Gelijkbenige driehoekige kenmerken, formule en oppervlakte, berekening



een gelijkbenige driehoek Het is een driezijdige veelhoek, waarbij twee van hen dezelfde meting hebben en de derde zijde een andere meting. Deze laatste zijde wordt basis genoemd. Vanwege deze eigenschap kreeg het deze naam, wat in het Grieks "gelijke benen" betekent

Driehoeken zijn veelhoeken die als de eenvoudigste geometrie worden beschouwd, omdat ze worden gevormd door drie zijden, drie hoeken en drie hoekpunten. Dit zijn degenen met het minste aantal zijden en hoeken ten opzichte van de andere polygonen, maar het gebruik ervan is zeer uitgebreid.

index

  • 1 Kenmerken van gelijkbenige driehoeken
    • 1.1 Componenten
  • 2 Eigenschappen
    • 2.1 Interne hoeken
    • 2.2 Som van de zijkanten
    • 2.3 Congruente kanten
    • 2.4 Congruente hoeken
    • 2.5 Hoogte, mediaan, bissectrice en bissectrice vallen samen
    • 2.6 Relatieve hoogten
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter en circumcenter vallen samen
  • 3 Hoe de omtrek te berekenen?
  • 4 Hoe de hoogte te berekenen?
  • 5 Bereken het gebied?
  • 6 Bereken de basis van de driehoek?
  • 7 oefeningen
    • 7.1 Eerste oefening
    • 7.2 Tweede oefening
    • 7.3 Derde oefening
  • 8 Referenties

Kenmerken van gelijkbenige driehoeken

De gelijkbenige driehoek werd ingedeeld aan de hand als parameter van de beste van de zijden, omdat twee zijden zijn congruent (dezelfde lengte).

Volgens de amplitude van de interne hoeken, zijn de gelijkbenige driehoeken geclassificeerd als:

  • Rechthoekige gelijkbenige driehoek: twee van zijn zijden zijn gelijk. Een van de hoeken is recht (90of) en de anderen zijn hetzelfde (45of elk)
  • Gelijkbenige driehoekige driehoek: twee van zijn zijden zijn gelijk. Een van de hoeken is stompe (> 90of).
  • Gelijkbenige scherpe driehoek: twee van zijn zijden zijn gelijk. Alle hoeken zijn scherp (< 90of), waar twee dezelfde maat hebben.

componenten

  • De mediaan: is een lijn die van het middelpunt van één kant vertrekt en de tegenovergestelde hoek bereikt. De drie medianen komen overeen op een punt met de naam centroid of centroid.
  • De bissectrice: is een straal die de hoek van elke top verdeelt in twee hoeken van gelijke grootte. Dat is waarom het bekend staat als de as van symmetrie en dit type driehoeken heeft er maar één.
  • De middelares: is een segment dat loodrecht staat op de zijkant van de driehoek, die in het midden hiervan ontstaat. Er zijn drie bemiddelingen in een driehoek en ze komen overeen in een punt dat circuncentro wordt genoemd.
  • De hoogte: is de lijn die van de vertex naar de kant gaat die tegenovergesteld is en ook deze lijn staat loodrecht op die kant. Alle driehoeken hebben drie hoogten, die samenvallen in een punt dat orthocenter wordt genoemd.

eigenschappen

Gelijkbenige driehoeken worden bepaald of geïdentificeerd, omdat ze hebben verschillende eigenschappen die afkomstig zijn stellingen door grote wiskundige voorgesteld vertegenwoordigen:

Interne hoeken

De som van de interne hoeken is altijd gelijk aan 180of.

Som van de kanten

De som van de maten van twee zijden moet altijd groter zijn dan de maat van de derde zijde, a + b> c.

Congruente kanten

Gelijkbenige driehoeken hebben twee zijden met dezelfde maat of lengte; dat wil zeggen, ze zijn congruent en de derde kant is anders dan deze.

Congruente hoeken

Gelijkbenige driehoeken staan ​​ook bekend als driehoeken met iso-hoeken, omdat ze twee hoeken hebben met dezelfde maat (congruenten). Deze bevinden zich aan de basis van de driehoek, tegenover de zijden die dezelfde lengte hebben.

Vanwege dit, de stelling die vaststelt dat:

"Als een driehoek twee congruente zijden heeft, zijn de hoeken tegenover die zijden ook congruent." Daarom, als een driehoek gelijkbenig is, zijn de hoeken van de basissen congruent.

bijvoorbeeld:

De volgende afbeelding toont een driehoek ABC. Door de bissectrice te traceren van de top van hoek B naar de basis, is de driehoek verdeeld in twee driehoeken gelijk aan BDA en BDC:

Dus de hoek van de top B was ook verdeeld in twee gelijke hoeken. De bissectrice is nu de zijkant (BD) die gebruikelijk is tussen deze twee nieuwe driehoeken, terwijl de zijden AB en BC de congruente zijden zijn. Dus je hebt het geval van congruentie kant, hoek, zijkant (LAL).

