Lineaire interpolatiemethode, opgeloste oefeningen



de lineaire interpolatie is een methode die afkomstig is van de algemene interpolatie van Newton en die toelaat om bij benadering een onbekende waarde te bepalen die tussen twee gegeven getallen ligt; dat wil zeggen, er is een tussenwaarde. Het wordt ook toegepast op benaderde functies, waarbij de waarden f(A) en f(B) ze zijn bekend en je wilt het tussenproduct van f kennen(X).

Er zijn verschillende soorten interpolatie, zoals lineaire, kwadratische, kubieke en hogere graden, de eenvoudigste is de lineaire benadering. De prijs die moet worden betaald met lineaire interpolatie is dat het resultaat niet zo nauwkeurig zal zijn als bij benaderingen van functies van hogere cijfers.

index

  • 1 Definitie
  • 2 Methode
  • 3 Oefeningen opgelost
    • 3.1 Oefening 1
    • 3.2 Oefening 2
  • 4 Referenties

definitie

Lineaire interpolatie is een proces waarmee u een waarde kunt afleiden tussen twee goed gedefinieerde waarden, die zich in een tabel of in een lineaire grafiek kunnen bevinden.

Bijvoorbeeld, als u weet dat 3 liter melk een waarde heeft van $ 4 en dat 5 liter $ 7 waard is, maar u wilt weten wat de waarde is van 4 liter melk, geïnterpoleerd om die tussenwaarde te bepalen.

werkwijze

Om een ​​tussentijdse waarde van een functie te schatten, wordt de functie f benaderd(X) door middel van een rechte lijn r(X), wat betekent dat de functie lineair varieert met "x" voor een stuk "x = a" en "x = b"; dat wil zeggen, voor een "x" -waarde in het interval (x0, X1) en (en0, en1), de waarde van "y" wordt gegeven door de lijn tussen de punten en wordt uitgedrukt door de volgende relatie:

(en - en0) ÷ (x - x0) = (en1 - en0) ÷ (x1 - X0)

Voor een lineaire interpolatie is het noodzakelijk dat het interpolatiepolynoom van graad één (n = 1) is, zodat het zich aanpast aan de waarden van x0 en x1.

De lineaire interpolatie is gebaseerd op gelijkenis van driehoeken, zodat we, geometrisch afgeleid van de vorige uitdrukking, de waarde van "y" kunnen verkrijgen, die de onbekende waarde voor "x" vertegenwoordigt.

Op die manier moet je:

a = tan Ɵ = (andere kant1 ÷ aangrenzende poot1) = (andere kant2 ÷ aangrenzende poot2)

Uitgedrukt op een andere manier is het:

(en - en0) ÷ (x - x0) = (en1 - en0) ÷ (x1 - X0)

Door "en" van de uitdrukkingen te wissen, hebt u:

(en - en0) * (x1 - X0) = (x - x0) * (en1 - en0)

(en - en0) = (en1 - en0) * [(x - x0) ÷ (x1 - X0)]

Zo verkrijgen we de algemene vergelijking voor lineaire interpolatie:

y = y0 + (en1 - en0) * [(x - x0) ÷ (x1 - X0)]

Over het algemeen geeft lineaire interpolatie een kleine fout over de werkelijke waarde van de werkelijke functie, hoewel de fout minimaal is vergeleken met wanneer u intuïtief een getal kiest dat het dichtst in de buurt komt van het getal dat u wilt vinden.

Deze fout treedt op wanneer u de waarde van een curve probeert te benaderen met een rechte lijn; voor die gevallen moet de grootte van het interval worden verkleind om de benadering nauwkeuriger te maken.

Voor betere resultaten met betrekking tot de aanpak, is het raadzaam om functies van graad 2, 3 of zelfs hoger te gebruiken om de interpolatie uit te voeren. Voor deze gevallen is de Taylor-stelling een zeer nuttig hulpmiddel.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Het aantal bacteriën per volume-eenheid dat bestaat in een incubatie na x uur wordt weergegeven in de volgende tabel. U wilt weten wat het volume van bacteriën is voor de tijd van 3,5 uur.

oplossing

De referentietabel stelt geen waarde vast die de hoeveelheid bacteriën voor een tijd van 3,5 uur aangeeft, maar heeft hogere en lagere waarden die overeenkomen met respectievelijk een tijd van 3 en 4 uur. Op die manier:

X0 = 3 en0 = 91

x = 3,5 y =?

X1 = 4 en1 = 135

Nu wordt de wiskundige vergelijking toegepast om de geïnterpoleerde waarde te vinden, wat het volgende is:

y = y0 + (en1 - en0) * [(x - x0) ÷ (x1 - X0)].

Dan worden de overeenkomstige waarden vervangen:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0.5

y = 113.

Aldus wordt verkregen dat gedurende een tijd van 3,5 uur de hoeveelheid bacteriën 113 is, hetgeen een tussenliggend niveau vertegenwoordigt tussen het volume van bacteriën dat bestaat in de tijden van 3 en 4 uur..

Oefening 2

Luis heeft een ijsfabriek en hij wil een studie doen om het inkomen te bepalen dat hij in augustus had opgelopen uit de gemaakte kosten. De manager van het bedrijf maakt een grafiek die die relatie uitdrukt, maar Luis wil weten:

Wat zijn de inkomsten voor augustus als een uitgave van $ 55.000 is gemaakt??

oplossing

Een grafiek wordt gegeven met waarden van inkomsten en uitgaven. Luis wil weten wat het inkomen van augustus is als de fabriek een uitgave van $ 55.000 had. Deze waarde wordt niet direct in de grafiek weergegeven, maar de waarden die hoger en lager zijn dan deze zijn.

Eerst wordt een tabel gemaakt waar de waarden met gemak in verband worden gebracht:

Nu wordt de interpolatieformule gebruikt om de waarde van y te bepalen

y = y0 + (en1 - en0) * [(x - x0) ÷ (x1 - X0)]

Dan worden de overeenkomstige waarden vervangen:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) * (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = $ 68,936.

Als in augustus een uitgave van $ 55.000 werd gedaan, bedroeg het inkomen $ 68.936.

referenties

  1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
  2. Harpe, P. d. (2000). Onderwerpen in de Geometric Group Theory. University of Chicago Press.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Lineaire interpolatie ", Encyclopedia of Mathematics.
  4. , J. M. (1998). Elementen van numerieke methoden voor engineering. UASLP.
  5. , E. (2002). Een chronologie van interpolatie: van oude astronomie tot moderne signaal- en beeldverwerking. Proceedings of the IEEE.
  6. numeriek, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.