Wat zijn relatieve neven? Kenmerken en voorbeelden

Het is genoemd relatieve neven (coprimos of neven en nichten ten opzichte van elkaar) tot een paar gehele getallen die geen enkele deler gemeenschappelijk hebben, behalve de 1.

Met andere woorden, twee hele getallen zijn relatieve neven en nichten als ze in hun decomposities in priemgetallen geen gemeenschappelijke factor hebben.

Als bijvoorbeeld 4 en 25 worden gekozen, zijn de ontbindingspercentages van de primaire factoren respectievelijk 2 en 52. Zoals duidelijk is, hebben deze geen gemeenschappelijke factor, daarom zijn 4 en 25 relatieve neven.

Aan de andere kant, als de 6 en de 24 worden gekozen, verkrijgen we bij het uitvoeren van hun decomposities in priemfactoren dat 6 = 2 * 3 en 24 = 2³ * 3.

Zoals u kunt zien, hebben deze laatste twee uitdrukkingen minstens één gemeenschappelijke factor, daarom zijn ze geen relatieve prime-lenzen.

Relatieve neven

Een ding om op te letten is dat het zeggen dat een paar gehele getallen relatieve priemgetallen zijn, dat dit niet betekent dat een van deze getallen een priemgetal is.

twee gehele getallen "a" en "b" relatief priem als en alleen als de grootste gemene deler van deze correct is, d.w.z. gcd (: Voorts kan de bovenstaande definitie als volgt worden samengevat a, b) = 1.

Twee directe conclusies van deze definitie zijn dat:

-Als "a" (of "b") een priemgetal is, dan is mcd (a, b) = 1.

-Als "a" en "b" priemgetallen zijn, dan is mcd (a, b) = 1.

Dat wil zeggen, als ten minste één van de gekozen nummers een priemgetal is, dan is het paar getallen direct relatieve priemgetallen.

Andere functies

Andere resultaten die worden gebruikt om te bepalen of twee getallen relatieve primes zijn, zijn:

-Als twee gehele getallen opeenvolgend zijn, dan zijn dit relatieve neven en nichten.

-Twee natuurlijke getallen "a" en "b" zijn relatieve priemgetallen als, en alleen als, de getallen "(2 ^ a) -1" en "(2 ^ b) -1" relatieve priemgetallen zijn.

-Twee gehele getallen "a" en "b" zijn relatieve primes als, en alleen als, door het punt (a, b) in het Cartesische vlak te plotten, en de lijn te construeren die door de oorsprong (0,0) en (a gaat , b), dit bevat geen punten met hele coördinaten.

Voorbeelden

1.- Beschouw de gehele getallen 5 en 12. De ontbinding van de primaire factoren van beide getallen is respectievelijk 5 en 2 ² * 3. Samengevat, gcd (5,12) = 1, daarom zijn 5 en 12 relatieve prime-lenzen.

2.- Laat de getallen -4 en 6. Dan -4 = -2² en 6 = 2 * 3, zodat het LCD (-4.6) = 2 ≠ 1. Tot slot zijn -4 en 6 geen relatieve neven.

Als we verder met de rechte lijn die door de geordende paren (4,6) en (0,0) plotten, en bepaalt de vergelijking van die lijn kan worden nagegaan dat door het punt (-2,3).

Opnieuw wordt geconcludeerd dat -4 en 6 geen relatieve neven zijn.

3.- De nummers 7 en 44 zijn relatieve prime-lenzen en kunnen snel worden afgesloten dankzij het bovenstaande, aangezien 7 een priemgetal is.

4.- Beschouw de nummers 345 en 346. Omdat het twee opeenvolgende getallen zijn, wordt geverifieerd dat mcd (345,346) = 1, daarom zijn 345 en 346 relatieve prime-lenzen.

5.- Gezien de nummers 147 en 74, dan zijn relatief priem, omdat 147 = 3 * 7² en 74 = 2 * 37 derhalve gcd (147,74) = 1.

6.- De nummers 4 en 9 zijn relatieve prime-tekens. Om dit te demonstreren, kan de tweede karakterisering die hierboven is genoemd worden gebruikt. In feite is 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 en 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

De verkregen getallen zijn 15 en 511. De ontbinding van de primaire factoren van deze getallen is respectievelijk 3 * 5 en 7 * 73, zodat mcd (15.511) = 1.

Zoals u kunt zien, is het gebruik van de tweede karakterisering een langere en moeizame taak dan het direct verifiëren.

7.- Beschouw de nummers -22 en -27. Dan kunnen deze nummers als volgt worden herschreven: -22 = -2 * 11 en -27 = -3³. Daarom zijn de gcd (-22, -27) = 1, dus -22 en -27 relatieve prime-lenzen.

referenties

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Inleiding tot getaltheorie. EUNED.
2. Bourdon, P. L. (1843). Rekenkundige elementen. Boekhandel van de heren en kinderen Zonen van Calleja.
3. Castañeda, S. (2016). Basiscursus in de getaltheorie. Universiteit van het noorden.
4. Guevara, M. H. (s.f.). De verzameling van de hele getallen. EUNED.
5. Hoger Instituut voor lerarenopleiding (Spanje), J.L. (2004). Getallen, vormen en volumes in de omgeving van het kind. Ministerie van Onderwijs.
6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktische wiskunde: rekenkunde, algebra, meetkunde, trigonometrie en rekenliniaal (herdruk ed.). Reverte.
7. Rock, N. M. (2006). Algebra I Is Easy! Zo eenvoudig. Team Rock Press.
8. Smith, S.A. (2000). algebra. Pearson Education.
9. Szecsei, D. (2006). Basis wiskunde en pre-algebra (geïllustreerd ed.). Carrière Druk.
10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2de Wiskunde Cursus. Redactie Progreso.
11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Basisprincipes van rekenkunde. ELIZCOM S.A.S.