Bernoulli's stelling Bernoulli's vergelijking, toepassingen en opgeloste oefening

de De stelling van Bernoulli, die het gedrag van een stromend fluïdum beschrijft, werd door de wiskundige en fysicus Daniel Bernoulli in zijn werk verkondigd waterwerktuigkunde. Volgens het principe zal een ideaal fluïdum (zonder wrijving of viscositeit) dat in circulatie is door een gesloten leiding, een constante energie in zijn pad hebben.

De stelling kan worden afgeleid uit het principe van behoud van energie en zelfs uit de tweede bewegingswet van Newton. Bovendien stelt Bernoulli's principe ook dat een toename van de snelheid van een vloeistof een afname betekent van de druk waaraan het wordt blootgesteld, een afname van zijn potentiële energie of beide tegelijkertijd.

De stelling heeft vele en verschillende toepassingen, zowel met betrekking tot de wereld van de wetenschap als voor het dagelijks leven van mensen.

De gevolgen ervan zijn aanwezig in de kracht van vliegtuigen, in de schoorstenen van huizen en industrieën, in waterleidingen, onder andere.

index

• 1 Bernoulli-vergelijking
  • 1.1 Vereenvoudigde vorm
• 2 toepassingen
• 3 Oefening opgelost
• 4 Referenties

Bernoulli-vergelijking

Hoewel Bernoulli concludeerde dat de druk afneemt als de stroomsnelheid toeneemt, is de waarheid dat het Leonhard Euler was die de Bernoulli-vergelijking eigenlijk heeft ontwikkeld zoals het nu bekend is..

In elk geval is Bernoulli's vergelijking, die niets anders is dan de wiskundige uitdrukking van zijn stelling, als volgt:

v² ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = constant

In deze uitdrukking is v de snelheid van het fluïdum door de beschouwde sectie, ƿ is de dichtheid van het fluïdum, P is de vloeistofdruk, g is de waarde van de versnelling van de zwaartekracht, en z is de hoogte gemeten in de richting zwaartekracht.

In de Bernoulli-vergelijking is het impliciet dat de energie van een vloeistof uit drie componenten bestaat:

- Een kinetische component, die het resultaat is van de snelheid waarmee de vloeistof beweegt.

- Een potentiële of zwaartekrachtcomponent, die te wijten is aan de hoogte waarop de vloeistof zich bevindt.

- Een drukenergie, wat de vloeistof bezit als gevolg van de druk waaraan deze wordt blootgesteld.

Aan de andere kant kan de Bernoulli-vergelijking ook als volgt worden uitgedrukt:

v₁² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

Deze laatste uitdrukking is zeer praktisch om de veranderingen te analyseren die een vloeistof ervaart wanneer een van de elementen waaruit de vergelijking bestaat, verandert.

Vereenvoudigde vorm

In bepaalde gevallen is de verandering in de term ρgz van de Bernoulli-vergelijking minimaal vergeleken met die van de andere termen, dus het is mogelijk om deze te verwaarlozen. Dit gebeurt bijvoorbeeld in de stroming die een vliegtuig tijdens de vlucht ervaart.

Bij deze gelegenheden wordt de Bernoulli-vergelijking als volgt uitgedrukt:

P + q = P₀

In deze uitdrukking is q dynamische druk en gelijk aan v ² ∙ ƿ / 2 en P₀ is wat de totale druk wordt genoemd en is de som van de statische druk P en de dynamische druk q.

toepassingen

Bernoulli's stelling heeft vele en verschillende toepassingen op verschillende gebieden zoals wetenschap, techniek, sport, etc..

Een interessante toepassing wordt gevonden in het ontwerp van schoorstenen. De schoorstenen zijn hoog gebouwd om een ​​groter drukverschil tussen de basis en de uitgang van de schoorsteen te bereiken, waardoor het gemakkelijker is om de verbrandingsgassen te extraheren.

Natuurlijk is de Bernoulli-vergelijking ook van toepassing op de studie van de beweging van vloeistofstromen in pijpen. Uit de vergelijking volgt dat een vermindering van het dwarsoppervlak van de pijp, om de snelheid van de vloeistof die er doorheen gaat te verhogen, ook een afname in de druk impliceert.

De Bernoulli-vergelijking wordt ook gebruikt in de luchtvaart en in voertuigen van de Formule 1. In het geval van de luchtvaart is het Bernoulli-effect de oorsprong van vliegtuigondersteuning.

De vleugels van het vliegtuig zijn ontworpen met als doel een grotere luchtstroom in het bovenste deel van de vleugel te bereiken.

Dus, in het bovenste deel van de vleugel, is de luchtsnelheid hoog en daarom de lagere druk. Dit verschil in druk produceert een kracht die verticaal naar boven is gericht (liftkracht) waardoor vliegtuigen in de lucht kunnen worden gehouden. Een soortgelijk effect wordt verkregen in de rolroeren van Formule 1-auto's.

Bepaalde oefening

Door een pijp met een doorsnede van 4,2 cm² een stroom water stroomt met 5,18 m / s. Het water daalt van een hoogte van 9,66 m naar een lager niveau met een hoogte van nul, terwijl het dwarsoppervlak van de buis toeneemt tot 7,6 cm².

a) Bereken de snelheid van de waterstroom op het lagere niveau.

b) Bepaal de druk in het lagere niveau wetende dat de druk in het bovenste niveau 152000 Pa is.

oplossing

a) Aangezien de stroming moet worden behouden, is voldaan aan het volgende:

Q_topniveau = Q_{lager niveau}

 v₁ . S₁ = v₂ . S₂

 5,18 m / s. 4,2 cm² = v₂ . 7.6 cm ^²

Clearing, je snapt dat:

v₂ = 2,86 m / s

b) Het toepassen van de Bernoulli-stelling tussen de twee niveaus en rekening houdend met het feit dat de waterdichtheid 1000 kg / m is³ , krijg je dat:

v₁² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

(02/01). 1000 kg / m³ . (5,18 m / s)² + 152000 + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m³ . (2,86 m / s)² + P₂ + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 0 m

P₂ je krijgt om:

P₂ = 257926.4 Pa

referenties

1. Het principe van Bernoulli. (N.D.). In Wikipedia. Opgehaald op 12 mei 2018, via es.wikipedia.org.
2. Het principe van Bernoulli. (N.D.). In Wikipedia. Opgehaald op 12 mei 2018, op en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Een inleiding tot Fluid Dynamics. Cambridge University Press.
4. Lamb, H. (1993). waterwerktuigkunde (6e druk). Cambridge University Press.
5. Mott, Robert (1996). Mechanica van toegepaste vloeistoffen (4de ed.). Mexico: Pearson Education.