Schaal driehoekskenmerken, formule en gebieden, berekening



een scalenedriehoek Het is een driezijdige veelhoek, waar iedereen verschillende metingen of lengtes heeft; om die reden krijgt het de naam scalene, wat in het Latijn betekent klimmen.

Driehoeken zijn veelhoeken die als de eenvoudigste geometrie worden beschouwd, omdat ze drie zijden, drie hoeken en drie hoekpunten vormen. In het geval van de scalenedriehoek, omdat deze alle verschillende zijden heeft, betekent dit dat de drie hoeken ook anders zullen zijn..

index

  • 1 Kenmerken van ongekende driehoeken
    • 1.1 Componenten
  • 2 Eigenschappen
    • 2.1 Interne hoeken
    • 2.2 Som van de zijkanten
    • 2.3 Inconsistente kanten
    • 2.4 Incongruente hoeken
    • 2.5 Hoogte, mediaan, bissectrice en bissectrice zijn niet samenvallend
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter en circumcenter zijn niet samenvallend
    • 2.7 Relatieve hoogtes
  • 3 Hoe de omtrek te berekenen?
  • 4 Hoe het gebied te berekenen?
  • 5 Hoe de hoogte te berekenen?
  • 6 Hoe de zijkanten te berekenen?
  • 7 oefeningen
    • 7.1 Eerste oefening
    • 7.2 Tweede oefening
    • 7.3 Derde oefening
  • 8 Referenties

Kenmerken van ongekende driehoeken

Schaalhoeken zijn eenvoudige polygonen omdat geen van hun zijden of hoeken dezelfde maat hebben, in tegenstelling tot gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken.

Omdat alle zijden en hoeken verschillende metingen hebben, worden deze driehoeken beschouwd als onregelmatige convexe polygonen.

Volgens de amplitude van de interne hoeken worden de scaleneldriehoeken geclassificeerd als:

  • Rechthoekige driehoek schalen: al zijn kanten zijn anders. Een van de hoeken is recht (90of) en de anderen zijn scherp en met verschillende maatregelen.
  • Schaal stompe hoek driehoek: alle zijden zijn verschillend en een van de hoeken ervan is stom (> 90of).
  • Schaal acut hoek driehoek: al zijn kanten zijn anders. Alle hoeken zijn scherp (< 90of), met verschillende maatregelen.

Een ander kenmerk van scaleneldriehoeken is dat ze vanwege de incongruentie van hun zijden en hoeken geen symmetrieas hebben..

componenten

De mediaan: is een lijn die van het middelpunt van één kant vertrekt en de tegenovergestelde hoek bereikt. De drie medianen komen overeen op een punt met de naam centroid of centroid.

De bissectrice: is een straal die elke hoek in twee gelijke hoeken verdeelt. De bisectors van een driehoek komen overeen in punt genaamd incentro.

De middelares: is een segment dat loodrecht staat op de zijkant van de driehoek, die in het midden hiervan ontstaat. Er zijn drie mediatrices in een driehoek en komen overeen in een punt dat circumcenter wordt genoemd.

De hoogte: is de lijn die van de vertex naar de kant gaat die tegenovergesteld is en ook deze lijn staat loodrecht op die kant. Alle driehoeken hebben drie hoogten die samenvallen op een punt dat orthocenter wordt genoemd.

eigenschappen

Schaaldriehoeken worden gedefinieerd of geïdentificeerd omdat ze verschillende eigenschappen hebben die hen vertegenwoordigen, afkomstig van de stellingen voorgesteld door grote wiskundigen. Ze zijn:

Interne hoeken

De som van de interne hoeken is altijd gelijk aan 180of.

Som van de kanten

De som van de maten van twee zijden moet altijd groter zijn dan de maat van de derde zijde, a + b> c.

Inconsistente kanten

Alle zijden van scalene driehoeken hebben verschillende maten of lengtes; dat wil zeggen, ze zijn onlogisch.

Inconsistente hoeken

Omdat alle zijden van de scalenedriehoek verschillend zijn, zullen hun hoeken ook anders zijn. De som van de interne hoeken zal echter altijd gelijk zijn aan 180º, en in sommige gevallen kan een van zijn hoeken stomp of recht zijn, terwijl in andere al zijn hoeken acuut zijn.

Lengte, mediaan, bissectrice en bissectrice zijn niet samenvallend

Zoals elke driehoek, heeft de scalene verschillende segmenten van rechte lijnen die het samenstellen, zoals: hoogte, mediaan, bissectrice en bissectrice.

