Getransformeerde Laplace-definitie, geschiedenis, waarvoor het is, eigenschappen

de getransformeerd van Laplace is de afgelopen jaren van groot belang geweest in de studies van engineering, wiskunde, natuurkunde, onder andere wetenschappelijke gebieden, maar ook van grote interesse in de theoretische, biedt een eenvoudige manier om problemen die afkomstig zijn van de wetenschap en engineering op te lossen.

Oorspronkelijk werd de Laplace-transformatie gepresenteerd door Pierre-Simon Laplace in zijn studie over de waarschijnlijkheidstheorie en werd aanvankelijk behandeld als een wiskundig object van louter theoretische interesse.

Huidige toepassingen ontstaan ​​wanneer verschillende wiskundigen een formele rechtvaardiging trachtten te geven aan de 'operationele regels' die Heaviside gebruikte bij het bestuderen van vergelijkingen van elektromagnetische theorie.

index

• 1 Definitie
  • 1.1 Voorbeelden
  • 1.2 Stelling (Voldoende bestaansvoorwaarden)
  • 1.3 Laplace-transformatie van enkele basisfuncties
• 2 Geschiedenis
  • 2.1 1782, Laplace
  • 2.2 Oliver Heaviside
• 3 Eigenschappen
  • 3.1 Lineariteit
  • 3.2 Stelling voor de eerste vertaling
  • 3.3 Tweede vertaaltheorema
  • 3.4 Verandering van schaal
  • 3.5 Omrekening van Laplace van derivaten
  • 3.6 Laplace-transformatie van integralen
  • 3.7 Vermenigvuldigen met tn
  • 3.8 Verdeling door t
  • 3.9 Periodieke functies
  • 3.10 Gedrag van F (s) wanneer s neigt tot oneindig
• 4 Inverse transformaties
  • 4.1 Oefening
• 5 Toepassingen van de Laplace-transformatie
  • 5.1 Differentiaalvergelijkingen
  • 5.2 Systemen van differentiaalvergelijkingen
  • 5.3 Mechanica en elektrische circuits
• 6 Referenties

definitie

Laat f een functie zijn gedefinieerd voor t ≥ 0. De Laplace-transformatie wordt als volgt gedefinieerd:

Er wordt gezegd dat de Laplace-transformatie bestaat als de vorige integraal convergeert, anders wordt er gezegd dat de Laplace-transformatie niet bestaat.

In het algemeen, om de functie aan te duiden die men wil transformeren, worden kleine letters gebruikt en komt de hoofdletter overeen met de transformatie ervan. Op deze manier zullen we:

Voorbeelden

Beschouw de constante functie f (t) = 1. We hebben dat de transformatie ervan is:

Wanneer de integraal convergeert, is dat altijd zo dat s> 0. Anders, s < 0, la integral diverge.

Laat g (t) = t. Uw Laplace-transformatie wordt gegeven door

Door te integreren door delen en te weten dat jij^-st het neigt naar 0 wanneer t neigt naar oneindig en s> 0, samen met het vorige voorbeeld hebben we dat:

De transformatie kan al dan niet bestaan, bijvoorbeeld voor de functie f (t) = 1 / t de integraal die zijn Laplace-transformatie definieert niet convergeert en daarom bestaat de transformatie niet.

Voldoende voorwaarden om ervoor te zorgen dat de Laplace-transformatie van een functie f bestaat, is dat f continu is in delen voor t ≥ 0 en is van exponentiële orde.

Er wordt gezegd dat een functie continu in delen is voor t ≥ 0, terwijl voor elk interval [a, b] met een> 0, er een eindig aantal punten is t_k, waarbij f discontinuïteiten heeft en continu is in elk subinterval [t_k-1,t_k].

Aan de andere kant wordt er gezegd dat een functie van exponentiële orde is c als er echte constanten M> 0, c en T> 0 zijn, zodanig dat:

Als voorbeelden hebben we die f (t) = t² is van exponentiële orde, omdat | t²| < e^3t voor alle t> 0.

