan is 5 = 5. Deze eigenschap heeft meer nut als het gaat om het oplossen van een vergelijking.

Stel dat u wordt gevraagd de vergelijking x-2 = 1 op te lossen. Het is handig om te onthouden dat het oplossen van een vergelijking bestaat uit het expliciet bepalen van de betrokken variabele (of variabelen) op basis van een specifiek getal of een eerder gespecificeerde variabele.

Terugkerend naar de vergelijking x-2 = 1, wat moet gedaan worden, is expliciet te vinden hoeveel x de moeite waard is. Hiervoor moet de variabele worden gewist.

Er is ten onrechte geleerd dat in dit geval, omdat nummer 2 negatief is, het naar de andere kant van gelijkheid gaat met een positief teken. Maar het is niet correct om het zo te zeggen.

Kortom, wat er wordt gedaan is om de uniforme eigenschap toe te passen, zoals we hieronder zullen zien. Het idee is om "x" te wissen; dat wil zeggen, laat het aan de ene kant van de vergelijking staan. Volgens afspraak wordt het meestal links gelaten.

Voor dit doel is het nummer dat u wilt "elimineren" -2. De manier om dit te doen zou het toevoegen van 2 zijn, aangezien -2 + 2 = 0 en x + 0 = 0. Om dit te kunnen doen zonder gelijkheid te veranderen, moet dezelfde bewerking aan de andere kant worden toegepast.

Hierdoor kan de uniforme eigenschap worden gerealiseerd: als x-2 = 1, als het getal 2 wordt toegevoegd aan beide zijden van de gelijkheid, zegt de uniforme eigenschap dat hetzelfde niet wordt gewijzigd. Dan hebben we die x-2 + 2 = 1 + 2, wat overeenkomt met zeggen dat x = 3. Hiermee zou de vergelijking worden opgelost.

Evenzo, als u de vergelijking (1/5) y-1 = 9 wilt oplossen, kunt u als volgt verder gaan met het gebruik van de uniforme eigenschap:

Meer in het algemeen kunnen de volgende uitspraken gedaan worden:

- Als a-b = c-b, dan is a = c.

- Als x-b = y, dan is x = y + b.

- Als (1 / a) z = b, dan is z = a ×

- Als (1 / c) a = (1 / c) b, dan a = b.

Annulering eigendom

De annuleringseigenschap is een bijzonder geval van uniform eigendom, met name gezien het geval van aftrekken en delen (wat uiteindelijk ook overeenkomt met optellen en vermenigvuldigen). Deze eigenschap behandelt deze zaak afzonderlijk.

Bijvoorbeeld, als 7 + 2 = 9, dan is 7 = 9-2. Of als 2y = 6, dan is y = 3 (gedeeld door twee aan beide zijden).

Analoog aan het vorige geval kunnen via de annuleringseigenschap de volgende verklaringen worden opgesteld:

- Als a + b = c + b, dan a = c.

- Als x + b = y, dan is x = y-b.

- Als az = b, dan is z = b / a.

- Als ca = cb, dan is a = b.

Vervanging eigendom

Als we de waarde van een wiskundig object kennen, geeft de substitutie-eigenschap aan dat deze waarde in elke vergelijking of uitdrukking kan worden vervangen. Bijvoorbeeld, als b = 5 en a = bx, dan vervangend de waarde van "b" in de tweede gelijkheid, hebben we dat a = 5x.

Een ander voorbeeld is het volgende: als "m" "n" deelt en ook "n" "m" verdeelt, dan moet het zijn dat m = n.

In feite betekent "m" delen "n" (of equivalent, dat "m" een deler is van "n") dat de deling m ÷ n exact is; dat wil zeggen, door "m" te delen door "n" krijg je een geheel getal, geen decimaal getal. Dit kan worden uitgedrukt door te zeggen dat er een integer "k" bestaat, zodanig dat m = k × n.

Omdat "n" ook "m" deelt, bestaat er een geheel getal "p", zodanig dat n = p × m. Voor de substitutie-eigenschap hebben we die n = p × k × n, en om dit te laten gebeuren zijn er twee mogelijkheden: n = 0, in welk geval we de identiteit 0 = 0 zouden hebben; of p x k = 1, waarbij identiteit n = n zou moeten zijn.

Stel dat "n" niet nul is. Dan is noodzakelijkerwijs p x k = 1; daarom is p = 1 en k = 1. Als de substitutie-eigenschap opnieuw wordt gebruikt, wordt bij het substitueren van k = 1 in de gelijkheid m = k × n (of equivalent, p = 1 in n = p × m) tenslotte verkregen dat m = n, wat was wat wilde worden aangetoond.

Eigendom van macht in een gelijkheid

Zoals eerder gezien, is het zo dat als een bewerking wordt gedaan als een som, vermenigvuldiging, aftrekking of deling in beide termen van een gelijkheid, deze behouden blijft, op dezelfde manier kunnen andere bewerkingen worden toegepast die geen gelijkheid veranderen.

De sleutel is om het altijd aan beide zijden van de gelijkheid te doen en om er van te voren zeker van te zijn dat de operatie kan worden uitgevoerd. Dat is het geval van empowerment; dat wil zeggen, als beide zijden van een vergelijking worden verhoogd tot dezelfde kracht, is er nog steeds gelijkheid.

Bijvoorbeeld, als 3 = 3, dan 32= 32 (9 = 9). In het algemeen, gegeven een geheel getal "n", als x = y, dan xn= yn.

Eigendom van de wortel in een gelijkheid

Dit is een specifiek geval van potentiëring en wordt toegepast wanneer de macht een niet-geheel getal is dat rationeel is, zoals ½, wat de vierkantswortel vertegenwoordigt. Deze eigenschap stelt dat als dezelfde wortel aan beide zijden van een gelijkheid wordt toegepast (waar mogelijk), gelijkheid behouden blijft.

In tegenstelling tot het vorige geval, moet u hier voorzichtig zijn met de pariteit van de wortel die zal worden toegepast, omdat het goed bekend is dat de even wortel van een negatief getal niet goed gedefinieerd is.

In het geval dat de radicale gelijk is, is er geen probleem. Bijvoorbeeld, als x3= -8, hoewel het een gelijkheid is, kunt u bijvoorbeeld geen vierkantswortel aan beide zijden toepassen. Als u echter een kubieke wortel kunt toepassen (wat nog handiger is als u expliciet de waarde van x wilt weten), verkrijgt u dat x = -2.

referenties

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logica, sets en nummers. Mérida - Venezuela: Council of Publications, Universidad de Los Andes.
  2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. drempel.
  3. Lira, M.L. (1994). Simon and Mathematics: Wiskunde-tekst voor het tweede basisjaar: studentenboek. Andres Bello.
  4. Preciado, C. T. (2005). Wiskunde Cursus 3o. Redactie Progreso.
  5. Segovia, B.R. (2012). Wiskundige activiteiten en games met Miguel en Lucia. Baldomero Rubio Segovia.
  6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2de Wiskunde Cursus. Redactie Progreso.