Gelijkzijdige driehoekskenmerken, eigenschappen, formules en oppervlakte



een gelijkzijdige driehoek het is een polygoon met drie zijden, waar ze allemaal gelijk zijn; dat wil zeggen, ze hebben dezelfde maat. Voor die eigenschap kreeg het de naam van gelijkzijdige (gelijke zijden).

Driehoeken zijn veelhoeken die als de eenvoudigste geometrie worden beschouwd, omdat ze drie zijden, drie hoeken en drie hoekpunten vormen. In het geval van de gelijkzijdige driehoek betekent het, door gelijke zijden te hebben, dat zijn drie hoeken ook zullen zijn.

index

  • 1 Kenmerken van gelijkzijdige driehoeken
    • 1.1 Gelijke kanten
    • 1.2 Componenten
  • 2 Eigenschappen
    • 2.1 Interne hoeken
    • 2.2 Externe hoeken
    • 2.3 Som van de kanten
    • 2.4 Congruente zijden
    • 2.5 Congruente hoeken
    • 2.6 De bissectrice, de mediaan en de middelares zijn samenvallend
    • 2.7 De bissectrice en de hoogte vallen samen
    • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter en circumcenter vallen samen
  • 3 Hoe de omtrek te berekenen?
  • 4 Hoe de hoogte te berekenen?
  • 5 Hoe de zijkanten te berekenen?
  • 6 Bereken het gebied?
  • 7 oefeningen
    • 7.1 Eerste oefening
    • 7.2 Tweede oefening
    • 7.3 Derde oefening
  • 8 Referenties

Kenmerken van gelijkzijdige driehoeken

Gelijke kanten

De gelijkzijdige driehoeken zijn vlakke en gesloten figuren, samengesteld uit drie segmenten van rechte lijnen. Driehoeken worden ingedeeld naar hun kenmerken, in relatie tot hun zijden en hoeken; de gelijkzijdige werd geclassificeerd met behulp van de maat van zijn zijden als een parameter, omdat deze exact hetzelfde zijn, dat wil zeggen dat ze congruent zijn.

De gelijkzijdige driehoek is een specifiek geval van de gelijkbenige driehoek omdat twee van zijn zijden congruent zijn. Daarom zijn alle gelijkzijdige driehoeken ook gelijkbenig, maar niet alle gelijkbenige driehoeken zijn gelijkzijdig.

Op deze manier hebben de gelijkzijdige driehoeken dezelfde eigenschappen als een gelijkbenige driehoek.

Gelijkzijdige driehoeken kunnen ook worden geclassificeerd door de amplitude van hun interne hoeken als gelijkzijdige driehoek met drie zijden en drie interne hoeken met dezelfde maat. De hoeken zullen scherp zijn, dat wil zeggen dat ze minder dan 90 zijnof.

componenten

Driehoeken hebben over het algemeen meerdere lijnen en punten die het samenstellen. Ze worden gebruikt om het gebied, de zijkanten, hoeken, mediaan, bissectrice, loodlijn en hoogte te berekenen.

  • De mediaan: is een lijn die van het middelpunt van één kant vertrekt en de tegenovergestelde hoek bereikt. De drie medianen komen overeen op een punt met de naam centroid of centroid.
  • De bissectrice: is een straal die de hoek van de hoekpunten verdeelt in twee hoeken van gelijke grootte, dat is waarom het bekend staat als de as van symmetrie. De gelijkzijdige driehoek heeft drie assen van symmetrie.

In de gelijkzijdige driehoek wordt de bissectrice van het hoekpunt van een hoek naar de andere kant getrokken, waarbij deze in het middelpunt wordt gesneden. Deze komen overeen in punt genaamd incentro.