Op een formele manier hebben we de volgende stelling

Stelling (Voldoende voorwaarden om te bestaan)

Als f een continue functie is per onderdeel voor t> 0 en van exponentiële orde c, dan is er de Laplace-transformatie voor s> c.

Het is belangrijk om te benadrukken dat dit een voorwaarde is voor toereikendheid, dat wil zeggen, het kan zijn dat er een functie is die niet aan deze voorwaarden voldoet en zelfs dan bestaat de Laplace-transformatie ervan.

Een voorbeeld hiervan is de functie f (t) = t^-1/2 dat is niet continu in delen voor t ≥ 0 maar zijn Laplace-transformatie bestaat.

Laplace-transformatie van enkele basisfuncties

De volgende tabel toont de Laplace-transformaties van de meest voorkomende functies.

geschiedenis

De Laplace transformatie is vernoemd naar Pierre-Simon Laplace, Franse wiskundige en theoretische astronoom die werd geboren in 1749 en stierf in 1827. Zijn bekendheid jaar was zodanig dat hij stond bekend als de Newton van Frankrijk.

In 1744 wijdde Leonard Euler zijn studies aan integralen met de vorm

als oplossingen van gewone differentiaalvergelijkingen, maar liet dit onderzoek snel varen. Later onderzocht Joseph Louis Lagrange, die Euler enorm bewonderde, ook dit soort integralen en relateerde ze aan de waarschijnlijkheidstheorie.

1782, Laplace

In het jaar 1782 begon met het bestuderen Laplace integralen zoals oplossingen voor differentiaalvergelijkingen en volgens historici, in 1785 besloot hij het probleem, dat vervolgens vandaag gaf geboorte aan de Laplacetransformaties zoals begrepen herformuleren.

Na kennis te hebben gemaakt met het gebied van de waarschijnlijkheidstheorie, was het weinig interessant voor de wetenschappers van die tijd en werd het alleen gezien als een wiskundig object van theoretische interesse..

Oliver Heaviside

Het was halverwege de negentiende eeuw toen de Engelse ingenieur Oliver Heaviside ontdekte dat differentiële operatoren kunnen worden behandeld als algebraïsche variabelen, waarmee ze hun moderne toepassing op de Laplace-transformaties geven.

Oliver Heaviside was een natuurkundige, elektrotechnicus en wiskundige Engelsman geboren in 1850 en stierf in Londen in 1925. Terwijl het proberen om differentiaalvergelijkingen toegepast op de trillingen theorie en studies met behulp van Laplace te lossen, begon het vormgeven moderne toepassingen van de Laplace-transformaties.

De resultaten van Heaviside verspreidden zich snel over de hele wetenschappelijke gemeenschap van die tijd, maar omdat het werk niet rigoureus was, werd het snel bekritiseerd door de meer traditionele wiskundigen.

Het nut van het werk van Heaviside in het oplossen van natuurkundige vergelijkingen maakte zijn methoden echter populair bij natuurkundigen en ingenieurs.

Ondanks deze tegenslagen en na enkele decennia van mislukte pogingen, kon aan het begin van de 20e eeuw een rigoureuze rechtvaardiging van de operationele regels gegeven door Heaviside worden gegeven..

Deze pogingen hebben hun vruchten afgeworpen dankzij de inspanningen van diverse wiskundigen zoals Bromwich, Carson, van der Pol, onder anderen..

eigenschappen

Onder de eigenschappen van de Laplace-transformatie vallen de volgende op:

lineariteit

Laat c1 en c2 constanten en f (t) en g (t) functies zijn waarvan de Laplace-transformaties respectievelijk F (s) en G (s) zijn, dan moeten we:

Vanwege deze eigenschap wordt er gezegd dat de Laplace-transformatie een lineaire operator is.

