Euclid's stellingformules, demonstratie, toepassing en oefeningen



de Euclid's stelling demonstreert de eigenschappen van een rechthoekige driehoek door een lijn te tekenen die deze verdeelt in twee nieuwe rechthoekige driehoeken die op elkaar lijken en op hun beurt vergelijkbaar zijn met de oorspronkelijke driehoek; dan is er een relatie van proportionaliteit.

Euclid was een van de grootste wiskundigen en meetkundigen van de oudheid die verschillende demonstraties van belangrijke stellingen maakte. Een van de belangrijkste is degene die zijn naam draagt, die een brede toepassing heeft gehad.

Dit is zo omdat, door die stelling zegt simpelweg bestaande geometrische relaties in de driehoek waar de poten van deze zijn gerelateerd aan hun projecties op de schuine zijde.

index

  • 1 Formules en demonstratie
    • 1.1 Stelling van de hoogte
    • 1.2 Stelling van de benen
  • 2 Relatie tussen de stellingen van Euclid
  • 3 Oefeningen opgelost
    • 3.1 Voorbeeld 1
    • 3.2 Voorbeeld 2
  • 4 Referenties

Formules en demonstratie

Euclid's stelling stelt voor dat in elke rechthoekige driehoek, wanneer een lijn wordt getrokken - die de hoogte representeert die overeenkomt met de top van de rechte hoek ten opzichte van de hypotenusa - twee rechter driehoeken worden gevormd uit het oorspronkelijke.

Deze driehoeken zullen op elkaar lijken en zullen ook vergelijkbaar zijn met de oorspronkelijke driehoek, wat betekent dat hun overeenkomstige zijden evenredig zijn aan elkaar:

De hoeken van de drie driehoeken zijn congruent; dat wil zeggen, wanneer het 180 graden wordt gedraaid op zijn top, valt een hoek samen met de andere. Dit betekent dat iedereen gelijk zal zijn.

Op deze manier kun je ook de gelijkenis die tussen de drie driehoeken bestaat, verifiëren door de gelijkheid van hun hoeken. Uit de gelijkenis van driehoeken, stelt Euclides de verhoudingen hiervan vast uit twee stellingen:

- Hoogtestelling.

- Stelling van de benen.

Deze stelling heeft een brede toepassing. In de Oudheid werd het gebruikt om hoogten of afstanden te berekenen, wat een grote vooruitgang betekent voor trigonometrie.

Het wordt momenteel toegepast op verschillende gebieden die zijn gebaseerd op wiskunde, zoals techniek, natuurkunde, scheikunde en astronomie, en op vele andere gebieden.

Hoogtestelling

Deze stelling stelt dat in elke rechthoekige driehoek de hoogte getrokken vanuit de rechte hoek ten opzichte van de hypotenusa het geometrische proportionele gemiddelde (het vierkant van de hoogte) tussen de projecties van de benen dat de hypotenusa bepaalt.

Dat wil zeggen, het kwadraat van de hoogte zal gelijk zijn aan de vermenigvuldiging van de geprojecteerde poten die de hypotenusa vormen:

hc2 = m * n

tonen

Gegeven een driehoek ABC, die een rechthoek is bij vertex C, worden bij het plotten van de hoogte twee soortgelijke rechthoekige driehoeken, ADC en BCD, gegenereerd; daarom zijn hun overeenkomstige zijden evenredig:

Op een zodanige manier dat de hoogte hc die overeenkomt met de segment-CD, komt overeen met de hypotenusa AB = c, dus we moeten:

Dit komt op zijn beurt overeen met:

De hypotenusa opruimen (hc), om de twee leden van gelijkheid te vermenigvuldigen, moet je:

hc * hc = m * n

hc2 = m * n

De waarde van de hypotenusa wordt dus gegeven door:

Stelling van de benen

Deze stelling stelt dat in elke rechterdriehoek de maat van elke poot het geometrische proportionele gemiddelde (het kwadraat van elke poot) zal zijn tussen de meting van de hypotenusa (volledig) en de projectie van elke poot erop:

b2 = c * m

naar2 = c* n

tonen

Gegeven een driehoek ABC, die een rechthoek is bij de vertex C, zodanig dat de hypotenusa ervan c is, worden bij het uitzetten van de hoogte (h) de uitsteeksels van de benen a en b, die respectievelijk de segmenten m en n zijn, bepaald. de hypotenusa.

