Synthetische scheidingsmethode en opgeloste oefeningen

de synthetische divisie het is een eenvoudige manier om een ​​polynoom P (x) te delen door een van de vormen d (x) = x - c. Het is een zeer nuttig hulpmiddel omdat het ons niet alleen in staat stelt om polynomen te verdelen, maar ook om een ​​polynoom P (x) in elk getal c te evalueren, wat ons op zijn beurt precies vertelt of dit getal een nul is of niet van het polynoom.

Dankzij het indelingsalgoritme weten we dat als we twee polynomen hebben P (x) en d (x) niet constant, er zijn polynomen q (x) en r (x) uniek zodat het waar is dat P (x) = q (x) d (x) + r (x), waarbij r (x) nul is of kleiner is dan q (x). Deze polynomen staan ​​bekend als respectievelijk quotiënt en residu of rust.

In gevallen waarin het polynoom d (x) de vorm x-c heeft, geeft de synthetische verdeling ons een korte manier om te vinden wie q (x) en r (x) zijn.

index

• 1 Synthetische scheidingsmethode
• 2 Oefeningen opgelost
  • 2.1 Voorbeeld 1
  • 2.2 Voorbeeld 2
  • 2.3 Voorbeeld 3
  • 2.4 Voorbeeld 4
• 3 referenties

Synthetische scheidingsmethode

Laat P (x) = a_nXⁿ+naar_n-1X^n-1+... + a₁x + a₀ het polynoom dat we willen delen en d (x) = x-c de deler. Om te delen door de synthetische deling methode gaan we als volgt te werk:

1- We schrijven de coëfficiënten van P (x) in de eerste rij. Als X niet verschijnt, geven we nul als coëfficiënt.

2- Op de tweede rij, links van een_n plaats c en teken scheidingslijnen zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

3- We verlagen de leidende coëfficiënt naar de derde rij.

In deze uitdrukking b_n-1= a_n

4- We vermenigvuldigen c met de leidende coëfficiënt b_n-1 en het resultaat is geschreven in de tweede rij, maar een kolom aan de rechterkant.

5- We voegen de kolom toe waarin we het vorige resultaat hebben geschreven en het resultaat hebben we onder die som geplaatst; dat wil zeggen, in dezelfde kolom, derde rij.

Door toe te voegen, hebben we als resultaat_n-1+c * b_n-1, die we gemakshalve bellen b_n-2

6- We vermenigvuldigen c met het vorige resultaat en schrijven het resultaat rechts op de tweede rij.

7- We herhalen stap 5 en 6 totdat we de coëfficiënt a bereiken₀.

8- Schrijf het antwoord; dat wil zeggen, het quotiënt en het residu. Aangezien we de verdeling van een polynoom van graad n tussen een polynoom van graad 1 bewerkstelligen, hebben we dat het ernstige quotiënt van graad n-1.

De coëfficiënten van het quotiëntpolynoom zijn de getallen van de derde rij, behalve de laatste, wat het resterende polynoom of de rest van de deling is..

Opgeloste oefeningen

Voorbeeld 1

Voer de volgende verdeling uit volgens de methode van de synthetische verdeling:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

oplossing

Eerst schrijven we de dividendcoëfficiënten als volgt:

Vervolgens schrijven we c aan de linkerkant, op de tweede rij, samen met de scheidingslijnen. In dit voorbeeld is c = -1.

We verlagen de leidende coëfficiënt (in dit geval b_n-1 = 1) en vermenigvuldig dit met -1:

We schrijven uw resultaat aan de rechterkant in de tweede rij, zoals hieronder weergegeven:

We voegen de nummers toe in de tweede kolom:

We vermenigvuldigen 2 met -1 en schrijven het resultaat in de derde kolom, tweede rij:

We voegen in de derde kolom:

We gaan analoog verder tot we de laatste kolom bereiken:

We hebben dus dat het laatst verkregen getal de rest van de deling is, en de overige getallen zijn de coëfficiënten van het quotiënt-polynoom. Dit is als volgt geschreven:

Als we willen controleren of het resultaat correct is, volstaat het om te controleren of aan de volgende vergelijking is voldaan:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

We kunnen dus verifiëren dat het verkregen resultaat correct is.

Voorbeeld 2

Voer de volgende verdeling van polynomen uit volgens de methode van de synthetische verdeling

(7x³-x + 2): (x + 2)

oplossing

In dit geval hebben we de term x² het verschijnt niet, dus we zullen 0 als coëfficiënt schrijven. Dus, de polynoom zou op 7x lijken³+0x²-x + 2.

We schrijven hun coëfficiënten op een rij, dit is:

We schrijven de waarde van C = -2 aan de linkerkant in de tweede rij en tekenen de scheidingslijnen.

We verlagen de leidende coëfficiënt b_n-1 = 7 en we vermenigvuldigen het met -2, het schrijven van zijn resultaat in de tweede rij aan de rechterkant.

We voegen toe en gaan door zoals eerder uitgelegd, totdat we de laatste term hebben bereikt:

In dit geval is de rest r (x) = - 52 en het verkregen quotiënt is q (x) = 7x²-14x + 27.

Voorbeeld 3

Een andere manier om synthetische deling te gebruiken is de volgende: stel dat we een polynoom P (x) van graad n hebben en we willen weten wat waardevol is bij het evalueren ervan in x = c.

Door het algoritme van de divisie hebben we dat we de polynoom P (x) op de volgende manier kunnen schrijven:

In deze uitdrukking zijn q (x) en r (x) respectievelijk het quotiënt en de rest. Nu, als d (x) = x-c, bij het evalueren in c in het polynoom vinden we het volgende:

Hiervoor hoeven we alleen r (x) te vinden, en dit kunnen we dankzij de synthetische divisie doen.

We hebben bijvoorbeeld de polynoom P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37x-37 en we willen weten wat de waarde ervan is wanneer we het evalueren in x = 5. Hiervoor voeren we de verdeling uit tussen P (x) en d (x) = x -5 volgens de synthetische deling methode:

Zodra de bewerkingen zijn voltooid, weten we dat we P (x) op de volgende manier kunnen schrijven:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -X⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Daarom moeten we bij de evaluatie ervan:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Zoals we kunnen zien, is het mogelijk om synthetische deling te gebruiken om de waarde van een polynoom te vinden bij het evalueren in c in plaats van simpelweg c te vervangen door x. 

Als we P (5) op de traditionele manier zouden proberen te evalueren, zouden we een aantal berekeningen moeten uitvoeren die vervelend worden.

Voorbeeld 4

Het algoritme van de deling voor polynomen wordt ook vervuld voor polynomen met complexe coëfficiënten en als gevolg daarvan hebben we dat de synthetische delingmethode ook werkt voor de genoemde polynomen. Vervolgens zullen we een voorbeeld zien.

We zullen de synthetische deling methode gebruiken om te laten zien dat z = 1+ 2i een nul is van het polynoom P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); dat wil zeggen, de rest van de deling P (x) tussen d (x) = x - z is gelijk aan nul.

We gaan als voorheen verder: in de eerste rij schrijven we de coëfficiënten van P (x), in de tweede rij schrijven we z en tekenen we de scheidingslijnen.

We hebben de verdeling gemaakt zoals eerder; dit is:

We kunnen zien dat het residu nul is; daarom concluderen we dat z = 1+ 2i een nul is van P (x).

referenties

1. Baldor Aurelio. algebra. Patria Editorial Group.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: grafiek, numeriek, algebraïsch 7e ed. Pearson-onderwijs.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. precalculus 4e druk. Pearson Education.
5. Red. Armando O. Algebra 1 6e druk. Het Athenaeum.