Verdelingen van discrete waarschijnlijkheidskenmerken en -oefeningen

de Discrete kansverdelingen zijn een functie die aan elk element van X (S) = x1, x2, ..., xi, ... toekent, waarbij X een bepaalde discrete willekeurige variabele is en S de steekproefruimte, de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis zal plaatsvinden. Deze functie f van X (S) gedefinieerd als f (xi) = P (X = xi) wordt soms de kansmassafunctie genoemd.

Deze massa van kansen wordt meestal weergegeven als een tabel. Omdat X een discrete willekeurige variabele is, heeft X (S) een eindig aantal gebeurtenissen of een telbare oneindigheid. Onder de meest voorkomende discrete kansverdelingen hebben we de uniforme verdeling, de binomiale verdeling en de Poisson-verdeling.

index

• 1 Kenmerken
• 2 soorten
  • 2.1 Uniforme verdeling over n punten
  • 2.2 Binomiale verdeling
  • 2.3 Poisson-verdeling
  • 2.4 Hypergeometrische distributie
• 3 Oefeningen opgelost
  • 3.1 Eerste oefening
  • 3.2 Tweede oefening
  • 3.3 Derde oefening
  • 3.4 Derde oefening
• 4 Referenties

features

De kansverdelingsfunctie moet aan de volgende voorwaarden voldoen:

Ook als X slechts een eindig aantal waarden neemt (bijvoorbeeld x1, x2, ..., xn), dan is p (xi) = 0 als i> ny, daarom wordt de oneindige reeks van voorwaarde b een eindige serie.

Deze functie voldoet ook aan de volgende eigenschappen:

Laat B een gebeurtenis zijn die hoort bij de willekeurige variabele X. Dit betekent dat B is opgenomen in X (S). Stel in het bijzonder dat B = xi1, xi2, .... daarom:

Met andere woorden: de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis B is gelijk aan de som van de kansen van de individuele resultaten behorend bij B.

Hieruit kunnen we concluderen dat als een < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

type

Uniforme verdeling over n punten

Er wordt gezegd dat een willekeurige variabele X een verdeling volgt die wordt gekenmerkt door uniformiteit in n punten als aan elke waarde dezelfde waarschijnlijkheid wordt toegekend. De kansmassa-functie is:

Stel dat we een experiment hebben met twee mogelijke uitkomsten, dan kan het een tossing zijn van een munt waarvan de mogelijke resultaten face of stamp zijn, of de keuze van een geheel getal waarvan het resultaat een even of een oneven getal kan zijn; dit type experiment staat bekend als de tests van Bernoulli.

Over het algemeen worden de twee mogelijke uitkomsten succes en mislukking genoemd, waarbij p de kans op succes is en 1-p die van falen. We kunnen de kans op x-successen in n Bernoulli-tests bepalen die onafhankelijk zijn van elkaar met de volgende verdeling.

Binomiale verdeling

Het is die functie die de kans weergeeft om x successen te behalen in n onafhankelijke Bernoulli-testen, waarvan de kans op succes p is. De kansmassa-functie is:

De volgende grafiek geeft de functiemassa van de waarschijnlijkheid weer voor verschillende waarden van de parameters van de binomiale verdeling.

De volgende verspreiding dankt zijn naam aan de Franse wiskundige Simeon Poisson (1781-1840), die het als de limiet van de binomiale verdeling verkreeg..

Poisson distributie

Er wordt gezegd dat een willekeurige variabele X een Poisson-verdeling van parameter λ heeft wanneer deze de positieve gehele waarden van 0,1,2,3, ... kan aannemen met de volgende waarschijnlijkheid:

In deze uitdrukking is λ het gemiddelde aantal dat overeenkomt met de occurrences van de gebeurtenis voor elke tijdseenheid, en x is het aantal keren dat de gebeurtenis plaatsvindt.

De kansmassa-functie is:

Vervolgens een grafiek die de kansmassafunctie weergeeft voor verschillende waarden van de parameters van de Poisson-verdeling.

Merk op dat, zolang het aantal successen laag is en het aantal n tests uitgevoerd in een binomiale verdeling hoog is, we deze distributies altijd kunnen benaderen, omdat de Poisson-verdeling de limiet is van de binomiale verdeling..

Het belangrijkste verschil tussen deze twee distributies is dat, hoewel de binomiaal afhankelijk is van twee parameters - namelijk n en p -, de Poisson's alleen afhangen van λ, die soms de intensiteit van de distributie wordt genoemd.

Tot nu toe hebben we alleen gesproken over kansverdelingen voor gevallen waarin de verschillende experimenten onafhankelijk van elkaar zijn; dat wil zeggen, wanneer het resultaat van de een niet wordt beïnvloed door een ander resultaat.

Wanneer het geval is dat er experimenten zijn die niet onafhankelijk zijn, is de hypergeometrische verdeling erg handig.

Hypergeometrische distributie

Laat N het totale aantal objecten van een eindige verzameling zijn, waarvan we k op de een of andere manier kunnen identificeren, en een subset K vormen, waarvan het complement wordt gevormd door de overblijvende N-k elementen.

Als we willekeurig n objecten kiezen, heeft de willekeurige variabele X die het aantal objecten representeert dat bij K hoort in die verkiezing een hypergeometrische verdeling van de parameters N, n en k. De kansmassa-functie is:

De volgende grafiek geeft de functiemassa van de waarschijnlijkheid weer voor verschillende waarden van de parameters van de hypergeometrische verdeling.

Opgeloste oefeningen

Eerste oefening

Stel dat de kans dat een radiobuis (geplaatst in een bepaald type apparatuur) meer dan 500 uur werkt 0,2 is. Als 20 buizen worden getest, wat is de kans dat exact k hiervan meer dan 500 uur zal werken, k = 0, 1,2, ..., 20?

oplossing

Als X het aantal buizen is dat meer dan 500 uur werkt, nemen we aan dat X een binomiale verdeling heeft. dan

En zo:

Voor k≥11 zijn de kansen minder dan 0,001

Dus we kunnen zien hoe de waarschijnlijkheid dat deze k meer dan 500 uur werkt omhoog gaat, totdat deze zijn maximale waarde bereikt (met k = 4) en dan begint te verminderen.

Tweede oefening

Een munt wordt 6 keer gegooid. Wanneer het resultaat duur is, zullen we zeggen dat het een succes is. Wat is de kans dat twee gezichten exact uitkomen?

oplossing

Voor dit geval hebben we dat n = 6 en zowel de kans op succes als falen zijn p = q = 1/2

Daarom is de kans dat twee gezichten worden gegeven (dwz k = 2) van

Derde oefening

Wat is de kans om minstens vier gezichten te vinden?

oplossing

Voor dit geval hebben we dat k = 4, 5 of 6

Derde oefening

Stel dat 2% van de artikelen die in een fabriek worden geproduceerd, defect zijn. Zoek de kans P dat er drie defecte items zijn in een steekproef van 100 items.

oplossing

In dit geval kunnen we de binomiale verdeling toepassen voor n = 100 en p = 0,02, met als resultaat:

Omdat p klein is, gebruiken we de Poisson-benadering met λ = np = 2. dus,

referenties

1. Kai Lai Chung Elementaire geschiktheidstheorie met stochastische processen. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, discrete wiskunde en zijn toepassingen. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Waarschijnlijkheid en statistische toepassingen. Inc. MEXICAANSE ALHAMBRA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Discrete Mathematics Opgeloste problemen. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Theorie en probleemsituaties. McGraw-Hill.