Opeenvolgende derivaten (met opgeloste oefeningen)

de opeenvolgende derivaten zijn de afgeleiden van een functie na de tweede afgeleide. Het proces om de opeenvolgende derivaten te berekenen is als volgt: we hebben een functie f, die we kunnen afleiden en zo de afgeleide functie f 'kunnen verkrijgen. Aan deze afgeleide van f kunnen we het opnieuw afleiden, verkrijgen (f ')'.

Deze nieuwe functie wordt tweede afgeleide genoemd; alle derivaten berekend vanaf de tweede zijn opeenvolgend; Deze, ook wel hogere orde genoemd, hebben geweldige toepassingen, zoals het geven van informatie over de grafiek van een functie, de tweede afgeleide test voor relatieve extremen en de bepaling van oneindige reeksen.

index

• 1 Definitie
  • 1.1 Voorbeeld 1
  • 1.2 Voorbeeld 2
• 2 Snelheid en versnelling
  • 2.1 Voorbeeld 1
  • 2.2 Voorbeeld 2
• 3 toepassingen
  • 3.1 Vermengde afleiding
  • 3.2 Voorbeeld
  • 3.3 Relatieve doelen
  • 3.4 Voorbeeld
  • 3.5 Taylor-serie
  • 3.6 Voorbeeld
• 4 Referenties

definitie

Met behulp van de Leibniz-notatie hebben we dat de afgeleide van een functie "en" met betrekking tot "x" dy / dx is. Om de tweede afgeleide van "en" uit te drukken met behulp van de Leibniz-notatie, schrijven we als volgt:

In het algemeen kunnen we de opeenvolgende derivaten als volgt uitdrukken met de Leibniz-notatie, waarbij n de volgorde van de afgeleide weergeeft.

Andere gebruikte notaties zijn de volgende:

Enkele voorbeelden waarin we de verschillende notaties kunnen zien zijn:

Voorbeeld 1

Verkrijg alle derivaten van de functie f gedefinieerd door:

Gebruik makend van de gebruikelijke afleidingstechnieken, hebben we dat de afgeleide van f is:

Door het proces te herhalen, kunnen we de tweede afgeleide krijgen, de derde afgeleide enzovoort.

Merk op dat de vierde afgeleide nul is en de afgeleide van nul nul is, dus we moeten:

Voorbeeld 2

Bereken de vierde afgeleide van de volgende functie:

Het ontlenen van de gegeven functie hebben we als resultaat:

Snelheid en versnelling

Een van de beweegredenen die hebben geleid tot de ontdekking van het derivaat, was de zoektocht naar de definitie van instantane snelheid. De formele definitie is de volgende:

Laat y = f (t) een functie zijn waarvan de grafiek het traject van een deeltje in een moment beschrijft t, dan wordt zijn snelheid in een ogenblik gegeven door:

Zodra de snelheid van een deeltje is verkregen, kunnen we de momentane versnelling berekenen, die als volgt wordt gedefinieerd:

De onmiddellijke versnelling van een deeltje waarvan het pad wordt gegeven door y = f (t) is:

Voorbeeld 1

Een deeltje beweegt op een lijn volgens de positiefunctie:

Waar "y" wordt gemeten in meters en "t" in seconden.

- Op welk moment je snelheid 0 is?

- Op welk moment uw versnelling 0 is?

Bij het afleiden van de positiefunctie "en" hebben we dat zijn snelheid en versnelling respectievelijk worden gegeven door:

Om de eerste vraag te beantwoorden, volstaat het om te bepalen wanneer de functie v nul wordt; dit is:

We gaan op de volgende manier analoog verder:

Voorbeeld 2

Een deeltje beweegt op een lijn volgens de volgende bewegingsvergelijking:

Bepaal "t, y" en "v" wanneer a = 0.

Wetende dat snelheid en versnelling worden gegeven door

We gaan af en verkrijgen:

Door a = 0 te doen, hebben we:

Hieruit kunnen we afleiden dat de waarde van t voor een gelijk aan nul t = 1 is.

