Axiomatische methode functies, stappen, voorbeelden

de axiomatische methode of ook wel Axiomatische een formele procedure die de wetenschap waarbij geformuleerd statements of stellingen genoemd axioma's, verbonden door een verhouding van afleidbaarheid en de basis van de veronderstellingen of omstandigheden van een bepaald systeem.

Deze algemene definitie moet worden ingekaderd in de evolutie die deze methode in de loop van de geschiedenis heeft gehad. Ten eerste is er een oude methode of inhoud, geboren in het oude Griekenland van Euclid en later ontwikkeld door Aristoteles.

Ten tweede, al in de negentiende eeuw, het verschijnen van een geometrie met axioma's die anders is dan die van Euclides. En tot slot, de formele of moderne axiomatische methode, waarvan David Hilbert de maximale exponent was.

Afgezien van de ontwikkeling in de loop van de tijd, is deze procedure de basis geweest van de deductieve methode die werd gebruikt in de geometrie en logica waar deze vandaan kwam. Het is ook gebruikt in de natuurkunde, scheikunde en biologie.

En het is zelfs toegepast op juridische wetenschappen, sociologie en politieke economie. Momenteel echter is zijn belangrijkste toepassingsgebied wiskunde en symbolische logica en enkele takken van de fysica zoals thermodynamica, mechanica, onder andere disciplines.

index

• 1 Kenmerken 
  • 1.1 Oude axiomatische methode of inhoud 
  • 1.2 Niet-euclidische axiomatische methode
  • 1.3 Moderne of formele axiomatische methode
• 2 stappen 
• 3 voorbeelden
• 4 Referenties

features

Hoewel het fundamentele kenmerk van deze methode de formulering van axioma's is, zijn deze niet altijd op dezelfde manier beschouwd.

Er zijn er enkele die op een willekeurige manier kunnen worden gedefinieerd en geconstrueerd. En anderen, volgens een model waarin de intuïtief gewaarborgde waarheid wordt beschouwd.

Om specifiek te begrijpen waaruit dit verschil bestaat en de gevolgen ervan, is het noodzakelijk om de evolutie van deze methode te herzien.

Oude axiomatische methode of inhoud 

Het is het exemplaar dat rond de 5e eeuw voor Christus in het oude Griekenland werd gevestigd. Zijn toepassingsgebied is geometrie. Het fundamentele werk van deze fase zijn de Elementen van Euclides, hoewel ervan wordt uitgegaan dat vóór hem, Pythagoras, al de axiomatische methode was geboren.

Dus de Grieken nemen bepaalde feiten als axioma's, zonder dat ze een logisch bewijs vereisen, dat wil zeggen, zonder de noodzaak van demonstratie, omdat ze voor hen een vanzelfsprekende waarheid zijn.

Van zijn kant presenteert Euclides vijf axioma's voor geometrie:

1 - Gegeven twee punten is er een regel die ze bevat of linkt.

2-Elk segment kan aan beide zijden continu aan een onbeperkte lijn worden voortgezet.

3-Je kunt een cirkel tekenen met een middelpunt op elk punt en in elke straal.

4-Rechte hoeken zijn allemaal hetzelfde.

5 - Het nemen van een rechte lijn en elk punt dat er niet in zit, er is een rechte lijn evenwijdig aan dat en dat bevat dat punt. Dit axioma is later bekend als het axioma van de parallellen en is ook als volgt geformuleerd: door een punt buiten een lijn kan een enkele parallelle lijn getrokken worden.

Zowel Euclid als latere wiskundigen zijn het er echter over eens dat het vijfde axioma niet zo intuïtief is als het andere 4. Zelfs tijdens de Renaissance probeert het vijfde van de andere 4 te deduceren, maar het is niet mogelijk.

Dit maakte dat degenen die de vijf hielden reeds in de negentiende eeuw aanhangers waren van de Euclidische meetkunde en zij die de vijfde ontkende, degenen waren die de niet-euclidische geometrieën creëerden..

Niet-euclidische axiomatische methode

Juist Nikolai Ivanovich Lobatsjevski, Bolyai János en Johann Karl Friedrich Gauss, die de mogelijkheid van het gebouw te zien, zonder tegenspraak, een geometrie die afkomstig is van andere dan de axioma's van Euclid-systemen. Dit vernietigt het geloof in de absolute of a priori waarheid van de axioma's en de theorieën die daaruit voortkomen.

Daarom beginnen de axioma's te worden opgevat als uitgangspunten voor een gegeven theorie. Ook zowel hun keuze als het probleem van hun geldigheid op de een of andere manier, beginnen zich te verhouden tot feiten buiten de axiomatische theorie.

