Algebraïsche derivaten (met voorbeelden)

de algebraïsche derivaten ze bestaan ​​in de studie van de afgeleide in het specifieke geval van algebraïsche functies. De oorsprong van het begrip afgeleide gaat terug naar het oude Griekenland. De ontwikkeling van dit idee was ingegeven door de noodzaak om twee belangrijke problemen op te lossen, de ene in de fysica en de andere in de wiskunde.

In de natuurkunde lost het derivaat het probleem op van het bepalen van de momentane snelheid van een bewegend object. In de wiskunde kun je de raaklijn op een bepaald punt op een curve vinden.

Hoewel er echt veel meer problemen zijn die worden opgelost met behulp van het derivaat, evenals de generalisaties, zijn de resultaten die na de introductie van het concept kwamen.

De pioniers van differentiële calculus zijn Newton en Leibniz. Voordat we de formele definitie geven, zullen we het idee achterlaten, vanuit wiskundig en fysiek oogpunt.

index

• 1 Het derivaat als helling van de raaklijn naar een curve
• 2 Het derivaat als momentane snelheid van een bewegend object
  • 2.1 Algebraïsche functie
• 3 Afleidingsregels
  • 3.1 Afgeleid van een constante
  • 3.2 Afgeleiden van een kracht
  • 3.3 Afgeleid van optellen en aftrekken
  • 3.4 Afgeleide van een product
  • 3.5 Afgeleid van een quotiënt
  • 3.6 Regel van de ketting
• 4 Referenties

Het derivaat als helling van de raaklijn naar een curve

Stel dat de grafiek van een functie y = f (x) een continue grafiek is (zonder pieken of hoekpunten of scheidingen) en laat A = (a, f (a)) een vast punt is. We willen de vergelijking van de raaklijn met de grafiek van de functie f op punt A vinden.

Neem een ​​ander punt P = (x, f (x)) van de grafiek, dicht bij punt A, en teken de secanslijn die door A en P loopt. Een secanslijn is een lijn die de kromme van een curve in één snijdt of meer punten.

Om de raaklijn te krijgen die we willen, hoeven we alleen de helling te berekenen omdat we al een punt op de lijn hebben: punt A.

Als we punt P langs de grafiek verplaatsen en dichter bij punt A brengen, nadert de eerdergenoemde secanslijn de raaklijn die we willen vinden. Wanneer je de limiet neemt wanneer "P neigt naar A", zullen beide lijnen samenvallen, dus ook de hellingen.

De helling van de secanslijn wordt gegeven door

Zeggen dat P A benadert, staat gelijk aan zeggen dat "x" "a" benadert. De helling van de raaklijn naar de grafiek van f op punt A is dus gelijk aan:

De bovenstaande uitdrukking wordt aangeduid door f '(a) en wordt gedefinieerd als de afgeleide van een functie f op punt "a". We zien dan dat analytisch, de afgeleide van een functie in een punt een limiet is, maar geometrisch is het de helling van de lijn die de grafiek van de functie in het punt raakt.

Nu zullen we dit begrip vanuit het oogpunt van de natuurkunde zien. We komen tot dezelfde uitdrukking van de vorige limiet, hoewel op een andere manier, de unanimiteit van de definitie te verkrijgen.

Het derivaat als momentane snelheid van een bewegend object

Laten we een kort voorbeeld bekijken van wat instant speed betekent. Wanneer bijvoorbeeld wordt gezegd dat een auto een bestemming bereikte, deed hij dat met een snelheid van 100 km per uur, wat betekent dat hij in één uur 100 km aflegde.

Dit hoeft niet te betekenen dat gedurende het hele uur de auto altijd 100 km weg was, de snelheidsmeter van de auto kon op sommige momenten minder of meer markeren. Als hij de behoefte had om bij een stoplicht te stoppen, was de snelheid op dat moment 0 km. Na een uur was de route echter 100 km.

Dit is de zogenaamde gemiddelde snelheid en wordt gegeven door het quotiënt van de afgelegde afstand tussen de verstreken tijd, zoals we zojuist hebben gezien. De ogenblikkelijke snelheid, aan de andere kant, is degene die de naald van de snelheidsmeter van een auto markeert in een oogwenk (tijd) bepaald.

Laten we dit nu meer in het algemeen bekijken. Stel dat een voorwerp langs een lijn beweegt en dat deze verplaatsing wordt weergegeven door middel van de vergelijking s = f (t), waarbij de variabele t de tijd meet en de verplaatsing van de variabele, rekening houdend met het begin ervan in het moment t = 0, op welk moment het ook nul is, dat wil zeggen f (0) = 0.

Deze functie f (t) staat bekend als een positiefunctie.

Er wordt gezocht naar een uitdrukking voor de ogenblikkelijke snelheid van het object op een vast moment "a". Aan deze snelheid zullen we het aangeven met V (a).

Geen moment dichtbij het moment "a". In het tijdsinterval tussen "a" en "t" wordt de positiewijziging gegeven door f (t) -f (a).

De gemiddelde snelheid in dit tijdsinterval is:

Dit is een benadering van de momentane snelheid V (a). Deze benadering zal beter zijn als t dichter bij "a" komt. daarom,

Merk op dat deze uitdrukking gelijk is aan die verkregen in het vorige geval, maar vanuit een ander perspectief. Dit is wat bekend staat als de afgeleide van een functie f op een punt "a" en wordt aangeduid met f '(a), zoals hierboven vermeld.

