Wetten van Morgan

De logen van Morgan het zijn in de propositielogica gebruikte regels van gevolgtrekking, die vaststellen wat het resultaat is van het ontkennen van een disjunctie en een combinatie van proposities of propositionele variabelen. Deze wetten werden gedefinieerd door de wiskundige Augustus De Morgan.

De wetten van Morgan vormen een zeer nuttig hulpmiddel om de geldigheid van een wiskundige redenering aan te tonen. Later werden ze veralgemeend binnen het concept van sets door de wiskundige George Boole.

Deze generalisatie gemaakt door Boole is volledig gelijk aan Morgan's oorspronkelijke wetten, maar het is specifiek ontwikkeld voor sets in plaats van voor proposities. Deze generalisatie is ook bekend als de wetten van Morgan.

index

• 1 Herziening van propositielogica
  • 1.1 Fallacy
  • 1.2 Proposities
• 2 Morgan's Wetten
  • 2.1 Demonstratie
• 3 sets
  • 3.1 Unie, kruising en complementen van sets
• 4 Morgan's wetten voor sets
• 5 Referenties

Beoordeling van propositielogica

Voordat we kijken naar wat de wetten van Morgan specifiek zijn en hoe ze worden gebruikt, is het handig om enkele basisbegrippen van propositielogica te onthouden. (Zie het propositielogica-artikel voor meer informatie).

Op het gebied van wiskundige (of propositionele) logica is een conclusie een conclusie die wordt uitgezonden uit een reeks premissen of hypothesen. Deze conclusie, samen met de genoemde premissen, geeft aanleiding tot wat bekend staat als wiskundig redeneren.

Deze redenering moet kunnen worden aangetoond of ontkend; dat wil zeggen dat niet alle gevolgtrekkingen of conclusies in een mathematische redenering geldig zijn.

bedrieglijkheid

Een valse gevolgtrekking uit bepaalde veronderstellingen waarvan wordt aangenomen dat ze waar zijn, wordt een misvatting genoemd. De drogredenen hebben de eigenaardigheid om argumenten te zijn die correct lijken, maar wiskundig gezien zijn ze dat niet.

Propositionele logica is verantwoordelijk voor het precies ontwikkelen en verschaffen van methoden waarmee men zonder enige dubbelzinnigheid een wiskundige redenering kan valideren of weerleggen; dat is, concluderen een geldige conclusie van premissen. Deze methoden staan ​​bekend als regels van gevolgtrekking, waarvan de wetten van Morgan deel uitmaken.

proposities

De essentiële elementen van propositielogica zijn proposities. Proposities zijn uitspraken waarover men kan zeggen of ze wel of niet geldig zijn, maar dat ze tegelijkertijd niet waar of onwaar kunnen zijn. Er moet geen onduidelijkheid zijn in deze kwestie.

Net zoals getallen kunnen worden gecombineerd door middel van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, kunnen de proposities worden bediend met behulp van de bekende logische connectiviteit (of connectoren): negatie (¬, "nee"), disjunctie (V , "O"), conjunctie (Ʌ, "en"), voorwaardelijk (→, "als ..., dan ...") en voorwaardelijk (↔, "ja, en alleen als").

Om meer in het algemeen te werken, beschouwen we, in plaats van specifieke proposities te overwegen, propositionele variabelen die proposities voorstellen en worden ze meestal aangeduid met kleine letters p, q, r, s, etc..

Een propositieformule is een combinatie van propositionele variabelen via een deel van de logische connectie. Met andere woorden, het is een samenstelling van propositionele variabelen. Ze worden meestal aangeduid met Griekse letters.

Er wordt gezegd dat een propositieformule logisch een andere impliceert wanneer het laatste waar is telkens wanneer de eerste waar is. Dit wordt aangegeven door:

Wanneer de logische implicatie tussen twee propositieformules wederkerig is - dat wil zeggen, wanneer de vorige implicatie ook in de tegenovergestelde richting geldig is - wordt gezegd dat de formules logisch equivalent zijn, en wordt aangegeven door

De logische equivalentie is een soort gelijkheid tussen propositieformules en maakt het mogelijk de ene voor de ander te vervangen wanneer dat nodig is.

Wetten van Morgan

Morgan's wetten bestaan ​​uit twee logische equivalenties tussen twee propositie-vormen, namelijk:

Deze wetten maken het mogelijk om de ontkenning van een disjunctie of conjunctie als ontkenning van de betrokken variabelen te scheiden.

De eerste kan als volgt worden gelezen: de ontkenning van een disjunctie is gelijk aan de combinatie van de negaties. En de tweede leest als volgt: de ontkenning van een conjunctie is de disjunctie van de ontkenningen.