  • De middelares: is een segment dat loodrecht staat op de zijde van de driehoek die in het midden hiervan ontstaat. Er zijn drie bemiddelingen in een driehoek en ze komen overeen in een punt dat circuncentro wordt genoemd.
  • De hoogte: is de lijn die van de vertex naar de kant gaat die tegenovergesteld is en ook deze lijn staat loodrecht op die kant. Alle driehoeken hebben drie hoogten die samenvallen op een punt dat orthocenter wordt genoemd.

eigenschappen

De hoofdeigenschap van gelijkzijdige driehoeken, maar er kunnen gelijkbenige driehoeken, omdat de gelijkbenige gevormd door twee congruente gelijkbenige zijden en drie.

Op die manier erfden de gelijkzijdige driehoeken alle eigenschappen van de gelijkbenige driehoek:

Interne hoeken

De som van de interne hoeken is altijd gelijk aan 180of, en aangezien al zijn hoeken congruent zijn, zal elk van deze hoeken 60 metenof.

Externe hoeken

De som van de externe hoeken zal altijd gelijk zijn aan 360of, daarom zal elke externe hoek 120 metenof. Dit komt omdat de interne en externe hoeken aanvullend zijn, dat wil zeggen dat het toevoegen ervan altijd gelijk is aan 180of.

Som van de kanten

De som van de maten van twee zijden moet altijd groter zijn dan de maat van de derde zijde, dat wil zeggen a + b> c, waarbij a, b en c de afmetingen van elke zijde zijn.

Congruente kanten

Gelijkzijdige driehoeken hebben hun drie zijden met dezelfde maat of lengte; dat wil zeggen, ze zijn congruent. Daarom hebben we in het vorige item a = b = c.

Congruente hoeken

Gelijkzijdige driehoeken staan ​​ook bekend als gelijkhoekige driehoeken, omdat hun drie interne hoeken congruent zijn met elkaar. Dit komt omdat alle zijden dezelfde maat hebben.

De bissectrice, de mediaan en de middelares zijn samenvallend

De bissectrice verdeelt de zijkant van een driehoek in twee delen. In de gelijkzijdige driehoeken wordt die zijde verdeeld in twee exact gelijke delen, dat wil zeggen dat de driehoek wordt verdeeld in twee congruente rechthoekige driehoeken.

Dus, de bissectrice getrokken vanuit elke hoek van een gelijkzijdige driehoek valt samen met de mediaan en de bissectrice van de tegenoverliggende zijde van die hoek.

bijvoorbeeld:

De volgende afbeelding toont de driehoek ABC met een middelpunt D dat een van zijn zijden in twee segmenten AD en BD verdeelt.

Wanneer u een lijn tekent van punt D naar de tegenovergestelde hoek, krijgt u per definitie de mediaan-CD, die relatief is ten opzichte van de vertex C en de AB-kant.

Omdat het CD-segment de driehoek ABC verdeelt in twee driehoeken gelijk aan CDB en CDA, betekent dit dat we het geval van congruentie hebben: kant, hoek, zijkant en daarom zal CD ook de bissectrice van BCD zijn.

Teken bij het tekenen van het CD-segment de tophoek in twee gelijke hoeken van 30of, de hoek van vertex A blijft 60 metenof en de rechte CD vormt een hoek van 90of met betrekking tot het middelpunt D.

De segment-CD vormt hoeken met dezelfde afmetingen voor de driehoeken ADC en BDC, dat wil zeggen, ze zijn aanvullend op een zodanige manier dat de meting van elk ervan zal zijn:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180of

2 * Med. (ADC) = 180of

Med. (ADC) = 180of ÷ 2

Med. (ADC) = 90of.

En dus, je hebt dat het CD-segment ook de bissectrice van de AB-kant is.

De bissectrice en de hoogte vallen samen

Wanneer u de bissectrice van de top van een hoek naar het middelpunt van de andere kant tekent, verdeelt deze de gelijkzijdige driehoek in twee congruente driehoeken.

Op zo'n manier dat een hoek van 90 wordt gevormdof (Hetero). Dit geeft aan dat dit lijnsegment volledig loodrecht staat op die zijde, en per definitie zou die lijn de hoogte zijn.

