Vector Algebra Basics, Magnitudes, Vectors



de vector algebra is een tak van de wiskunde die verantwoordelijk is voor het bestuderen van systemen van lineaire vergelijkingen, vectoren, matrices, vectorruimten en hun lineaire transformaties. Het is gerelateerd aan gebieden zoals engineering, het oplossen van differentiaalvergelijkingen, functionele analyse, operationeel onderzoek, computergraphics, enzovoort..

Een ander gebied dat de lineaire algebra heeft geadopteerd, is de natuurkunde, omdat dit is ontwikkeld om fysische fenomenen te bestuderen en ze te beschrijven door het gebruik van vectoren. Dit heeft een beter begrip van het universum mogelijk gemaakt.

index

  • 1 Fundamentals
    • 1.1 Geometrisch
    • 1.2 Analytisch
    • 1.3 Axiomatisch
  • 2 magnitudes
    • 2.1 Scalaire grootte
    • 2.2 Vector magnitude
  • 3 Wat zijn vectoren?
    • 3.1 Module
    • 3.2 Adres
    • 3.3 Zin
  • 4 Classificatie van vectoren
    • 4.1 Vaste vector
    • 4.2 Gratis vector
    • 4.3 Verschuifbare vector
  • 5 Eigenschappen van vectoren
    • 5.1 equipolentes Vectoren
    • 5.2 equivalente vectoren
    • 5.3 Gelijkheid van vectoren
    • 5.4 Tegenovergestelde vectoren
    • 5.5 Eenheidsvector
    • 5.6 Null Vector
  • 6 Onderdelen van een vector
    • 6.1 Voorbeelden
  • 7 Bewerkingen met vectoren
    • 7.1 Vectoren toevoegen en aftrekken
    • 7.2 Vermenigvuldiging van vectoren
  • 8 Referenties

stichtingen

Vectoralgebra afkomstig uit de studie van quaternionen (verlenging van reële getallen) 1, i, j, k, en Cartesiaanse geometrie bevorderd door Gibbs en Heaviside, die besefte dat de vectoren dienen als hulpmiddel voor vertegenwoordigen verschillende fysieke verschijnselen.

Vectoralgebra wordt bestudeerd door drie fundamenten:

geometrisch

De vectoren worden weergegeven door lijnen met een oriëntatie en de bewerkingen zoals optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met reële getallen worden gedefinieerd door middel van geometrische methoden.

analytisch

De beschrijving van de vectoren en hun bewerkingen gebeurt met getallen, componenten genaamd. Dit type beschrijving is het resultaat van een geometrische weergave omdat een coördinatensysteem wordt gebruikt.

axiomatisch

Er wordt een beschrijving van de vectoren gemaakt, ongeacht het coördinatensysteem of elk type geometrische representatie.

De studie van figuren in de ruimte wordt gedaan door hun representatie in een referentiesysteem, dat in een of meer dimensies kan zijn. Onder de belangrijkste systemen zijn:

- Eéndimensionaal systeem, een lijn waarbij één punt (O) de oorsprong vertegenwoordigt en een ander punt (P) de schaal (lengte) en de richting ervan bepaalt:

- Rechthoekig coördinatenstelsel (tweedimensionaal), dat is samengesteld uit twee loodrechte lijnen met de naam x-as en y-as, die door een punt (O) -oorsprong gaan; op deze manier is het vlak verdeeld in vier gebieden, kwadranten genaamd. In dit geval wordt een punt (P) in het vlak gegeven door de afstanden die bestaan ​​tussen de assen en P.

- Poolcoördinatenstelsel (tweedimensionaal). In dit geval bestaat het systeem uit een punt O (oorsprong) dat een pool wordt genoemd en een straal met oorsprong O die poolas wordt genoemd. In dit geval wordt het punt P van het vlak, met verwijzing naar de pool en de polaire as, gegeven door de hoek (Ɵ), die wordt gevormd door de afstand tussen de oorsprong en het punt P.

- Rechthoekig driedimensionaal systeem, gevormd door drie loodrechte lijnen (x, y, z) die als oorsprong een punt O in de ruimte hebben. Er worden drie gecoördineerde vlakken gevormd: xy, xz en yz; de ruimte zal worden verdeeld in acht regio's die octanten worden genoemd. De referentie van een punt P van de ruimte wordt gegeven door de afstanden die bestaan ​​tussen de vlakken en P.

magnitudes

Een magnitude is een fysieke grootheid die geteld of gemeten kan worden door een numerieke waarde, zoals in het geval van sommige fysieke verschijnselen; niettemin is het vaak noodzakelijk om deze verschijnselen te kunnen beschrijven met andere niet-numerieke factoren. Dat is de reden waarom de magnitudes in twee soorten worden ingedeeld:

Scalaire grootte

Het zijn die hoeveelheden die numeriek zijn gedefinieerd en weergegeven; dat wil zeggen, door een module samen met een maateenheid. Bijvoorbeeld:

a) Tijd: 5 seconden.

b) Massa: 10 kg.

c) Volume: 40 ml.

d) Temperatuur: 40ºC.