Op deze manier verschijnen geometrische, algebraïsche en rekenkundige theorieën geconstrueerd door middel van de axiomatische methode.

Deze fase culmineert in de creatie van axiomatische systemen voor rekenkunde zoals die van Giuseppe Peano in 1891; de geometrie van David Hubert in 1899; de verklaringen en predicaatberekeningen van Alfred North Whitehead en Bertrand Russell, in 1910 in Engeland; de axiomatische theorie van de sets van Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo in 1908.

Moderne of formele axiomatische methode

Het is David Hubert die de conceptie van een formele axiomatische methode initieert en die leidt tot zijn hoogtepunt, David Hilbert.

Het is precies Hilbert die wetenschappelijke taal formaliseert, rekening houdend met zijn uitspraken als formules of reeksen van tekens die op zich geen betekenis hebben. Ze krijgen alleen betekenis in een bepaalde interpretatie.

In "De basis van geometrie"Verklaart het eerste voorbeeld van deze methode. Vanaf hier wordt de geometrie een wetenschap van pure logische consequenties, die worden geëxtraheerd uit een systeem van hypothesen of axioma's, beter gearticuleerd dan het euclidische systeem.

Dit komt omdat in het oude systeem de axiomatische theorie is gebaseerd op het bewijs van de axioma's. Terwijl de basis van de formele theorie wordt gegeven door de demonstratie van de non-contradictie van haar axioma's.

stappen

De procedure die een axiomatische structurering binnen de wetenschappelijke theorieën uitvoert, erkent:

a - de keuze van een bepaald aantal axioma's, dat wil zeggen een aantal proposities van een bepaalde theorie die worden aanvaard zonder dat aangetoond hoeft te worden.

b - de concepten die deel uitmaken van deze proposities worden niet bepaald binnen het kader van de gegeven theorie.

c - de regels voor definitie en deductie van de gegeven theorie liggen vast en laten toe nieuwe concepten binnen de theorie te introduceren en logisch sommige proposities van andere te deduceren.

d - de andere stellingen van de theorie, dat wil zeggen de stelling, zijn afgeleid van a op basis van c.

Voorbeelden

Deze methode kan worden geverifieerd door de demonstratie van de twee meest bekende Euclid-stellingen: de beenstelling en de hoogte-stelling..

Beide komen voort uit de waarneming van deze Griekse meetkundige meetwaarde dat, wanneer de hoogte wordt uitgezet ten opzichte van de hypotenusa binnen een rechthoekige driehoek, er twee driehoeken meer lijken dan het origineel. Deze driehoeken zijn vergelijkbaar met elkaar en lijken op de oorsprongsstreep. Dit veronderstelt dat hun respectieve homologe zijden evenredig zijn.

Er kan worden gezien dat de congruente hoeken in de driehoeken op deze manier de overeenkomst bevestigen die bestaat tussen de drie betrokken driehoeken volgens het AAA-similariteitscriterium. Dit criterium houdt in dat wanneer twee driehoeken allemaal dezelfde hoeken hebben, ze vergelijkbaar zijn.

Zodra de driehoeken vergelijkbaar zijn, kunnen de verhoudingen die zijn opgegeven in de eerste stelling worden vastgesteld. Het stelt dat in een rechterdriehoek, de meting van elke cathetus een geometrisch proportioneel gemiddelde is tussen de hypotenusa en de projectie van de cathetus erin..

De tweede stelling is die van de hoogte. Het specificeert dat elke rechthoekige driehoek, de hoogte die wordt getekend volgens de hypotenusa, een geometrisch proportioneel gemiddelde is tussen de segmenten die worden bepaald door het geometrische gemiddelde op de hypotenusa..

Natuurlijk hebben beide stellingen overal ter wereld talloze toepassingen, niet alleen op het gebied van onderwijs, maar ook in techniek, natuurkunde, scheikunde en astronomie..

referenties

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrie, formalisme en intuïtie: David Hilbert en de formele axiomatische methode (1895-1905). Philosophy Magazine, Volume 39 Num 2, blz. 121-146. Genomen van revistas.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Axiomatische gedachte. In W.Ewald, redacteur, van Kant tot Hilbert: een bronnenboek in de ontwikkeling van de wiskunde. Volume II, blz. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Wat is de axiomatische methode? Synthese, november 2011, deel 189, pp.69-85. Genomen van link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Introductie tot de filosofie van het hedendaagse recht. (Pp.48-49). Genomen van books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) De Axiomatic-methode, door te lezen door Ricardo Nirenberg, herfst 1996, de universiteit van Albany, Project Renaissance. Genomen uit Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert tussen de formele en de informele kant van de wiskunde. Manuscript vol. 38 nee. 2, Campinas juli / augustus 2015. Genomen vanaf scielo.br.