Merk op dat het maken van de verandering h = x-a, we hebben dat wanneer "x" neigt naar "a", "h" neigt naar 0, en de vorige limiet wordt (equivalent) omgezet in:

Beide uitdrukkingen zijn gelijkwaardig, maar soms is het beter om de ene in plaats van de andere te gebruiken, afhankelijk van de situatie.

Het derivaat van een functie f wordt dan meer in het algemeen gedefinieerd op elk punt "x" behorend tot zijn domein als

De meest gebruikelijke notatie voor het weergeven van de afgeleide van een functie y = f (x) is degene die we zojuist hebben gezien (f 'o en'). Een andere veel gebruikte notatie is echter de Leibniz-notatie die wordt weergegeven als een van de volgende uitdrukkingen:

Gezien het feit dat het derivaat in wezen een limiet is, kan het al dan niet bestaan, omdat de limieten niet altijd bestaan. Als het bestaat, wordt er gezegd dat de functie in kwestie op het gegeven moment differentieerbaar is.

Algebraïsche functie

Een algebraïsche functie is een combinatie van polynomen door middel van sommen, aftrekkingen, producten, quotiënten, krachten en radicalen.

Een polynoom is een uitdrukking van de vorm

P_n= a_nXⁿ+ naar_n-1X^n-1+ naar_n-2X^n-2+... + a₂X²+ naar₁x + a₀

Waarbij n een natuurlijk getal is en alle a_ik, met i = 0,1, ..., n, zijn rationale getallen en a_n≠ 0 In dit geval wordt gezegd dat de graad van dit polynoom n is.

Hieronder volgen voorbeelden van algebraïsche functies:

Hier zijn exponentiële, logaritmische en trigonometrische functies niet inbegrepen. De regels voor afleiding die we hieronder zullen zien, zijn geldig voor functies in het algemeen, maar we zullen onszelf beperken en toepassen in het geval van algebraïsche functies.

Bypass regels

Afgeleid van een constante

Het bepaalt dat de afgeleide van een constante nul is. Dat wil zeggen, als f (x) = c, dan f '(x) = 0. De afgeleide van de constante functie 2 is bijvoorbeeld gelijk aan 0.

Afgeleid van een kracht

Als f (x) = xⁿ, dan f '(x) = nx^n-1. Bijvoorbeeld, de afgeleide van x³ Het is 3x². Als een gevolg hiervan verkrijgen we dat de afgeleide van de identiteitsfunctie f (x) = x is f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Een ander voorbeeld is het volgende: be f (x) = 1 / x², dan f (x) = x^-2 en f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Deze eigenschap is ook geldige wortels, omdat de wortels rationele krachten zijn en je kunt het bovenstaande ook in dat geval toepassen. De afgeleide van een vierkantswortel wordt bijvoorbeeld gegeven door

Afgeleid van een som en een aftrekking

Als f en g differentiabele functies in x zijn, dan is de som f + g ook anders en die (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analoog hebben we dat (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Met andere woorden, het derivaat van een som (aftrekking) is de som (of aftrekking) van de derivaten.

voorbeeld

Als h (x) = x²+x-1, toen

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Afgeleid van een product

Als f en g differentieerbare functies in x zijn, dan is het product fg ook differentieerbaar in x en aan die voorwaarde is voldaan

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Als een gevolg hebben we dat als c een constante is en f een differentieerbare functie is in x, dan is cf ook differentieerbaar in x en (cf) '(x) = cf' (X).

voorbeeld

Als f (x) = 3x (x²+1), dan

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Afgeleid van een quotiënt

Als f en g differentieerbaar zijn in x en g (x) ≠ 0, dan is f / g ook differentieerbaar in x, en het is waar dat

bijvoorbeeld: als h (x) = x³/ (x²-5x), dan

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Kettingregel

Met deze regel kan de samenstelling van functies worden afgeleid. Het bepaalt het volgende: als y = f (u) differentieerbaar is in u, yu = g (x) differentieerbaar in x, dan is de samengestelde functie f (g (x)) differentieerbaar in x, en is ervan overtuigd dat [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Dat wil zeggen, het derivaat van een samengestelde functie is het product van het derivaat van de externe functie (extern derivaat) door het derivaat van de interne functie (intern derivaat).

voorbeeld

Als f (x) = (x⁴-2x)³, dan

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Er zijn ook resultaten om het derivaat van de inverse van een functie te berekenen, evenals de generalisatie naar derivaten van hogere orde. De applicaties zijn uitgebreid. Onder hen benadrukken ze hun nut in optimalisatieproblemen en van maximum- en minimumfuncties.

referenties

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Differentiële berekening. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Berekening 4000. Redactie Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Wiskunde voorafgaand aan berekening. Universiteit van Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Inleiding tot de berekening. Drempelversies.
5. Bronnen, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot berekening. Lulu.com.
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E. (2007). berekening. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Differentiële berekening (Tweede ed.). Barquisimeto: Hypotenusa.
8. Thomas, G. B., & Weir, M.D. (2006). Berekening: verschillende variabelen. Pearson Education.