Vector magnitude

Het zijn die hoeveelheden die worden gedefinieerd en weergegeven door een module samen met een eenheid, maar ook door een gevoel en richting. Bijvoorbeeld:

a) Snelheid: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Versnelling: 13 m / s2; S 45º E.

c) Kracht: 280 N, 120º.

d) Gewicht: -40 ĵ kg-f.

Vectorgrootheden worden grafisch weergegeven door vectoren.

Wat zijn vectoren?

Vectoren zijn grafische weergaven van een vectorgrootte; dat wil zeggen, het zijn segmenten van een rechte lijn waarin hun uiteinde de punt van een pijl is.

Deze worden bepaald door hun module- of segmentlengte, hun betekenis die wordt aangegeven door de punt van hun pijl en hun richting volgens de lijn waartoe ze behoren. De oorsprong van een vector is ook bekend als het punt van toepassing.

De elementen van een vector zijn de volgende:

module

Het is de afstand van de oorsprong tot het einde van een vector, vertegenwoordigd door een reëel getal samen met een eenheid. Bijvoorbeeld:

| OM | = | A | = A = 6 cm

adres

Het is de maat van de hoek die bestaat tussen de x-as (van de positieve) en de vector, evenals de kardinale punten (noord, zuid, oost en west) worden gebruikt.

zin

Het wordt gegeven door de pijlpunt aan het einde van de vector, die aangeeft waar dit naartoe gaat.

Vectoren classificatie

Over het algemeen worden vectoren geclassificeerd als:

Vaste vector

Het is degene van wie het punt van toepassing (oorsprong) is vastgesteld; dat wil zeggen dat het verbonden blijft met een punt van de ruimte, reden waarom het hierin niet kan worden verplaatst.

Gratis vector

Het kan vrij in de ruimte bewegen omdat de oorsprong naar elk punt beweegt zonder zijn module, richting of richting te veranderen.

Glijdende vector

Het is degene die zijn oorsprong langs zijn actielijn kan verplaatsen zonder zijn module, richting of richting te veranderen.

Eigenschappen van vectoren

Een van de belangrijkste eigenschappen van vectoren zijn de volgende:

Equipolentes-vectoren

Het zijn die vrije vectoren met dezelfde module, richting (of ze zijn parallel) en voelen aan als een glijdende vector of een vaste vector.

Equivalente vectoren

Het gebeurt wanneer twee vectoren hetzelfde adres hebben (of parallel zijn), hetzelfde gevoel, en ondanks dat ze verschillende modules en toepassingspunten hebben, veroorzaken ze dezelfde effecten.

Gelijkheid van vectoren

Ze hebben dezelfde module, richting en gevoel, ook al zijn hun uitgangspunten verschillend, waardoor een parallelle vector zichzelf kan verplaatsen zonder dat deze wordt beïnvloed..

Tegenover Vectoren

Het zijn degenen die dezelfde module en richting hebben, maar hun gevoel is tegengesteld.

Vector eenheid

Het is degene waarin de module gelijk is aan de eenheid (1). Dit wordt verkregen door de vector te delen door zijn module en wordt gebruikt om de richting en het gevoel van een vector te bepalen, hetzij in het vlak of in de ruimte, met behulp van de basis of genormaliseerde genormaliseerde vectoren, die zijn:

Null vector

Het is degene waarvan de module gelijk is aan 0; dat wil zeggen dat hun punt van oorsprong en extreem samenvallen op hetzelfde punt.

Onderdelen van een vector

De componenten van een vector zijn die waarden van de projecties van de vector op de assen van het referentiesysteem; Afhankelijk van de ontbinding van de vector, die in twee- of driedimensionale assen kan zijn, worden respectievelijk twee of drie componenten verkregen.

De componenten van een vector zijn reële getallen, die positief, negatief of zelfs nul kunnen zijn (0).

Als we dus een vector Ā hebben, afkomstig van een rechthoekig coördinatensysteem in het xy (tweedimensionale) vlak, is de projectie op de x-as Āx en is de projectie op de y-as Āy. De vector zal dus worden uitgedrukt als de som van de componentvectoren ervan.

Voorbeelden

Eerste voorbeeld

We hebben een vector Ā die begint bij de oorsprong en de coördinaten van zijn uiteinden worden gegeven. Dus de vector Ā = (ĀX; Eenen) = (4; 5) cm.

Als een vector optreedt aan de basis van een coördinatenstelsel van driedimensionale driehoekige (in de ruimte) x, y, z, een ander punt (P), de projecties van de assen Ax, Ay en Az; aldus zal de vector worden uitgedrukt als de som van de drie componentvectoren ervan.

