Isometrische transformaties Samenstelling, typen en voorbeelden

de Isometrische transformaties het zijn veranderingen van positie of oriëntatie van een bepaald figuur die noch de vorm noch de omvang ervan veranderen. Deze transformaties worden ingedeeld in drie typen: translatie, rotatie en reflectie (isometrie). In het algemeen maken geometrische transformaties het mogelijk een nieuw figuur te creëren uit een ander gegeven.

Een transformatie in een geometrische figuur betekent dat deze op de een of andere manier aan enige verandering onderhevig was; dat wil zeggen, dat het veranderd was. Volgens de betekenis van het origineel en het vergelijkbare in het vlak, kunnen geometrische transformaties worden ingedeeld in drie typen: isometrisch, isomorf en anamorf..

index

• 1 Kenmerken
• 2 soorten
  • 2.1 door vertaling
  • 2.2 Door rotatie
  • 2.3 Door reflectie of symmetrie
• 3 Samenstelling
  • 3.1 Samenstelling van een vertaling
  • 3.2 Samenstelling van een rotatie
  • 3.3 Samenstelling van een symmetrie
• 4 Referenties

features

Isometrische transformaties treden op wanneer de magnitudes van de segmenten en de hoeken tussen de oorspronkelijke figuur en de getransformeerde worden behouden.

In dit type transformatie zijn noch de vorm noch de grootte van de figuur gewijzigd (ze zijn congruent), het is alleen een verandering van positie van de figuur, hetzij in de richting of in de richting. Op deze manier zullen de begin- en eindcijfers overeenstemmend en geometrisch congruent zijn.

Isometrie verwijst naar gelijkheid; dat wil zeggen dat de geometrische figuren isometrisch zijn als ze dezelfde vorm en afmeting hebben.

In de isometrische transformaties is het enige dat kan worden waargenomen een verandering van positie in het vlak, een starre beweging treedt op waardoor de figuur van een beginpositie naar een eindpositie gaat. Deze figuur wordt homoloog (vergelijkbaar) van het origineel genoemd.

Er zijn drie soorten bewegingen die een isometrische transformatie classificeren: translatie, rotatie en reflectie of symmetrie.

type

Door vertaling

Zijn die isometrieën die toestaan ​​om in een rechte lijn alle punten van het vlak in een bepaalde richting en afstand te verplaatsen.

Wanneer een figuur wordt getransformeerd door translatie, verandert het zijn oriëntatie ten opzichte van de initiële positie niet, evenmin verliest het zijn interne maten, de maten van zijn hoeken en zijden. Dit type verplaatsing wordt gedefinieerd door drie parameters:

- Een adres, dat horizontaal, verticaal of schuin kan zijn.

- Een gevoel dat links, rechts, omhoog of omlaag kan zijn.

- Afstand of magnitude, de lengte vanaf de beginpositie tot het einde van een punt dat wordt verplaatst.

Voor een isometrische transformatie door vertaling waaraan moet worden voldaan, moet deze aan de volgende voorwaarden voldoen:

- Het figuur moet altijd al zijn afmetingen behouden, zowel lineair als hoekig.

- Het figuur verandert zijn positie ten opzichte van de horizontale as niet; dat wil zeggen, de hoek varieert nooit.

- De vertalingen worden altijd in één overzicht samengevat, ongeacht het aantal gemaakte vertalingen.

In een vlak waar het middelpunt een punt O is, met coördinaten (0,0), wordt de vertaling gedefinieerd door een vector T (a, b), die de verplaatsing van het beginpunt aangeeft. Dat is:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Als bijvoorbeeld een vertaling T (-4, 7) wordt toegepast op het coördinaatpunt P (8, -2), verkrijgen we:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

In de volgende afbeelding (links) is te zien hoe punt C bewoog samen te vallen met punt D. Dit gebeurde in de verticale richting, de richting was opwaarts en de afstands- of magnitude-CD was 8 meter. In de juiste afbeelding wordt de vertaling van een driehoek waargenomen:

Door rotatie

Het zijn die isometrieën die het mogelijk maken dat de figuur alle punten van een vlak roteert. Elk punt roteert volgens een boog die een constante hoek heeft en een vast punt (rotatiecentrum) bepaald.

Dat wil zeggen dat alle rotatie wordt gedefinieerd door het rotatiecentrum en de rotatiehoek. Wanneer een figuur wordt omgezet door rotatie, houdt het de maat van de hoeken en zijden.

De rotatie gebeurt in een bepaalde richting, is positief wanneer de rotatie tegen de klok in is (in tegenstelling tot hoe de wijzers van de klok roteren) en negatief wanneer de rotatie met de klok mee is.

