Delen:
Bayes stellingverklaring, toepassingen, oefeningen
de Bayes-stelling is een procedure die ons in staat stelt om de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van een willekeurige gebeurtenis A gegeven B uit te drukken, in termen van de waarschijnlijkheidsverdeling van gebeurtenis B gegeven A en de waarschijnlijkheidsverdeling van alleen A.
Deze stelling is erg handig, omdat we dankzij dit de waarschijnlijkheid kunnen relateren dat een gebeurtenis A optreedt wetende dat B plaatsvond, met de waarschijnlijkheid dat het tegenovergestelde voorkomt, dat wil zeggen, dat B optreedt gegeven A.
Bayes 'stelling was een zilveren voorstel van dominee Thomas Bayes, een achttiende-eeuwse Engelse theoloog die ook een wiskundige was. Hij was de auteur van verschillende werken in de theologie, maar staat momenteel bekend om een aantal wiskundige verhandelingen, waaronder de eerdergenoemde Bayes Theorem opvalt als het belangrijkste resultaat..
Bayes behandelde deze stelling in een paper getiteld "Een essay naar het oplossen van een probleem in de leer van de kansen", gepubliceerd in 1763, en waarop grote werken zijn ontwikkeld om een probleem op te lossen in de doctrine van mogelijkheden. Studies met applicaties op verschillende kennisgebieden.
index
- 1 Toelichting
- 2 Toepassingen van Bayes stelling
- 2.1 Opgeloste oefeningen
- 3 referenties
toelichting
Ten eerste, voor een beter begrip van deze stelling, zijn enkele basisbegrippen van de waarschijnlijkheidstheorie noodzakelijk, met name de vermenigvuldigingstheorema voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid, die stelt dat
Voor E en A willekeurige gebeurtenissen van een monsterruimte S.
En de definitie van partities, die ons vertelt dat als we A hebben1 ,Een2,..., An gebeurtenissen van een steekproefruimte S, vormen deze een partitie van S, als de Aik ze sluiten elkaar uit en hun unie is S.
Als je dit hebt, laat B dan een andere gebeurtenis zijn. Dan kunnen we B zien als
Waar de Aik gekruist met B zijn elkaar uitsluitende evenementen.
En als gevolg daarvan,
Vervolgens de vermenigvuldigingsstelling toepassen
Aan de andere kant wordt de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van Ai gegeven B gedefinieerd door
Goed substitueren moeten we voor elke i
Toepassingen van Bayes stelling
Dankzij dit resultaat zijn onderzoeksgroepen en diverse bedrijven erin geslaagd om de systemen die gebaseerd zijn op kennis te verbeteren.
Bijvoorbeeld, in de studie van ziekten, kan de stelling van Bayes helpen om de waarschijnlijkheid te onderscheiden dat een ziekte zal worden gevonden in een groep mensen met een gegeven kenmerk, waarbij als gegevens de globale percentages van de ziekte en het overwicht van genoemde kenmerken in mensen, zowel gezond als ziek.
Aan de andere kant, in de wereld van geavanceerde technologieën, heeft dit grote bedrijven beïnvloed die dankzij dit resultaat software "Gebaseerd op kennis" hebben ontwikkeld.
Als een alledaags voorbeeld hebben we de Microsoft Office-assistent. De Bayes-stelling helpt de software om de problemen die de gebruiker oproept te beoordelen en te bepalen welk advies hij moet geven, zodat hij een betere service kan bieden volgens de gewoonten van de gebruiker.
Opgemerkt moet worden dat deze formule tot de laatste tijd werd genegeerd, dit is voornamelijk te wijten aan het feit dat toen dit resultaat 200 jaar geleden werd ontwikkeld, er weinig praktisch gebruik voor hen was. Echter, in onze tijd, dankzij de grote technologische vooruitgang, hebben wetenschappers manieren gevonden om dit resultaat in de praktijk te brengen.
Opgeloste oefeningen
Oefening 1
Een mobiel bedrijf heeft twee machines A en B. 54% van de geproduceerde mobiele telefoons zijn gemaakt door machine A en de rest door machine B. Niet alle geproduceerde mobiele telefoons zijn in goede staat.
Het aandeel van defecte mobiele telefoons gemaakt door A is 0,2 en door B is 0,5. Wat is de kans dat een mobiele telefoon van de fabriek defect is? Wat is de kans dat, wetende dat een mobiele telefoon defect is, deze afkomstig is van machine A?
oplossing
Hier heb je een experiment dat in twee delen wordt gedaan; in het eerste deel gebeuren de gebeurtenissen:
A: mobiele telefoon gemaakt door machine A.
B: mobiele telefoon gemaakt door machine B.
Aangezien machine A 54% van mobiele telefoons produceert en de rest wordt geproduceerd door machine B, produceert machine B 46% van mobiele telefoons. De kansen op deze gebeurtenissen worden gegeven, namelijk:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
De gebeurtenissen van het tweede deel van het experiment zijn:
D: defecte cel.
E: niet-defecte cel.
Zoals in de verklaring wordt gezegd, zijn de waarschijnlijkheden van deze gebeurtenissen afhankelijk van het resultaat dat is verkregen in het eerste deel:
P (D | A) = 0,2.
P (D | B) = 0,5.
Met behulp van deze waarden kunt u ook de waarschijnlijkheid van de complementen van deze gebeurtenissen bepalen, dat wil zeggen:
P (E | A) = 1 - P (D | A)
= 1 - 0.2
= 0.8
en
p (E | B) = 1 - P (D | B)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Nu kan gebeurtenis D als volgt worden geschreven:
Gebruikmakend van de vermenigvuldigingstheorie voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid, resulteert dit in:
Hiermee wordt de eerste vraag beantwoord.
Nu moeten we alleen P (A | D) berekenen, waarvoor de Bayes-stelling geldt:
Dankzij de Bayes-stelling kan worden gesteld dat de kans dat een mobiele telefoon is gemaakt door machine A, wetende dat de mobiele telefoon defect is, 0,319 is..
Oefening 2
Drie dozen bevatten witte en zwarte ballen. De samenstelling van elk ervan is als volgt: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.
Een van de vakken wordt willekeurig gekozen en er wordt een willekeurige bal uitgehaald, die wit blijkt te zijn. Welke is de doos die het meest waarschijnlijk is gekozen?
oplossing
Via U1, U2 en U3 zullen we ook de gekozen box voorstellen.
Deze gebeurtenissen vormen een partitie van S en er wordt gecontroleerd dat P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 omdat de keuze van de box willekeurig is.
Als B = de geëxtraheerde bal is wit, hebben we P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .
Wat we willen verkrijgen is de kans dat de bal uit de doos Ui werd gehaald wetende dat de bal wit was, dat wil zeggen, P (Ui | B), en zie welke van de drie waarden de hoogste was om te weten welke doos is waarschijnlijk de extractie van de witte bal.
De Bayes-stelling toepassen op de eerste van de vakken:
En voor de andere twee:
P (U2 | B) = 2/6 en P (U3 | B) = 1/6.
Dan is de eerste van de vakken degene die een grotere kans heeft om gekozen te zijn voor de extractie van de witte bal.
referenties
- Kai Lai Chung Elementaire geschiktheidstheorie met stochastische processen. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen, discrete wiskunde en zijn toepassingen. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Waarschijnlijkheid en statistische toepassingen. Inc. MEXICAANSE ALHAMBRA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Discrete Mathematics Opgeloste problemen. McGraw-Hill.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Theorie en probleemsituaties. McGraw-Hill.