Vervolgens, het evalueren van de positiefunctie en de snelheidsfunctie op t = 1, moeten we:

toepassingen

Vereenvoudigde afleiding

Opeenvolgende derivaten kunnen ook worden verkregen door impliciete afleiding.

voorbeeld

Gezien de volgende ellips, zoek "en":

Afgeleid impliciet met betrekking tot x, hebben we:

Vervolgens, door impliciet te herleiden met betrekking tot x, geeft dit ons:

Eindelijk hebben we:

Relatieve eindigt

Een ander gebruik dat we aan afgeleide producten van de tweede orde kunnen geven, is de berekening van de relatieve uiteinden van een functie.

Het criterium van de eerste afgeleide voor lokale uitersten vertelt ons dat, als we een functie f continu hebben in een bereik (a, b) en er een c is die bij dat interval hoort, zodat f'is nietig in c (dat wil zeggen, dat is een kritiek punt), kan een van deze drie gevallen zich voordoen:

- Als f '(x)> 0 voor elke x behorend bij (a, c) en f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Als f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 voor x behorend tot (c, b), dan is f (c) een lokaal minimum.

- Als f '(x) hetzelfde teken in (a, c) en in (c, b) heeft, betekent dit dat f (c) geen lokaal eindpunt is.

Met behulp van het criterium van de tweede afgeleide kunnen we weten of een kritisch aantal van een functie een maximum of een lokaal minimum is, zonder te hoeven zien wat het teken van de functie is in de bovengenoemde intervallen.

Het criterium van de tweede afleiding vertelt ons dat als f '(c) = 0 en die f "(x) continu is in (a, b), het gebeurt dat als f" (c)> 0 dan is f (c) een lokaal minimum en als f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Als f "(c) = 0, kunnen we niets concluderen.

voorbeeld

Gegeven de functie f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², zoek de relatieve maxima en minima van f door het criterium van de tweede afgeleide toe te passen.

Eerst berekenen we f '(x) en f' (x) en we hebben:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Nu, f '(x) = 0 indien, en alleen als 4x (x + 2) (x - 1) = 0, en dit gebeurt wanneer x = 0, x = 1 of x = - 2.

Om te bepalen of de verkregen kritieke getallen relatieve extremen zijn, volstaat het om in f "te evalueren en dus het teken te observeren.

f "(0) = - 8, dus f (0) is een lokaal maximum.

f "(1) = 12, dus f (1) is een lokaal minimum.

f "(- 2) = 24, dus f (- 2) is een lokaal minimum.

Taylor-serie

Laat f een functie zijn die als volgt is gedefinieerd:

Deze functie heeft een straal van convergentie R> 0 en heeft derivaten van alle orders in (-R, R). De opeenvolgende derivaten van f geven ons:

Met x = 0 kunnen we de waarden van c verkrijgen_n op basis van zijn derivaten als volgt:

Als we n = 0 nemen als functie f (dat is, f ^ 0 = f), dan kunnen we de functie als volgt herschrijven:

Beschouw de functie nu als een reeks machten in x = a:

Als we een analoge analyse uitvoeren naar de vorige, zouden we de functie f moeten schrijven als:

Deze series staan ​​bekend als Taylor-serie van f in a. Als a = 0 hebben we het specifieke geval dat de Maclaurin-serie wordt genoemd. Dit type serie is van groot wiskundig belang, vooral in de numerieke analyse, omdat we dankzij deze functies kunnen definiëren in computers zoals^X , sin (x) en cos (x).

voorbeeld

Download de Maclaurin-serie voor e^X.

Merk op dat als f (x) = e^X, dan f^(N)(x) = e^X en f^(N)(0) = 1, daarom is zijn Maclaurin-serie:

referenties

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5e berekening. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). DE BEREKENING met Analytical Geometry. HARLA, S.A.
3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). berekening. Mexico: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Differentiële berekening. hypotenuse.
5. Saenz, J. (s.f.). Uitgebreide calculus. hypotenuse.