Wetten van de exponenten (met opgeloste voorbeelden en oefeningen)

de wetten van exponenten zijn die van toepassing op dat aantal dat aangeeft hoe vaak een basisnummer door zichzelf moet worden vermenigvuldigd. De exponenten worden ook wel krachten genoemd. Potentiëring is een wiskundige bewerking bestaande uit een basis (a), de exponent (m) en de kracht (b), die het resultaat is van de operatie.

Exponenten worden over het algemeen gebruikt wanneer zeer grote hoeveelheden worden gebruikt, omdat dit niet meer zijn dan afkortingen die de vermenigvuldiging van datzelfde aantal een bepaald aantal keren representeren. De exponenten kunnen zowel positief als negatief zijn.

index

• 1 Uitleg van de wetten van exponenten
  • 1.1 Eerste wet: exponent macht gelijk aan 1
  • 1.2 Tweede wet: exponent macht gelijk aan 0
  • 1.3 Derde wet: negatieve exponent
  • 1.4 Vierde wet: vermenigvuldiging van machten met gelijke basis
  • 1.5 Vijfde wet: verdeling van bevoegdheden met gelijke basis
  • 1.6 Zesde wet: vermenigvuldiging van machten met een andere basis
  • 1.7 Zevende wet: verdeling van bevoegdheden met een andere basis
  • 1.8 Achtste wet: kracht van een kracht
  • 1.9 Negende wet: fractionele exponent
• 2 Oefeningen opgelost
  • 2.1 Oefening 1
  • 2.2 Oefening 2
• 3 referenties

Uitleg van de wetten van exponenten

Zoals eerder vermeld, zijn exponenten een verkorte vorm die de vermenigvuldiging van getallen zelf meerdere keren vertegenwoordigt, waarbij de exponent alleen gerelateerd is aan het nummer aan de linkerkant. Bijvoorbeeld:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8

In dat geval is het getal 2 de basis van het vermogen, dat driemaal wordt vermenigvuldigd zoals aangegeven door de exponent, gelegen in de rechterbovenhoek van de basis. Er zijn verschillende manieren om de uitdrukking te lezen: 2 verhoogd naar 3 of ook 2 verhoogd naar de kubus.

Exponenten geven ook het aantal keren aan dat ze kunnen worden gedeeld, en om deze bewerking te onderscheiden van vermenigvuldiging, draagt ​​de exponent het minteken (-) ervoor (het is negatief), wat betekent dat de exponent in de noemer van een fractie. Bijvoorbeeld:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Dit moet niet worden verward met het geval waarin de basis negatief is, omdat dit afhangt van de vraag of de exponent even of oneven is om te bepalen of het vermogen positief of negatief is. Dus je moet:

- Als de exponent even is, is de macht positief. Bijvoorbeeld:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Als de exponent oneven is, is de stroom negatief. Bijvoorbeeld:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Er is een speciaal geval waarin, als de exponent gelijk is aan 0, het vermogen gelijk is aan 1. Er is ook de mogelijkheid dat de basis 0 is; in dat geval zal, afhankelijk van de blootgestelde, het vermogen onbepaald zijn of niet.

Voor het uitvoeren van wiskundige bewerkingen met de exponenten, is het noodzakelijk om verschillende regels of regels te volgen die het gemakkelijker maken om de oplossing voor deze bewerkingen te vinden.

Eerste wet: exponent macht gelijk aan 1

Als de exponent 1 is, heeft het resultaat dezelfde waarde als de basis: a¹ = a.

Voorbeelden

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Tweede wet: exponent macht gelijk aan 0

Als de exponent 0 is, als de basis niet nul is, is het resultaat :, a⁰ = 1.

Voorbeelden

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Derde wet: negatieve exponent

Omdat de exponte negatief is, is het resultaat een fractie, waarbij de macht de noemer is. Bijvoorbeeld, als m positief is, dan is a^-m = 1 / a^m.

Voorbeelden

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Vierde wet: vermenigvuldiging van machten met gelijke basis

Om krachten te vermenigvuldigen waar de basen gelijk zijn en verschillend van 0, wordt de basis behouden en worden de exponenten toegevoegd: a^m _* naarⁿ = a^{m + n}.    

Voorbeelden

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2^{2 + 9} = 2¹¹

Vijfde wet: verdeling van bevoegdheden met gelijke basis

Om krachten te delen waarin de basen gelijk zijn en verschillend van 0, wordt de basis gehandhaafd en worden de exponenten als volgt afgetrokken: a^m / aⁿ = a^m-n.    

Voorbeelden

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Zesde wet: vermenigvuldiging van machten met een andere basis

In deze wet hebben we het tegenovergestelde van wat wordt uitgedrukt in de vierde; dat wil zeggen, als er verschillende basen zijn maar met gelijke exponenten, worden de basen vermenigvuldigd en de exponent gehandhaafd: a^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Voorbeelden

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (45 * 9)^{11 =} 405¹¹.

Een andere manier om deze wet te vertegenwoordigen, is wanneer een vermenigvuldiging tot een macht wordt verheven. De exponent zal dus behoren tot elk van de voorwaarden: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Voorbeelden

- (5_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

Zevende wet: verdeling van bevoegdheden met een andere basis

Als er verschillende basen zijn maar met gelijke exponenten, worden de basen verdeeld en wordt de exponent gehandhaafd: a^m / b^m = (a / b)^m.

Voorbeelden

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

Evenzo, als een divisie wordt verheven tot een macht, zal de exponent behoren tot elk van de termen: (a / b) ^m = a^m / b^m.

Voorbeelden

- (04/08)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25,05)² = 25² / 5² = 5².

Er is een geval waarin de exponent negatief is. Dus om positief te zijn, wordt de waarde van de teller omgekeerd met die van de noemer, op de volgende manier:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (05/04) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Achtste wet: kracht van een kracht

Wanneer je een kracht hebt die verhoogd wordt naar een ander vermogen - dat wil zeggen, twee exponenten tegelijkertijd - wordt de basis gehandhaafd en vermenigvuldigen de exponenten: (a^m)ⁿ= a^{m *n}.

Voorbeelden

- (8³)² = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Negende wet: fractionele exponent

Als de macht een breuk als exponent heeft, wordt deze omgezet door deze in een n-de root te transformeren, waarbij de teller als een exponent blijft en de noemer de root-index vertegenwoordigt:

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Bereken de operaties tussen de machten die verschillende bases hebben:

2⁴_* 4⁴ / 8².

oplossing

Door de regels van de exponenten toe te passen, worden in de teller de bases vermenigvuldigd en de exponent behouden, zoals deze:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (2_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Omdat we nu dezelfde basen hebben maar met verschillende exponenten, wordt de basis gehandhaafd en worden de exponenten afgetrokken:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Oefening 2

Bereken de operaties tussen de hoge bevoegdheden naar een andere kracht:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_* (2²)³

oplossing

Als u de wetten toepast, moet u:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_* (2²)³

= 3⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶_* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3_*2)⁶

= 6⁶

= 46,656

referenties

1. Aponte, G. (1998). Fundamentals of Basic Mathematics. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Wiskunde toegepast op het dagelijks leven.
3. Jiménez, J.R. (2009). Wiskunde 1 SEP.
4. Max Peters, W.L. (1972). Algebra en trigonometrie.
5. Rees, P.K. (1986). Reverte.