voorbeeld

Eerste vertaaltheorema

Als het gebeurt dat:

En 'a' is een reëel getal, dan:

voorbeeld

Als de Laplace-transformatie van cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) dan:

Tweede vertaaltheorema

als

dan

voorbeeld

Als f (t) = t ^ 3, dan F (s) = 6 / s ^ 4. En daarom is de transformatie van

is G (s) = 6e^-2s/ s ^ 4

Verandering van schaal

als

En 'a' is een niet-nul echt, dat moeten we

voorbeeld

Aangezien de transformatie van f (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) is, moet deze

ransformatie van Laplace van derivaten

Als f, f ', f ", ..., f^(N) zijn continu voor t ≥ 0 en zijn van exponentiële orde en f^(N)(t) is dan continu in delen voor t ≥ 0, dan

Laplace-transformatie van integralen

als

dan

Vermenigvuldiging met tⁿ

Als het moet

dan

Indeling door t

Als het moet

dan

Periodieke functies

Laat f een periodieke functie zijn met periode T> 0, dat wil zeggen f (t + T) = f (t), dan

Gedrag van F (s) wanneer s neigt tot oneindig

Als f continu is in delen en van exponentiële orde en

dan

Inverse transformaties

Wanneer we de Laplace-transformatie toepassen op een functie f (t), verkrijgen we F (s), die die transformatie vertegenwoordigt. Op dezelfde manier kunnen we zeggen dat f (t) de inverse Laplace-transformatie van F (s) is en is geschreven als

We weten dat de Laplace-transformaties van f (t) = 1 en g (t) = t zijn F (s) = 1 / s en G (s) = 1 / s² respectievelijk, daarom moeten we

Enkele gebruikelijke inverse Laplace-transformaties zijn als volgt

Bovendien is de inverse Laplace-transformatie lineair, dat wil zeggen dat daaraan wordt voldaan

oefening

vinden

Om deze oefening op te lossen, moeten we de functie F (en) matchen met een van de vorige tabellen. In dit geval, als we n + 1 = 5 nemen en de lineariteitseigenschap van de inverse transformatie gebruiken, vermenigvuldigen we en delen we met 4! krijgen

Voor de tweede inverse transformatie gebruiken we gedeeltelijke breuken om de functie F (s) te herschrijven en vervolgens de eigenschap van de lineariteit, verkrijgen

Zoals we aan de hand van deze voorbeelden kunnen zien, is het normaal dat de functie F (s) die wordt geëvalueerd, niet exact overeenkomt met een van de functies in de tabel. Voor deze gevallen is het voldoende om de functie te herschrijven totdat deze de juiste vorm heeft bereikt.

Toepassingen van de Laplace-transformatie

Differentiaalvergelijkingen

De belangrijkste toepassing van de Laplace-transformaties is het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

Met behulp van de eigenschap van de transformatie van een derivaat is het duidelijk dat

En van de n-1 derivaten geëvalueerd op t = 0.

Deze eigenschap maakt de transformatie zeer nuttig voor het oplossen van initiële waardeproblemen waarbij differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten zijn betrokken.

De volgende voorbeelden laten zien hoe u de Laplace-transformatie gebruikt om differentiaalvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

Gezien het volgende probleem met de beginwaarde

Gebruik de Laplace-transformatie om de oplossing te vinden.

We passen de Laplace-transformatie toe op elk lid van de differentiaalvergelijking

Voor het eigendom van de transformatie van een derivaat dat we hebben

Door het ontwikkelen van alle expressie en opheldering En (s) blijven we over

Het gebruik van gedeeltelijke breuken om de rechterkant van de vergelijking die we verkrijgen te herschrijven

Ten slotte is ons doel om een ​​functie y (t) te vinden die voldoet aan de differentiaalvergelijking. Het gebruik van de inverse Laplace-transformatie geeft ons het resultaat

Voorbeeld 2

oplossen

Net als in het vorige geval passen we de transformatie aan beide kanten van de vergelijking toe en scheiden we de term per term.

