Trinomiaal van de vorm x ^ 2 + bx + c (met voorbeelden)

Alvorens te leren om de trinomiaal van de vorm x ^ 2 + bx + c, en zelfs voordat we het concept van trinomiaal kennen, is het belangrijk om twee essentiële begrippen te kennen; namelijk de concepten van monomiaal en polynomiaal. Een monomiaal is een uitdrukking van het type a * xⁿ, waar a een rationeel getal is, is n een natuurlijk getal en is x een variabele.

Een polynoom is een lineaire combinatie van monomialen van de vorm a_n* xⁿ+naar_n-1* x^n-1+... + a₂* x²+naar₁* x + a₀, waar elke a_ik, met i = 0, ..., n, is een rationeel getal, n is een natuurlijk getal en a_n is niet-nul. In dit geval wordt gezegd dat de graad van de polynoom n is.

Een polynoom gevormd door de som van slechts twee termen (twee monomialen) van verschillende graden, staat bekend als binomiaal.

index

• 1 Trinomials
  • 1.1 Perfect vierkant trinominaal
• 2 Kenmerken van trinomialen van graad 2
  • 2.1 Perfect vierkant
  • 2.2 Oplosmiddelformule
  • 2.3 Geometrische interpretatie
  • 2.4 Factoring van trinomialen
• 3 voorbeelden
  • 3.1 Voorbeeld 1
  • 3.2 Voorbeeld 2
• 4 Referenties

trinomials

Een polynoom gevormd door de som van slechts drie termen (drie monomialen) van verschillende graden staat bekend als trinominaal. Hieronder volgen voorbeelden van trinomials:

• X³+X²+5x
• 2x⁴-X³+5
• X²+6x + 3

Er zijn verschillende soorten trinomialen. Van deze hoogtepunten de perfecte vierkante trinominale.

Perfect vierkant trinominaal

Een perfecte driedubbele trinominale is het resultaat van het verhogen van een binomiaal kwadraat. Bijvoorbeeld:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+y)²= 4x⁶+4x³y + y²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²en⁴+4y⁸
• 1 / 16x²en⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Kenmerken van trinomialen van graad 2

Perfect vierkant

In het algemeen een trinominale van de vormbijl²+bx + c is een perfect vierkant als het discriminant gelijk is aan nul; dat wil zeggen, als b²-4ac = 0, omdat in dit geval het slechts één wortel heeft en kan worden uitgedrukt in de vorm a (x-d)²= (√a (x-d))², waar d de reeds genoemde wortel is.

Een wortel van een polynoom is een getal waarin het polynoom nul wordt; met andere woorden, een getal dat, door het te vervangen in x in de uitdrukking van het polynoom, resulteert in nul.

Oplosmiddelformule

Een algemene formule voor het berekenen van de wortels van een polynoom van de tweede graad van de vormbijl²+bx + c is de formule van de resolver, waarin staat dat deze wortels worden gegeven door (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, waarbij b²-4ac staat bekend als de discriminant en wordt meestal aangeduid met Δ. Uit deze formule volgt die bijl²+bx + c heeft:

- Twee verschillende echte wortels als Δ> 0.

- Een enkele echte wortel als Δ = 0.

- Het heeft geen echte wortel als Δ<0.

In het volgende zullen we alleen de trinomialen van de vorm x beschouwen²+bx + c, waarbij c duidelijk een niet-nul getal moet zijn (anders zou het een binomiaal zijn). Dit type trinomialen heeft bepaalde voordelen bij het factureren en ermee werken.

Geometrische interpretatie

Geometrisch, de trinominale x²+bx + c is een parabool die naar boven opengaat en de top heeft op het punt (-b / 2, -b²/ 4 + c) van het Cartesiaanse vlak omdat x²+bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Deze parabool snijdt de Y-as op het punt (0, c) en de X-as op de punten (d₁,0) en (d)₂,0); dan, d₁ en d₂ ze zijn de wortels van de trinominale. Het kan voorkomen dat de trinomiale een enkele wortel d heeft, in welk geval de enige snede met de X-as zou zijn (d, 0).

Het kan ook voorkomen dat de trinominiaal geen echte wortels heeft, in welk geval deze de X-as op geen enkel moment zou snijden.

Bijvoorbeeld x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² is de parabool met hoekpunt in (-3,0), die de Y-as insnijdt in (0,9) en de X-as in (-3,0).

Trinominale ontbinding

Een erg handig hulpmiddel bij het werken met polynomen is factoring, wat betekent dat een polynoom wordt uitgedrukt als een product van factoren. In het algemeen gezien een trinominaal van de vorm x²+bx + c, als dit twee verschillende wortels heeft d₁ en d₂, het kan worden verwerkt als (x-d)₁) (x-d)₂).

Als je slechts één root d hebt, kun je dit factoreren als (x-d) (x-d) = (x-d)², en als het geen echte wortels heeft, blijft het hetzelfde; in dit geval ondersteunt het geen ontbinding als een product van andere factoren dan zichzelf.

Dit betekent dat de factorisatie, wetende de wortels van een trinominaal van de reeds gevestigde vorm, gemakkelijk kan worden uitgedrukt, en zoals reeds vermeld, kunnen deze wortels altijd worden bepaald met behulp van het resolvent.

Er is echter een aanzienlijk deel van dit soort trinomieën dat kan worden verwerkt zonder vooraf hun wortels te kennen, wat het werk vereenvoudigt.

De wortels kunnen direct uit de ontbinding worden bepaald zonder de formule van de resolver te hoeven gebruiken; dit zijn de polynomen van de vorm x² +(a + b) x + ab. In dit geval heeft u:

X²+(a + b) x + ab = x²+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Vanaf hier is gemakkelijk waar te nemen dat de wortels -a en -b zijn.

Met andere woorden, gegeven een trinominale x²+bx + c, als er twee getallen u en v zijn, zodanig dat c = uv en b = u + v, dan x²+bx + c = (x + u) (x + v).

Dat wil zeggen, gegeven een trinominale x²+bx + c, verifieer eerst of er twee getallen zijn, zodanig dat vermenigvuldigd den de onafhankelijke term (c) en toegevoegd (of afgetrokken, afhankelijk van het geval), geef de term op die hoort bij de x (b).

Niet met alle trinomialen op deze manier kan deze methode worden toegepast; waar je niet kunt, ga je naar het resolvent en pas het bovengenoemde toe.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Om de volgende trinominale x te factoreren²+3x + 2 gaan we als volgt verder:

U moet twee getallen vinden, zodat wanneer u ze toevoegt, het resultaat 3 is, en wanneer u ze vermenigvuldigt, is het resultaat 2.

Na het uitvoeren van een inspectie kan worden geconcludeerd dat de gezochte getallen zijn: 2 en 1. Daarom, x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Voorbeeld 2

Om de trinominale x te factoreren²-5x + 6 we zoeken naar twee getallen waarvan de som -5 is en het product is 6. De getallen die aan deze twee voorwaarden voldoen zijn -3 en -2. Daarom is de ontbindingsfactor van de gegeven trinomiaal x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

referenties

1. Bronnen, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot berekening. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen: hoe een kwadratische vergelijking op te lossen. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Wiskunde voor administratie en economie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. drempel.
5. Preciado, C. T. (2005). Wiskunde Cursus 3o. Redactie Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra I Is Easy! Zo eenvoudig. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie. Pearson Education.