Op deze manier valt de bissectrice van elke hoek van een gelijkzijdige driehoek samen met de relatieve hoogte aan de andere kant van die hoek.

Orthocenter, barycenter, incenter en circumcenter vallen samen

Aangezien de hoogte, mediaan, bissectrice en bissectrice tegelijkertijd worden vertegenwoordigd door hetzelfde segment, zullen in een gelijkzijdige driehoek de ontmoetingspunten van deze segmenten - het orthocenter, barycenter, incenter en circumcenter - zich op hetzelfde punt bevinden:

Hoe de omtrek te berekenen?

De omtrek van een polygoon wordt berekend door de som van de zijden. Omdat in dit geval de gelijkzijdige driehoek alle zijden heeft met dezelfde maat, wordt de omtrek ervan berekend met de volgende formule:

P = 3 * kant.

Hoe de hoogte te berekenen?

Aangezien de hoogte loodrecht staat op de basis, verdeelt deze de lijn in twee gelijke delen door zich naar de tegenovergestelde hoek te begeven. Er worden dus twee gelijke rechthoekige driehoeken gevormd.

De hoogte (h) vertegenwoordigt de tegenovergestelde zijde (a), de helft van de zijde AC aan de aangrenzende zijde (b) en zijde BC representeert de hypotenusa (c).

Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de waarde van de hoogte bepalen:

naar2 + b2= c2

waarbij:

naar2 = hoogte (h).

b2 = zijde b / 2.

c2 = kant a.

Deze waarden vervangen door de stelling van Pythagoras en de hoogte vrijmaken die we hebben:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Als de hoek gevormd door de congruente zijden bekend is, kan de hoogte (weergegeven door een poot) worden berekend door de trigonometrische verhoudingen toe te passen.

De benen worden tegengesteld of aangrenzend genoemd, afhankelijk van de hoek die als referentie wordt genomen.

Bijvoorbeeld, in de vorige afbeelding zal de cathetus h tegenovergesteld zijn voor de hoek C, maar grenzend aan de hoek B:

De hoogte kan dus worden berekend met:

Hoe de zijkanten te berekenen?

Er zijn gevallen waarbij de afmetingen van de zijden van de driehoek niet bekend zijn, maar hun hoogte en de hoeken die in de hoekpunten worden gevormd.

Om het gebied in deze gevallen te bepalen, moeten de trigonometrische verhoudingen worden toegepast.

Als de hoek van een van zijn hoekpunten bekend is, worden de benen geïdentificeerd en wordt de bijbehorende trigonometrische verhouding gebruikt:

Het been AB zal dus tegenovergesteld zijn voor de hoek C, maar grenzend aan de hoek A. Afhankelijk van de zijde of poot corresponderend met de hoogte, wordt de andere zijde vrijgemaakt om de waarde hiervan te verkrijgen, wetende dat in een gelijkzijdige driehoek de drie zijden steeds dezelfde maat.

Hoe het gebied te berekenen?

Het gebied van de driehoeken wordt altijd berekend met dezelfde formule, waarbij de basis wordt vermenigvuldigd met de hoogte en gedeeld door twee:

Gebied = (b * h) ÷ 2

Wetende dat de hoogte wordt gegeven door de formule:

opleiding

Eerste oefening

De zijkanten van een gelijkzijdige driehoek ABC meten elk 20 cm. Bereken de hoogte en oppervlakte van die veelhoek.

oplossing

Om het gebied van die gelijkzijdige driehoek te bepalen, is het noodzakelijk om de hoogte te berekenen, wetende dat wanneer hij het tekent, het de driehoek in twee gelijke rechthoekige driehoeken verdeelt.

Op die manier kan de stelling van Pythagoras worden gebruikt om het te vinden:

naar2 + b2= c2

waarbij:

a = 20/2 = 10 cm.

b = hoogte.

c = 20 cm.