Op deze manier hebben we als resultaat

Vervangen met de opgegeven beginwaarden en Y (s) wissen

Met behulp van eenvoudige breuken kunnen we de vergelijking als volgt herschrijven

En het toepassen van de inverse transformatie van Laplace geeft ons als resultaat

In deze voorbeelden kan men tot de verkeerde conclusie komen dat deze methode niet veel beter is dan de traditionele methoden om differentiaalvergelijkingen op te lossen.

De voordelen van de Laplace-transformatie zijn dat het niet nodig is om parametervariatie te gebruiken of zich zorgen te maken over de verschillende gevallen van de onbepaalde coëfficiëntmethode..

Naast het oplossen van problemen met de beginwaarde met deze methode, gebruiken we vanaf het begin de beginvoorwaarden, dus het is niet nodig om andere berekeningen uit te voeren om de specifieke oplossing te vinden.

Differentiaalvergelijkingen systemen

De Laplace-transformatie kan ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor gelijktijdige gewone differentiaalvergelijkingen, zoals in het volgende voorbeeld wordt weergegeven.

voorbeeld

oplossen

Met de beginvoorwaarden x (0) = 8 e en (0) = 3.

Als het moet

dan

Resultaten in ons oplossen

En bij het toepassen van de Laplace-inverse transformatie die we hebben

Mechanica en elektrische circuits

De Laplace-transformatie is van groot belang in de natuurkunde, voornamelijk toepassingen voor mechanische en elektrische circuits.

Een eenvoudig elektrisch circuit bestaat uit de volgende elementen

Een schakelaar, een batterij of bron, een inductor, een weerstand en een condensator. Wanneer de schakelaar gesloten is, wordt een elektrische stroom geproduceerd die wordt aangegeven door i (t). De condensatorlading wordt aangeduid met q (t).

Volgens de tweede wet van Kirchhoff moet de door de bron E naar het gesloten circuit geproduceerde spanning gelijk zijn aan de som van elk van de spanningsdalingen.

De elektrische stroom i (t) is gerelateerd aan de lading q (t) in de condensator met i = dq / dt. Aan de andere kant wordt de spanningsdaling als volgt in elk van de elementen gedefinieerd:

De spanningsval in een weerstand is iR = R (dq / dt)

De spanningsval in een inductor is L (di / dt) = L (d²q / dt²)

De spanningsval in een condensator is q / C

Met deze gegevens en door toepassing van de tweede Kirchhoff-wet op het gesloten eenvoudige circuit, wordt een tweede orde differentiaalvergelijking verkregen die het systeem beschrijft en ons in staat stelt om de waarde van q (t) te bepalen.

voorbeeld

Een inductor, een condensator en een weerstand zijn verbonden met een batterij E, zoals getoond in de figuur. De inductor is van 2 henries, de condensator van 0,02 farads en de weerstand van 16 onhm. Op tijdstip t = 0 is het circuit gesloten. Vind de belasting en stroom op elk moment t> 0 als E = 300 volt.

We hebben dat de differentiaalvergelijking die deze schakeling beschrijft, de volgende is

Waarbij de beginvoorwaarden q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Als we de Laplace-transformatie toepassen, krijgen we dat

En Q (t) opruimen

Vervolgens past u de omgekeerde Laplace-transformatie toe

referenties

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace-transformatie voor elektronica-ingenieurs. Limusa.
2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M.P. (2006). Differentiaalvergelijkingen en Laplace-transformatie met toepassingen. Redactioneel UPV.
3. Simmons, G.F. (1993). Differentiaalvergelijkingen met toepassingen en historische notities. McGraw-Hill.
4. Spiegel, M.R. (1991). Laplace-transformaties. McGraw-Hill.
5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Differentiaalvergelijkingen met waardenproblemen aan de grens. Cengage Learning Editores, S.A..