Bolzano's stellingverklaring, toepassingen en oefeningen opgelost

de Bolzano-stelling stelt dat als een functie continu op alle punten van een gesloten interval [a, b] en houdt het beeld van "a" en "b" (laag functie) tegengestelde tekens, dan zal er tenminste één punt "C" in het open interval (a, b), zodat de functie geëvalueerd in "c" gelijk is aan 0.

Deze stelling werd verkondigd door de filosoof, theoloog en wiskundige Bernard Bolzano in 1850. Dit wetenschapper, geboren in het huidige Tsjechië het was een van de eerste wiskundigen in de geschiedenis die een formele demonstratie van de eigenschappen van continue functies maken.

index

• 1 Toelichting
• 2 Demonstratie
• 3 Waar is het voor??
• 4 Oefeningen opgelost
  • 4.1 Oefening 1
  • 4.2 Oefening 2
• 5 Referenties

toelichting

Stelling van Bolzano is ook bekend als de stelling tussenliggende waarden, die helpt bij het bepalen van specifieke waarden, met name nullen, van bepaalde reële functies van een reële variabele.

In een gegeven f (x) continu, dat wil zeggen f (a) en f (b) zijn verbonden door een gebogen, waarbij f (a) onder de x-as (negatief), f (b) -functie boven de x-as (positief) of vice versa, grafisch bestaat een verlaging van de x-as vertegenwoordigt een tussenwaarde "c" die tussen "a" en "b" en de waarde van f (c) zal gelijk zijn aan 0.

Door grafisch de stelling van Bolzano te analyseren, kunnen we weten dat voor elke functie f continu gedefinieerd in een interval [a, b], waarbij f (a)_*f (b) kleiner is dan 0, zal er binnen het interval ten minste één "c" van die functie zijn (a, b).

Deze stelling bepaalt niet het aantal punten dat in dat open interval bestaat, maar geeft alleen aan dat er minimaal 1 punt is.

tonen

Om de stelling van Bolzano te bewijzen, wordt aangenomen zonder verlies van algemeenheid dat f (a) < 0 y f(b) > 0; op die manier kunnen er veel waarden tussen "a" en "b" zijn waarvoor f (x) = 0, maar je hoeft alleen te laten zien dat er een is.

Begin met het evalueren van f in het middelpunt (a + b) / 2. Als f ((a + b) / 2) = 0 eindigt de test hier; anders is f ((a + b) / 2) positief of negatief.

Een van de helften van het interval [a, b] wordt gekozen, zodanig dat de tekens van de functie die aan de uiteinden worden geëvalueerd, verschillend zijn. Dit nieuwe interval is [a1, b1].

Nu, als f geëvalueerd in het middelpunt van [a1, b1] niet nul is, wordt dezelfde bewerking als eerder uitgevoerd; dat wil zeggen, de helft van dit interval dat voldoet aan de conditie van de tekens wordt gekozen. Dit nieuwe interval zijn [a2, b2].

Als dit proces wordt voortgezet, worden twee opeenvolgende an en bn genomen, zodanig dat:

an neemt toe en bn neemt af:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Als u de lengte van elk interval [ai, bi] berekent, moet u:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Daarom is de limiet wanneer n neigt naar oneindig van (bn-an) gelijk aan 0.

Het gebruik van dat an neemt toe en wordt begrensd en bn neemt af en wordt begrensd, er moet een waarde "c" zijn, zodanig dat:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

De limiet van an is "c" en de limiet van bn is ook "c". Daarom is er, gegeven δ> 0, altijd een "n" zodat het interval [an, bn] binnen het interval ligt (c-δ, c + δ).

Nu moet worden aangetoond dat f (c) = 0.

Als f (c)> 0, dan is er, omdat f continu is, een s> 0 zodat f gedurende het hele interval positief is (c-ε, c + ε). Zoals hierboven vermeld, bestaat er echter een waarde "n", zodanig dat f verandert in [an, bn] en dat bovendien [an, bn] is opgenomen in (c-ε, c + ε), wat is een tegenspraak.

Als f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 zodanig dat f gedurende het hele interval negatief is (c-ε, c + ε); maar er bestaat een waarde "n", zodanig dat f verandert met inloggen [an, bn]. Het blijkt dat [an, bn] is vervat in (c-ε, c + ε), wat ook een tegenspraak is.

Daarom is f (c) = 0 en dit is wat we wilden laten zien.