Vanwege de bijzonderheid van de zijkanten, zal in dit type driehoek geen van deze lijnen samenvallen in een enkele.

Orthocenter, barycenter, incenter en circumcenter zijn niet samenvallend

Aangezien de hoogte, mediaan, bissectrice en bissectrice worden vertegenwoordigd door verschillende segmenten van rechte lijnen, worden in een scalenedriehoek de ontmoetingspunten - het orthocenter, centrocenter, incenter en circumcenter - in verschillende punten gevonden (ze vallen niet samen).

Afhankelijk van het feit of de driehoek acuut, rechthoekig of scalisch is, heeft het orthocenter verschillende locaties:

a. Als de driehoek acuut is, bevindt het orthocenter zich in de driehoek.

b. Als de driehoek een rechthoek is, zal het orthocenter samenvallen met de top van de rechte zijde.

c. Als de driehoek stompt, bevindt het orthocenter zich aan de buitenkant van de driehoek.

Relatieve hoogte

De hoogtes zijn relatief ten opzichte van de zijkanten.

In het geval van de scalenedriehoek hebben deze hoogten verschillende metingen. Elke driehoek heeft drie relatieve hoogten en om ze te berekenen wordt de formule van Heron gebruikt.

Hoe de omtrek te berekenen?

De omtrek van een polygoon wordt berekend door de som van de zijden.

Omdat in dit geval de scalenedriehoek alle kanten heeft met verschillende afmetingen, zal de omtrek daarvan zijn:

P = zijde a + zijde b + zijde c.

Hoe het gebied te berekenen?

Het gebied van de driehoeken wordt altijd berekend met dezelfde formule, waarbij de basis wordt vermenigvuldigd met de hoogte en gedeeld door twee:

Oppervlakte = (basis * h) ÷ 2

In sommige gevallen is de hoogte van de scalenedriehoek niet bekend, maar er is een formule die door de wiskundige Heron is voorgesteld om het gebied te berekenen dat de meting van de drie zijden van een driehoek kent.

waarbij:

  • a, b en c, vertegenwoordigen de zijkanten van de driehoek.
  • sp, komt overeen met de semiperimeter van de driehoek, dat wil zeggen, de helft van de omtrek:

sp = (a + b + c) ÷ 2

In het geval dat u alleen de meting van twee van de zijden van de driehoek en de hoek die daartussen is gevormd, kunt berekenen, kan het gebied worden berekend door de trigonometrische verhoudingen toe te passen. Dus je moet:

Gebied = (zijkant * h) ÷ 2

Waarbij de hoogte (h) het product is van één zijde door de sinus van de tegenovergestelde hoek. Bijvoorbeeld, voor elke zijde, zal het gebied zijn:

  • Gebied = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Gebied = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Gebied = (a * b * sen C) ÷ 2

Hoe de hoogte te berekenen?

Omdat alle zijden van de scalenedriehoek verschillend zijn, is het niet mogelijk om de hoogte te berekenen met de stelling van Pythagoras.

Uit de formule van Heron, die is gebaseerd op de metingen van de drie zijden van een driehoek, kan het gebied worden berekend.

De hoogte kan worden verwijderd uit de algemene formule van het gebied:

De zijkant wordt vervangen door de maat a, b of c.

Een andere manier om de hoogte te berekenen wanneer de waarde van een van de hoeken bekend is, is om de trigonometrische verhoudingen toe te passen, waarbij de hoogte een poot van de driehoek vertegenwoordigt.

Als bijvoorbeeld de tegenovergestelde hoek met de hoogte bekend is, wordt deze bepaald door de sinus:

Hoe de zijkanten te berekenen?

Als je de maat van twee kanten hebt en de tegenovergestelde hoek, is het mogelijk om de derde zijde te bepalen door de stelling van cosinussen toe te passen.

In een driehoek AB is bijvoorbeeld de hoogte ten opzichte van segment AC uitgezet. Op die manier is de driehoek verdeeld in twee rechthoekige driehoeken.

Om de c-kant (segment AB) te berekenen, wordt de stelling van Pythagoras voor elke driehoek toegepast:

  • Voor de blauwe driehoek moet je:

c2 = h2 + m2

Als m = b - n wordt deze vervangen:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Voor de roze driehoek moet je:

h2 = a2 - n2

Het is vervangen in de vorige vergelijking:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2BN.