Met andere woorden, het ontkennen van de disjunctie van twee propositionele variabelen is equivalent aan de conjunctie van de negaties van beide variabelen. Evenzo is het ontkennen van de combinatie van twee propositie-variabelen gelijk aan de disjunctie van de negaties van beide variabelen.

Zoals eerder vermeld, helpt de vervanging van deze logische equivalentie om belangrijke resultaten aan te tonen, samen met de andere bestaande regels van inferentie. Hiermee kunt u veel propositionele formules vereenvoudigen, zodat ze nuttiger zijn om te werken.

Het volgende is een voorbeeld van een wiskundig bewijs met behulp van regels van gevolgtrekking, onder de wetten van deze Morgan. Concreet wordt aangetoond dat de formule:

is gelijk aan:

Het laatste is eenvoudiger te begrijpen en te ontwikkelen.

tonen

Het is de moeite waard te vermelden dat de geldigheid van de wetten van Morgan mathematisch kan worden aangetoond. Eén manier is door je waarheidstabellen te vergelijken.

sets

Dezelfde regels van gevolgtrekking en de logische noties toegepast op proposities, kunnen ook worden ontwikkeld met inachtneming van verzamelingen. Dit is de Booleaanse algebra, naar de wiskundige George Boole.

Om onderscheid te maken tussen de gevallen, is het noodzakelijk om de notatie en overdracht naar sets te wijzigen, alle ideeën die al zijn gezien van de propositielogica.

Een set is een verzameling objecten. De sets worden aangeduid met hoofdletters A, B, C, X, ... en de elementen van een set worden aangeduid met kleine letters a, b, c, x, etc. Wanneer een element bij een set X hoort, wordt dit aangeduid met:

Als het niet bij X hoort, is de notatie:

De manier om de sets weer te geven is door hun elementen in de toetsen te plaatsen. De reeks natuurlijke getallen wordt bijvoorbeeld weergegeven door:

Sets kunnen ook worden weergegeven zonder een expliciete lijst van hun elementen te schrijven. Ze kunnen worden uitgedrukt in de vorm :. De twee punten worden "zodanig dat" gelezen. Een variabele die de elementen van de set vertegenwoordigt, wordt links van de twee punten geplaatst en de eigenschap of voorwaarde waaraan ze voldoen, wordt aan de rechterkant geplaatst. Dit is:

De verzameling gehele getallen groter dan -4 kan bijvoorbeeld worden uitgedrukt als:

Of equivalent en meer afgekort als:

Op dezelfde manier vertegenwoordigen de volgende uitdrukkingen respectievelijk de sets van even en oneven getallen:

Unie, kruispunt en complementen van sets

Vervolgens zullen we de analogen van de logische connectiviteit zien in het geval van sets, die deel uitmaken van de basisbewerkingen tussen sets.

Unie en kruispunt

De unie en het snijpunt van sets worden respectievelijk op de volgende manier gedefinieerd:

Bekijk bijvoorbeeld de sets:

Dan moet je:

complement

Het complement van een set wordt gevormd door de elementen die niet tot die set behoren (van hetzelfde type als het origineel vertegenwoordigt). Het complement van een set A wordt aangegeven door:

Binnen de natuurlijke getallen is het complement van de reeks even getallen bijvoorbeeld die van de oneven getallen en omgekeerd.

Om het complement van een set te bepalen, moet vanaf het begin duidelijk zijn aan welke universele of hoofdset elementen wordt gedacht. Het is bijvoorbeeld niet gelijk om het complement van een verzameling op de natuurlijke getallen te beschouwen die op de rationele.

De volgende tabel toont de relatie of analogie die bestaat tussen de bewerkingen op eerder gedefinieerde sets en de connectieve van de propositielogica:

Wetten van Morgan voor sets

Ten slotte zijn de wetten van Morgan over sets:

In woorden: het complement van een vakbond is de kruising van de complementen, en het complement van een kruising is de vereniging van de complementen.

Een wiskundig bewijs van de eerste gelijkheid zou de volgende zijn:

De demonstratie van de tweede is analoog.

referenties

1. Almaguer, G. (2002). Wiskunde 1. Redactioneel Limusa.
2. Aylwin, C. U. (2011). Logica, sets en nummers. Mérida - Venezuela: Council of Publications, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Inleiding tot getaltheorie. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Basiscursus in de getaltheorie. Universiteit van het noorden.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Hoe wiskundig logisch redeneren te ontwikkelen. University Editorial.
6. Guevara, M. H. (s.f.). Theory of The Numbers. EUNED.
7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Getalentheorie. Redactionele visieboeken.