Algebraïsch redeneren (met opgeloste oefeningen)

de algebraïsche redenering bestaat in essentie uit het communiceren van een wiskundig argument door een speciale taal, die het rigoureuzer en algemener maakt, gebruik makend van algebraïsche variabelen en bewerkingen die onderling zijn gedefinieerd. Een kenmerk van de wiskunde is de logische striktheid en de abstracte neiging die in haar argumenten wordt gebruikt.

Hiervoor is het noodzakelijk om de juiste "grammatica" te kennen die in dit schrijven moet worden gebruikt. Bovendien, algebraïsch redeneren vermijdt dubbelzinnigheden in de rechtvaardiging van een wiskundig argument, dat essentieel is om enig resultaat in wiskunde te tonen.

index

• 1 Algebraïsche variabelen
• 2 Algebraïsche uitdrukkingen
  • 2.1 Voorbeelden
• 3 Oefeningen opgelost
  • 3.1 Eerste oefening
  • 3.2 Tweede oefening
  • 3.3 Derde oefening
• 4 Referenties

Algebraïsche variabelen

Een algebraïsche variabele is eenvoudig een variabele (een letter of een symbool) die een bepaald wiskundig object vertegenwoordigt.

De letters x, y, z worden bijvoorbeeld meestal gebruikt om de getallen weer te geven die voldoen aan een gegeven vergelijking; de letters p, q r, om propositionele formules weer te geven (of hun respectievelijke hoofdletters om specifieke proposities weer te geven); en de letters A, B, X, enz., om reeksen weer te geven.

De term "variabele" benadrukt dat het object in kwestie niet vast is, maar varieert. Dat is het geval bij een vergelijking, waarbij variabelen worden gebruikt om de oplossingen te bepalen die in principe onbekend zijn.

In algemene bewoordingen kan een algebraïsche variabele worden beschouwd als een letter die een object voorstelt, of het nu een vaststaand object is of niet.

Net zoals algebraïsche variabelen worden gebruikt om wiskundige objecten weer te geven, kunnen we ook symbolen beschouwen als wiskundige bewerkingen.

Het symbool "+" geeft bijvoorbeeld de bewerking "sum" weer. Andere voorbeelden zijn de verschillende symbolische notaties van de logische connectiviteit in het geval van proposities en sets.

Algebraïsche uitdrukkingen

Een algebraïsche uitdrukking is een combinatie van algebraïsche variabelen door middel van eerder gedefinieerde bewerkingen. Voorbeelden hiervan zijn de basisbewerkingen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van getallen, of logisch verbinden in proposities en sets.

De algebraïsche redenering is verantwoordelijk voor het uiten van een redenering of een wiskundig argument door middel van algebraïsche uitdrukkingen.

Deze vorm van expressie helpt om het schrijven te vereenvoudigen en af ​​te korten, omdat het gebruik maakt van symbolische notaties en ons in staat stelt de redenering beter te begrijpen, het op een duidelijkere en meer precieze manier te presenteren.

Voorbeelden

Laten we enkele voorbeelden bekijken die laten zien hoe algebraïsch redeneren wordt gebruikt. Zeer regelmatig wordt het gebruikt om problemen van logica en redenering op te lossen, zoals we binnenkort zullen zien.

Beschouw de bekende wiskundige propositie "de som van twee getallen is commutatief". Laten we eens kijken hoe we deze propositie algebraïsch kunnen uitdrukken: gegeven twee getallen "a" en "b", wat deze propositie betekent is dat a + b = b + a.

De redenering die wordt gebruikt om de oorspronkelijke propositie te interpreteren en uit te drukken in algebraïsche termen is een algebraïsche redenering.

We kunnen ook de beroemde uitdrukking noemen "de volgorde van de factoren verandert het product niet", wat verwijst naar het feit dat het product van twee getallen ook commutatief is, en algebraïsch uitgedrukt als axb = bxa.

Evenzo kunnen de associatieve en distributieve eigenschappen algebraïsch tot expressie worden gebracht (en in feite worden ze uitgedrukt) voor toevoeging en product, waarin aftrekken en delen zijn opgenomen..