Als een punt (x, y) wordt geroteerd ten opzichte van de oorsprong - dat wil zeggen, het rotatiepunt is (0,0) - onder een hoek van 90^of tot 360^of De coördinaten van de punten zijn:

In het geval dat de rotatie geen centrum bij de oorsprong heeft, moet de oorsprong van het coördinatensysteem worden overgebracht naar de nieuwe gegeven oorsprong, teneinde de figuur te kunnen roteren met als middelpunt de oorsprong.

Bijvoorbeeld, als het punt P (-5.2) een rotatie van 90 wordt gegeven^of, rond de oorsprong en in positieve zin zijn de nieuwe coördinaten (-2.5).

Door reflectie of symmetrie

Het zijn die transformaties die de punten en figuren van het vlak omkeren. Deze investering kan ten opzichte van een punt zijn of ook ten opzichte van een rechte lijn.

Met andere woorden, bij dit type transformatie is elk punt van de originele figuur geassocieerd met een ander punt (afbeelding) van de homologe figuur, op een zodanige manier dat het punt en het beeld zich op dezelfde afstand van een lijn bevinden die de symmetrieas wordt genoemd..

Het linkerdeel van de figuur zal dus een weerspiegeling zijn van het rechterdeel, zonder de vorm of de afmetingen ervan te veranderen. De symmetrie transformeert de ene figuur in de andere, zij het in de tegenovergestelde richting, zoals te zien is in de volgende afbeelding:

Symmetrie is in veel opzichten aanwezig, zoals in sommige planten (zonnebloemen), dieren (pauw) en natuurlijke verschijnselen (sneeuwvlokken). De mens weerkaatst het op zijn gezicht, wat als een factor van schoonheid wordt beschouwd. De reflectie of symmetrie kan van twee soorten zijn:

Centrale symmetrie

Het is die transformatie die optreedt ten opzichte van een punt, waarin het figuur zijn oriëntatie kan veranderen. Elk punt van de originele figuur en zijn afbeelding bevinden zich op dezelfde afstand van een punt O, het symmetriemiddelpunt. De symmetrie staat centraal wanneer:

- Zowel het punt als de afbeelding en het middelpunt behoren tot dezelfde lijn.

- Met een rotatie van 180^of midden O krijg je een cijfer gelijk aan het origineel.

- De streken van de beginfiguur lopen parallel met de streken van de gevormde figuur.

- De betekenis van het figuur verandert niet, het zal altijd met de klok mee zijn.

Deze transformatie vindt plaats met betrekking tot de as van symmetrie, waarbij elk punt van de beginfiguur is geassocieerd met een ander punt van het beeld en deze zich op dezelfde afstand van de symmetrieas bevinden. De symmetrie is axiaal wanneer:

- Het segment dat een punt met het beeld verbindt, staat loodrecht op de symmetrieas.

- De cijfers veranderen van richting ten opzichte van de afslag of met de klok mee.

- Wanneer de figuur wordt gedeeld door een centrale lijn (symmetrie-as), komt een van de resulterende helften volledig overeen met een van de helften.

samenstelling

Een samenstelling van isometrische transformaties verwijst naar de opeenvolgende toepassing van isometrische transformaties op dezelfde figuur.

Samenstelling van een vertaling

De samenstelling van twee vertalingen resulteert in een andere vertaling. Als u op het vlak op de horizontale as (x) werkt, veranderen alleen de coördinaten van die as, terwijl de coördinaten van de verticale as (y) hetzelfde blijven en vice versa.

Samenstelling van een rotatie

De samenstelling van twee beurten met hetzelfde centrum resulteert in een volgende draai, die hetzelfde midden heeft en waarvan de amplitude de som is van de amplituden van de twee beurten.

Als het centrum van de wendingen een ander centrum heeft, zal de weg van de bissectrice van twee segmenten van vergelijkbare punten het centrum van de beurt zijn.

Samenstelling van een symmetrie

In dit geval hangt de compositie af van hoe deze wordt toegepast:

- Als dezelfde symmetrie twee keer wordt toegepast, is het resultaat een identiteit.

- Als twee symmetrieën worden toegepast met betrekking tot twee parallelle assen, is het resultaat een vertaling en is de verplaatsing twee keer de afstand van die assen:

- Als twee symmetrieën worden toegepast met betrekking tot twee assen die op het punt O (midden) worden gesneden, wordt een rotatie met het middelpunt op O verkregen en is de hoek ervan tweemaal de hoek die door de assen wordt gevormd:

referenties

1. V Burgués, J.F. (1988). Materialen om geometrie te bouwen. Madrid: synthese.
2. Cesar Calavera, I.J. (2013). Technische tekening II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
3. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of Geometry Mexico: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometry A Transformation Approach. VS: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Inductie en formalisering in het onderwijzen van de rigide transformaties in de CABRI-omgeving.
6. , P.J. (1996). De groep vlakke isometrieën. Madrid: synthese.
7. Suárez, A.C. (2010). Transformaties in het vliegtuig. Gurabo, Puerto Rico: AMCT .