De gegevens in de stelling worden vervangen:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Dat wil zeggen, de hoogte van de driehoek is gelijk aan 17,32 cm. Nu is het mogelijk om het gebied van de gegeven driehoek te berekenen door in de formule te substitueren:

Gebied = (b * h) ÷ 2

Oppervlakte = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2

Oppervlakte = 346,40 cm2 ÷ 2

Oppervlakte = 173,20 cm2.

Een andere eenvoudigere manier om de oefening op te lossen, is om de gegevens in de directe formule van het gebied te vervangen, waarbij de waarde van de hoogte ook impliciet is:

Tweede oefening

In een land met een gelijkbenige driehoekige vorm zullen bloemen worden geplant. Als de omtrek van dat land gelijk is aan 450 m, bereken dan het aantal vierkante meters dat de bloemen in beslag nemen.

oplossing

Wetend dat de omtrek van een driehoek overeenkomt met de som van zijn drie zijden en het terrein de vorm heeft van een gelijkzijdige driehoek, hebben de drie zijden van deze driehoek dezelfde maat of lengte:

P = kant + zijkant + zijkant = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Nu is het alleen nodig om de hoogte van die driehoek te berekenen.

De hoogte verdeelt de driehoek in twee congruente rechthoekige driehoeken, waarbij een van de benen de hoogte en de andere helft van de basis vertegenwoordigt. Door de stelling van Pythagoras kan de hoogte worden bepaald:

naar2 + b2= c2

waarbij:

naar = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = hoogte

De gegevens in de stelling worden vervangen:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5.625 m + b2 = 22.500 m

b2 = 22.500 m - 5.625 m

b2 = 16,875 m

b = √16.875 m

b = 129,90 m.

Dus het gebied dat de bloemen zal bezetten, is:

Oppervlakte = b * h ÷ 2

Oppervlakte = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Oppervlakte = (19.485 m2) ÷ 2

Oppervlakte = 9.742,5 m2

Derde oefening

De gelijkzijdige driehoek ABC wordt gedeeld door een lijnsegment dat van zijn top C naar het middelpunt D gaat, gelegen aan de andere kant (AB). Dit segment meet 62 meter. Bereken het gebied en de omtrek van die gelijkzijdige driehoek.

oplossing

Wetende dat de gelijkzijdige driehoek wordt gedeeld door een lijnsegment dat overeenkomt met de hoogte, en aldus twee congruente rechthoekige driehoeken vormt, verdeelt dit op zijn beurt ook de hoek van de top C in twee hoeken met dezelfde maat, 30of een ieder.

De hoogte vormt een hoek van 90of ten opzichte van het segment AB, en de hoek van de top A zal dan 60 zijnof.

Gebruik dan als referentie de hoek van 30of, de hoogte-CD wordt ingesteld als een poot naast de hoek en BC als hypotenusa.

Uit deze gegevens kan de waarde van één van de zijden van de driehoek worden bepaald met behulp van de trigonometrische verhoudingen:

Omdat in de gelijkzijdige driehoek alle zijden exact dezelfde maat of lengte hebben, betekent dit dat elke zijde van de gelijkzijdige driehoek ABC gelijk is aan 71,6 meter. Als je dat weet, is het mogelijk om je gebied te bepalen:

Oppervlakte = b * h ÷ 2

Oppervlakte = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Oppervlakte = 4.438,6 m2 ÷ 2

Oppervlakte = 2.219.3 m2

De omtrek wordt gegeven door de som van de drie zijden:

P = kant + zijkant + zijkant = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

referenties

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technische tekening: activiteiten notitieboek.
  2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultuur.
  4. BARBOSA, J.L. (2006). Vlakke Euclidische geometrie. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometry A Transformation Approach. VS: Laidlaw Brothers.
  6. Euclid, R.P. (1886). Euclid's Elements of Geometry.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometrie en trigonometrie.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Geïntegreerde geometrie Metropolitan Technological Institute.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie Pearson Education.