Wetende dat n = a * cos C, is vervangen in de vorige vergelijking en de waarde van kant c is verkregen:

c2 = a2 + b2 - 2b* naar * cos C.

Volgens de wet van Cosinus kunnen de zijden worden berekend als:

  • naar2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - de 2e* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* naar * cos C.

Er zijn gevallen waarbij de afmetingen van de zijden van de driehoek niet bekend zijn, maar hun hoogte en de hoeken die in de hoekpunten worden gevormd. Om het gebied in deze gevallen te bepalen, moeten de trigonometrische verhoudingen worden toegepast.

Als de hoek van een van zijn hoekpunten bekend is, worden de benen geïdentificeerd en wordt de bijbehorende trigonometrische verhouding gebruikt:

Bijvoorbeeld, de cathetus AB zal tegenovergesteld zijn voor de hoek C, maar grenzend aan de hoek A. Afhankelijk van de zijde of cathetus corresponderend met de hoogte, wordt de andere zijde vrijgemaakt om de waarde van deze te verkrijgen.

opleiding

Eerste oefening

Bereken het gebied en een hoogte van de scalenedriehoek ABC, wetende dat de zijkanten zijn:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

oplossing

Als gegevens worden gegeven de metingen van de drie zijden van de scalene driehoek.

Omdat u de hoogtewaarde niet hebt, kunt u het gebied bepalen door de formule Heron toe te passen.

Eerst wordt de semiperimeter berekend:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nu worden de waarden in de formule van Heron vervangen:

Als u het gebied kent, kan de relatieve hoogte aan zijde b worden berekend. Van de algemene formule, het opruimen heb je:

Gebied = (zijkant * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46.47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Tweede oefening

Gezien de scalenedriehoek ABC, waarvan de maatregelen zijn:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Bij de top B wordt een hoek van 50 ° gevormd. Bereken de relatieve hoogte tot zijde c, de omtrek en het gebied van die driehoek.

oplossing

In dit geval heb je de maten van twee kanten. Om de hoogte te bepalen, moet de meting van de derde zijde worden berekend.

Aangezien de hoek tegenover de gegeven zijden is opgegeven, is het mogelijk om de cosinuswet toe te passen om de meting van de wisselstroomzijde (b) te bepalen:

b2 = a2 + c2 - de 2e*c * cos B

waarbij:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50of.

De gegevens worden vervangen:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482.025)

b2 = 367.985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Aangezien u de waarde van de drie zijden al hebt, kunt u de omtrek van die driehoek berekenen:

P = zijde a + zijde b + zijde c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nu is het mogelijk om het gebied te bepalen door de Heron-formule toe te passen, maar eerst moet de semiperimeter worden berekend:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

De afmetingen van de zijkanten en de semiperimeter worden vervangen in de formule van Heron:

Eindelijk, wetende het gebied, kan de relatieve hoogte op zijde c worden berekend. Van de algemene formule, het opruimen moet je:

Gebied = (zijkant * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Derde oefening

In de scalenedriehoek ABC meet de zijde b 40 cm, de zijkant c meet 22 cm, en in de vertex A is een hoek van 90 gevormdof. Bereken het gebied van die driehoek.

oplossing

In dit geval worden de metingen van twee kanten van de scalenedriehoek ABC gegeven, evenals de hoek die wordt gevormd in de top A.

Om het gebied te bepalen, is het niet nodig om de maat van de zijde a te berekenen, omdat door de trigonometrische verhoudingen de hoek wordt gebruikt om deze te vinden.

Omdat de tegenovergestelde hoek met de hoogte bekend is, zal dit worden bepaald door het product aan de ene kant en de sinus van de hoek.

Vervangen in de formule van het gebied dat u moet:

  • Gebied = (zijkant * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Gebied = (b * c * sen A) ÷ 2

Oppervlakte = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Oppervlakte = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Oppervlakte = 880 cm2 ÷ 2

Oppervlakte = 440 cm2.

referenties

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technische tekening: activiteiten notitieboek.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrieën. CR-technologie, .
  3. Angel, A. R. (2007). Elementaire algebra Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultuur.
  5. Barbosa, J.L. (2006). Vlakke Euclidische geometrie. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of Geometry Mexico: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Elementaire geometrie voor studenten. Cengage Learning.
  8. Harpe, P. d. (2000). Onderwerpen in de Geometric Group Theory. University of Chicago Press.