Waar is het voor??

Uit de grafische interpretatie wordt Bolzano stelling gebruikt om wortels of nullen in een continue functie te vinden door doorsnijding (aanpassing), een methode die altijd verdeelt incrementeel zoekintervallen 2.

Neem vervolgens een interval [a, c] of [c, b] waar de tekenwijziging plaatsvindt en herhaal het proces totdat het interval kleiner en kleiner is, zodat u de gewenste waarde kunt naderen; dat wil zeggen, de waarde dat de functie 0 maakt.

Samengevat, om de stelling van Bolzano toe te passen en zo de wortels te vinden, de nullen van een functie af te bakenen of een vergelijking op te lossen, worden de volgende stappen uitgevoerd:

- Er wordt gecontroleerd of f een continue functie is in het interval [a, b].

- Als het interval niet wordt gegeven, moet er een worden gevonden waar de functie continu is.

- Er wordt gecontroleerd of de extremen van het interval tegengestelde tekens opleveren wanneer geëvalueerd in f.

- Als er geen tegengestelde tekens worden verkregen, moet het interval worden verdeeld in twee subintervallen met behulp van het middelpunt.

- Evalueer de functie in het middelpunt en verifieer dat aan de Bolzano-hypothese is voldaan, waarbij f (a) _* f (b) < 0.

- Afhankelijk van het teken (positief of negatief) van de gevonden waarde, wordt het proces herhaald met een nieuw subinterval totdat aan de genoemde hypothese is voldaan.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Bepaal of de functie f (x) = x is² - 2, heeft tenminste één echte oplossing in het interval [1,2].

oplossing

We hebben de functie f (x) = x² - 2. Omdat het polynomiaal is, betekent dit dat het in elk interval continu is.

U wordt gevraagd om te bepalen of u een echte oplossing in het interval [1, 2] hebt, dus nu hoeft u alleen de uiteinden van het interval in de functie te vervangen om het teken hiervan te kennen en te weten of ze aan de voorwaarde van anders zijn voldoen:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negatief)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positief)

Teken van f (1) ≠ teken f (2).

Dit zorgt ervoor dat er ten minste één punt "c" is dat bij het interval [1,2] hoort, waar f (c) = 0.

In dit geval kan de waarde van "c" eenvoudig als volgt worden berekend:

X² - 2 = 0

x = ± √2.

Dus √2 ≈ 1,4 behoort tot het interval [1,2] en voldoet aan die f (√2) = 0.

Oefening 2

Bewijs dat de vergelijking x⁵ + x + 1 = 0 heeft minstens één echte oplossing.

oplossing

Merk allereerst op dat f (x) = x⁵ + x + 1 is een polynomiale functie, wat betekent dat het continu is in alle reële getallen.

In dit geval wordt er geen interval opgegeven, dus waarden moeten intuïtief worden gekozen, bij voorkeur dichtbij 0, om de functie te evalueren en de tekenwijzigingen te vinden:

Als u het interval [0, 1] gebruikt, moet u:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Aangezien er geen tekenwijziging is, wordt het proces herhaald met een ander interval.

Als u het interval [-1, 0] gebruikt, moet u:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

In dit interval is er een tekenwisseling: teken van f (-1) ≠ teken van f (0), wat betekent dat de functie f (x) = x⁵ + x + 1 heeft tenminste één echte root "c" in het interval [-1, 0], zodanig dat f (c) = 0. Met andere woorden, het is waar dat x⁵ + x + 1 = 0 heeft een echte oplossing in het interval [-1,0].

referenties

1. Bronshtein I, S.K. (1988). Handleiding wiskunde voor ingenieurs en studenten ... Redactioneel MIR.
2. George, A. (1994). Wiskunde en geest. Oxford University Press.
3. Ilín V, P. E. (1991). Wiskundige analyse In drie delen ...
4. Jesús Gómez, F.G. (2003). Leraren van het secundair onderwijs. Volume II. MAD.
5. Mateos, M.L. (2013). Elementaire eigenschappen van de analyse in R. Editores, 20 december.
6. Piskunov, N. (1980). Differentiële en integrale calculus ...
7. Sydsaeter K, H.P. (2005). Wiskunde voor economische analyse. Felix Varela.
8. William H. Barker, R.H. (s.f.). Continuous Symmetry: Van Euclid naar Klein. American Mathematical Soc.