Dit toont aan dat de hoeken van de hoekpunten A en C dezelfde maat hebben, net zoals ook kan worden aangetoond dat, aangezien de driehoeken BDA en BDC congruent zijn, de AD- en DC-zijden ook congruent zijn..

Lengte, mediaan, bissectrice en bissectrice vallen samen

De lijn die wordt getrokken van de top tegenover de basis tot het middelpunt van de basis van de gelijkbenige driehoek, is tegelijkertijd de hoogte, de mediaan en de bissectrice, evenals de bissectrice ten opzichte van de tegenovergestelde hoek van de basis.

Al deze segmenten vallen samen in één die hen vertegenwoordigt.

bijvoorbeeld:

De volgende afbeelding toont de driehoek ABC met een middelpunt M dat de basis verdeelt in twee segmenten BM en CM.

Wanneer u een segment tekent van punt M naar de tegenovergestelde hoek, krijgt u per definitie de mediaan AM, die relatief is ten opzichte van de hoekpunten A en BC..

Aangezien het AM-segment de driehoek ABC in twee gelijke driehoeken AMB en AMC verdeelt, betekent dit dat het geval van combinatie van zijde, hoek, zijde zal worden aangepakt en daarom zal AM ook de bissectrice van BÂC zijn.

Dat is de reden waarom de bissectrice altijd gelijk is aan de mediaan en vice versa.

Het AM-segment vormt hoeken met dezelfde maat voor de AMB- en AMC-driehoeken; dat wil zeggen, ze zijn aanvullend op een zodanige wijze dat de maat van elk zal zijn:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180of

2 * Med. (AMC) = 180of

Med. (AMC) = 180of ÷ 2

Med. (AMC) = 90of

Het kan bekend zijn dat de hoeken gevormd door het AM-segment ten opzichte van de basis van de driehoek recht zijn, wat aangeeft dat dit segment volledig loodrecht op de basis staat.

Daarom vertegenwoordigt het de hoogte en de bissectrice, wetende dat M het middelpunt is.

Daarom is de rechte lijn AM:

  • Vertegenwoordigt de hoogte van BC.
  • Het is gemiddeld.
  • Het staat in de mediatrix van BC.
  • Het is de bissectrice van de tophoek Â

Relatieve hoogte

De hoogten die relatief zijn ten opzichte van de gelijke kanten, hebben dezelfde maat ook.

Omdat de gelijkbenige driehoek twee gelijke zijden heeft, zijn hun twee respectieve hoogten ook gelijk.

Orthocenter, barycenter, incenter en circumcenter vallen samen

Aangezien de hoogte, mediaan, bissectrice en bissectrice ten opzichte van de basis tegelijkertijd worden vertegenwoordigd door hetzelfde segment, zullen het orthocenter, centrocentric incenter en circumcenter colineaire punten zijn, dat wil zeggen dat ze op dezelfde lijn staan:

Hoe de omtrek te berekenen?

De omtrek van een polygoon wordt berekend door de som van de zijden.

Aangezien in dit geval de gelijkbenige driehoek twee zijden heeft met dezelfde maat, wordt de omtrek ervan berekend met de volgende formule:

P = 2*(kant a) + (kant b).

Hoe de hoogte te berekenen?

De hoogte is de lijn loodrecht op de basis, verdeelt de driehoek in twee gelijke delen door zich naar de tegenovergestelde hoek uit te strekken.

De hoogte vertegenwoordigt het tegenoverliggende been (a), de helft van de basis (b / 2) naar het aangrenzende been en de "a" -kant vertegenwoordigt de hypotenusa.

Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de waarde van de hoogte bepalen:

naar2 + b2 = c2

waarbij:

naar2 = hoogte (h).

b2 = b / 2.

c2 = kant a.

Deze waarden vervangen door de stelling van Pythagoras en de hoogte vrijmaken die we hebben:

h2 + (b / 2)2 = naar2

h2 + b2 / 4 = naar2

h2 = naar2 - b2 / 4

h = √ (naar2 - b2 / 4).

Als de hoek gevormd door de congruente zijden bekend is, kan de hoogte worden berekend met de volgende formule:

Hoe het gebied te berekenen?