We hebben dus dat de hoogte getekend op de rechthoekige driehoek ABC twee gelijke rechthoekige driehoeken ADC en BCD genereert, zodat de corresponderende zijden evenredig zijn, zoals deze:

DB = n, wat de projectie is van het CB-been op de hypotenusa.

AD = m, wat de projectie is van de cathetus AC op de hypotenusa.

Vervolgens wordt de hypotenusa c bepaald door de som van de benen van zijn projecties:

c = m + n

Vanwege de gelijkenis van de driehoeken ADC en BCD, moeten we:

Het bovenstaande is hetzelfde als:

Door het been "a" te verwijderen om de twee leden van gelijkheid te vermenigvuldigen, moet men:

naar * a = c * n

naar2 = c * n

De waarde van het been "a" wordt dus gegeven door:

Evenzo moeten we door de gelijkenis van de driehoeken ACB en ADC:

Het bovenstaande is gelijk aan:

Door het been "b" op te ruimen om de twee leden van gelijkheid te vermenigvuldigen, moet men:

b * b = c * m

b2 = c * m

De waarde van het been "b" wordt dus gegeven door:

Verband tussen de stellingen van Euclid

De stellingen met betrekking tot hoogte en benen zijn gerelateerd aan elkaar omdat de maat van beide is gemaakt met betrekking tot de hypotenusa van de rechterdriehoek.

Door de relatie van de stellingen van Euclid kan ook de waarde van de hoogte worden gevonden; het mogelijk opruimen van de waarden van m en n Hicks stelling en vervangen Stelling hoogte. Op deze manier is de hoogte gelijk aan de vermenigvuldiging van de benen, gedeeld door de hypotenusa:

b2 = c * m

m = b2 ÷ c

naar2 = c * n

n = a2 ÷ c

In de hoogte-stelling worden m en n vervangen:

hc2 = m * n

hc2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)

hc = (b2* naar2) ÷ c

Opgeloste oefeningen

Voorbeeld 1

Gezien de driehoek ABC, rechthoek in A, bepaal je de maat voor AC en AD, als AB = 30 cm en BD = 18 cm

oplossing

In dit geval zijn er maatregelen één van de geprojecteerde Hicks (BD) en één van de benen van de oorspronkelijke driehoek (AB). Op die manier kunt u de beenstelling toepassen om de waarde van de BC-poot te vinden.

AB2 = BD * BC

(30)2 = 18 * BC

900 = 18 * BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

De waarde van de CD-katheter kan worden gevonden wetende dat BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Het is nu mogelijk om de waarde van de cathetus AC te bepalen, opnieuw de beenstelling toe te passen:

AC2 = CD * BD

AC2 = 32 * 50

AC2 = 160

AC = √1600 = 40 cm

Om de waarde van de hoogte (AD) te bepalen, wordt de hoogte-stelling toegepast, omdat de waarden van de geprojecteerde poten CD en BD bekend zijn:

AD2 = 32 * 18

AD2 = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Voorbeeld 2

Bepaal de waarde van de hoogte (h) van een driehoek MNL, rechthoek in N, wetende de maten van de segmenten:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

oplossing

Ook de maatregelen van de benen van de oorspronkelijke driehoek is de maat van een van die geprojecteerd op de hypotenusa (PM) Hicks, eveneens. Op deze manier kan de beenstelling worden gebruikt om de waarde van de andere geprojecteerde poot (LN) te vinden:

NL2 = PM * LM

(10)2 = 5 * LM

100 = 5 * LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Omdat we de waarde van de benen en de hypotenusa al kennen, kan door de relatie tussen de stellingen van de hoogte en de benen de waarde van de hoogte worden bepaald:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2* naar2) ÷ c.

h = (102* 52)  ÷ (20)

h = (100 * 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referenties

  1. Braun, E. (2011). Chaos, fractals en rare dingen. Economisch Cultuurfonds.
  2. Cabrera, V. M. (1974). Moderne wiskunde, volume 3.
  3. Daniel Hernandez, D.P. (2014). Wiskunde van het derde jaar Caracas: Santillana.
  4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Spaanse encyclopedie: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
  5. Euclid, R.P. (1886). Euclid's Elements of Geometry.
  6. Guardeño, A.J. (2000). De erfenis van de wiskunde: van Euclides tot Newton, de genieën door zijn boeken. Universiteit van Sevilla.