Deze redenering dekt een zeer brede taal en wordt gebruikt in meerdere en verschillende contexten. Afhankelijk van elk geval moeten we in deze contexten patronen herkennen, uitspraken interpreteren en hun uitdrukking generaliseren en formaliseren in algebraïsche termen, een geldig en sequentieel redeneervermogen bieden.

Opgeloste oefeningen

De volgende zijn enkele logische problemen, die we zullen oplossen met behulp van een algebraïsche redenering:

Eerste oefening

Wat is het getal dat, door de helft te verwijderen, gelijk is aan één?

oplossing

Om dit soort oefeningen op te lossen is het erg handig om de waarde die we willen bepalen te representeren door middel van een variabele. In dit geval willen we een getal vinden dat door de helft te verwijderen de nummer één wordt. Kies voor x het gezochte aantal.

"Om de helft" naar een cijfer te verwijderen, houdt in dat het door 2 gedeeld wordt. Dus het bovenstaande kan algebraïsch uitgedrukt worden als x / 2 = 1, en het probleem is gereduceerd tot het oplossen van een vergelijking, die in dit geval lineair is en heel eenvoudig op te lossen. Door x te wissen, verkrijgen we dat de oplossing x = 2 is.

Concluderend, 2 is het getal dat door het verwijderen van de helft gelijk is aan 1.

Tweede oefening

Hoeveel minuten blijven er over tot middernacht als er nog 5 minuten ontbreken van 5/3 van wat er nu ontbreekt?

oplossing

Vermeld met "z" het aantal minuten dat overblijft om middernacht (elke andere letter kan worden gebruikt). Dat wil zeggen dat zojuist "z" minuten voor middernacht ontbreken. Dit impliceert dat 10 minuten "z + 10" minuten voor middernacht ontbraken, en dit komt overeen met 5/3 van wat nu ontbreekt; dat is, (5/3) z.

Vervolgens wordt het probleem gereduceerd om de vergelijking z + 10 = (5/3) z op te lossen. Door beide zijden van de gelijkheid te vermenigvuldigen met 3 krijg je de vergelijking 3z + 30 = 5z.

Nu, door de variabele "z" aan één kant van de gelijkheid te groeperen, verkrijgen we die 2z = 15, wat impliceert dat z = 15.

Daarom zijn er nog 15 minuten over tot middernacht.

Derde oefening

In een stam die ruilhandel beoefent, zijn er deze equivalenties:

- Een speer en een ketting worden ingewisseld voor een schild.

- Een speer is equivalent aan een mes en een ketting.

- Twee schilden worden uitgewisseld voor drie eenheden messen.

Hoeveel kragen is een speerequivalent??

oplossing

Sean:

Co = een ketting

L = een speer

E = een schild

Cu = een mes

Dan hebben we de volgende relaties:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Dus het probleem is beperkt tot het oplossen van een systeem van vergelijkingen. Ondanks dat het meer onbekenden heeft dan vergelijkingen, kan dit systeem worden opgelost, omdat ze ons niet om een ​​specifieke oplossing vragen, maar een van de variabelen afhankelijk is van een andere. Wat we moeten doen, is "Co" uitsluitend in functie van "L" uitdrukken.

Uit de tweede vergelijking hebben we dat Cu = L - Co Vervanging in de derde vergelijking krijgen we dat E = (3L - 3Co) / 2. Als we de eerste vergelijking vervangen en vereenvoudigen, krijgen we als resultaat dat 5Co = L; dat wil zeggen, dat een speer gelijk is aan vijf kragen.

referenties

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J.W. (2013). Wiskunde: een probleemoplossende aanpak voor leraren in het basisonderwijs. López Mateos-bewerkers.
2. Bronnen, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot berekening. Lulu.com.
3. García Rua, J., & Martínez Sánchez, J. M. (1997). Elementaire elementaire wiskunde. Ministerie van Onderwijs.
4. Rees, P.K. (1986). algebra. Reverte.
5. Rock, N. M. (2006). Algebra I Is Easy! Zo eenvoudig. Team Rock Press.
6. Smith, S.A. (2000). algebra. Pearson Education.
7. Szecsei, D. (2006). Basis wiskunde en pre-algebra (geïllustreerd ed.). Carrière Druk.