Het gebied van de driehoeken wordt altijd berekend met dezelfde formule, waarbij de basis wordt vermenigvuldigd met de hoogte en gedeeld door twee:

Er zijn gevallen bekend waarin alleen de afmetingen van twee zijden van de driehoek en de tussenliggende hoek bekend zijn. In dit geval is het voor het bepalen van het gebied noodzakelijk om de trigonometrische verhoudingen toe te passen:

Hoe de basis van de driehoek te berekenen?

Omdat de gelijkbenige driehoek heeft twee gelijke zijden, om de waarde van je basis te bepalen wat je nodig hebt om ten minste de hoogtemeting weten of één van de hoeken.

De hoogte kennende wordt de stelling van Pythagoras gebruikt:

naar2 + b2 = c2

waarbij:

naar2 = hoogte (h).

c2 = kant a.

b2 = b / 2, is onbekend.

We hebben gewist b2 van de formule en we moeten:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Aangezien dit overeenkomt met de helft van de basiswaarde worden vermenigvuldigd met twee tot de volle maat van de basis van de gelijkbenige driehoek te krijgen:

b = 2 * (√ a2 - c2)

In het geval dat alleen de waarde van de gelijke zijden en de hoek ertussen bekend zijn, wordt trigonometrie toegepast, waarbij een lijn wordt gevolgd van de top naar de basis die de gelijkbenige driehoek in twee rechthoekige driehoeken verdeelt.

Op deze manier wordt de helft van de basis berekend met:

Het is ook mogelijk dat alleen de waarde van de hoogte en hoek van de vertex die tegenovergesteld is aan de basis bekend is. In dat geval kon met behulp van trigonometrie de basis worden bepaald:

opleiding

Eerste oefening

Zoek het gebied van de gelijkbenige driehoek ABC, wetende dat twee zijkanten 10 cm meten en de derde zijde 12 cm.

oplossing

Om het gebied van de driehoek te vinden is het noodzakelijk om de hoogte te berekenen met behulp van de formule van het gebied dat gerelateerd is aan de stelling van Pythagoras, omdat de waarde van de hoek gevormd tussen de gelijke zijden niet bekend is.

We hebben de volgende gegevens van de gelijkbenige driehoek:

  • Gelijke zijden (a) = 10 cm.
  • Basis (b) = 12 cm.

De waarden in de formule zijn vervangen:

Tweede oefening

De lengte van de twee gelijke zijden van een gelijkbenige driehoek is 42 cm, waarbij de verbinding van deze zijden een hoek van 130 vormtof. Bepaal de waarde van de derde zijde, het gebied van die driehoek en de omtrek.

oplossing

In dit geval zijn de afmetingen van de zijden en de hoek daartussen bekend.

Om de waarde van de ontbrekende zijde, dat wil zeggen de basis van die driehoek, te kennen, wordt er een lijn loodrecht op getekend, waarbij de hoek wordt verdeeld in twee gelijke delen, één voor elke rechthoekige driehoek die wordt gevormd.

  • Gelijke zijden (a) = 42 cm.
  • Hoek (Ɵ) = 130of

Nu wordt met trigonometrie de waarde van de helft van de basis berekend, wat overeenkomt met de helft van de hypotenusa:

Om het gebied te berekenen, is het noodzakelijk om de hoogte van die driehoek te kennen die kan worden berekend met trigonometrie of met de stelling van Pythagoras, nu de waarde van de basis al is bepaald.

Met trigonometrie zal het zijn:

De omtrek is berekend:

P = 2*(kant a) + (kant b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Derde oefening

Bereken de interne hoeken van de gelijkbenige driehoek, wetende dat de hoek van de basis  = 55 isof

oplossing

Om de twee ontbrekende hoeken (Ê en Ô) te vinden, moeten twee eigenschappen van de driehoeken onthouden worden:

  • De som van de interne hoeken van elke driehoek is altijd = 180of:

 + Ê + Ô = 180 of

  • In een gelijkbenige driehoek zijn de hoeken van de basis altijd congruent, dat wil zeggen dat ze dezelfde maat hebben, daarom:

 = Ô

Ê = 55of

Om de waarde van de hoek Ê te bepalen, vervangt u de waarden van de andere hoeken in de eerste regel en wist u Ê:

55of + 55of + Ô = 180 of

110 of + Ô = 180 of

Ô = 180 of - 110 of

Ô = 70 of.

referenties

  1. Álvarez, E. (2003). Elementen van de geometrie: met tal van oefeningen en geometrie van het kompas. Universiteit van Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technische tekening: activiteiten notitieboek.
  3. Angel, A. R. (2007). Elementaire algebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultuur.
  6. José Jiménez, L.J. (2006). Wiskunde 2.
  7. Tuma, J. (1998). Technisch wiskundehandboek. Wolfram MathWorld.