Tweede voorbeeld

We hebben een vector Ā die begint bij de oorsprong en de coördinaten van zijn uiteinden worden gegeven. Dus de vector Ā = (AX; Eenen; Eenz) = (4; 6; -3) cm.

De vectoren met hun rechthoekige coördinaten kunnen worden uitgedrukt in termen van hun basisvectoren. Daarvoor moet alleen elke coördinaat worden vermenigvuldigd met de respectieve eenheidsvector, op een zodanige manier dat ze voor het vlak en de ruimte de volgende zijn:

Voor het vliegtuig: Ā = AXi + Aenj.

Voor de spatie: Ā = AXi + Aenj + Azk.

Bewerkingen met vectoren

Er zijn veel magnitudes die een module, een richting en een richting hebben, zoals versnelling, snelheid, verplaatsing, kracht, onder anderen..

Deze worden toegepast in verschillende wetenschapsgebieden en om ze toe te passen is het in sommige gevallen nodig om bewerkingen uit te voeren zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van vectoren en scalaires..

Optellen en aftrekken van vectoren

Het optellen en aftrekken van vectoren wordt beschouwd als een enkele algebraïsche bewerking omdat de aftrekking als een som kan worden geschreven; aftrekken van vectoren Ā en Ē kan bijvoorbeeld worden uitgedrukt als:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Er zijn verschillende methoden om vectoren toe te voegen en af ​​te trekken: ze kunnen grafisch of analytisch zijn.

Grafische methoden

Gebruikt wanneer een vector een module, een zin en een richting heeft. Hiertoe worden lijnen getekend die een figuur vormen die later helpen bij het bepalen van het resultaat. Onder de bekendste vallen de volgende op:

Parallelogrammethode

Om de optelling of aftrekking van twee vectoren te maken, wordt een punt gemeenschappelijk gekozen op de coördinaatas - die het oorsprongpunt van de vectoren vertegenwoordigt - waarbij de module, richting en richting worden behouden..

Vervolgens worden lijnen parallel aan de vectoren getekend om een ​​parallellogram te vormen. De resulterende vector is de diagonaal die vertrekt vanaf het beginpunt van beide vectoren tot de top van het parallellogram:

Triangle-methode

Bij deze methode worden de vectoren naast elkaar geplaatst, met behoud van hun modules, richtingen en richtingen. De resulterende vector is de unie van de oorsprong van de eerste vector met het einde van de tweede vector:

Analytische methoden

U kunt twee of meer vectoren toevoegen of aftrekken via een geometrische of vectormethode:

Geometrische methode

Wanneer twee vectoren een driehoek of parallellogram vormen, kunnen de modulus en richting van de resulterende vector worden bepaald met behulp van de wetten van sinus en cosinus. Dus, de module van de resulterende vector, volgens de wet van de cosinus en de driehoeksmethode, wordt gegeven door:

In deze formule is β de hoek tegenovergesteld aan de zijde R, en deze is gelijk aan 180 º - Ɵ.

In tegenstelling hiermee is de resulterende vectormodule volgens de parallellogrammethode:

De richting van de resulterende vector wordt gegeven door de hoek (a), die het resultaat vormt met een van de vectoren.

Volgens de wet van de sinus kan het optellen of aftrekken van vectoren ook door de driehoek of parallellogrammethode worden gedaan, wetende dat in elke driehoek de zijkanten evenredig zijn met de borsten van de hoeken:

Vector methode

Dit kan op twee manieren worden gedaan: afhankelijk van hun rechthoekige coördinaten of hun basisvectoren.

Dit kan worden gedaan door de vectoren die moeten worden toegevoegd of afgetrokken aan de oorsprong van coördinaten over te dragen, en vervolgens alle projecties op elk van de assen voor het vlak (x, y) of spatie (x, en, z); ten slotte worden de componenten algebraïsch toegevoegd. Dus voor het vliegtuig is het:

De module van de resulterende vector is:

Terwijl het voor ruimte is:

De module van de resulterende vector is:

Bij het uitvoeren van vectorsommen worden verschillende eigenschappen toegepast, die zijn:

- Associatieve eigenschap: het resultaat verandert niet door eerst twee vectoren toe te voegen en vervolgens een derde vector toe te voegen.

- Commutatieve eigenschap: de volgorde van de vectoren verandert niets aan het resultaat.

- Vector distributieve eigenschap: als een scalair wordt vermenigvuldigd met de som van twee vectoren, is deze gelijk aan de vermenigvuldiging van de scalaire waarde voor elke vector.

- Scalaire verdelingseigenschap: als een vector wordt vermenigvuldigd met de som van twee scalaires, is deze gelijk aan de vermenigvuldiging van de vector voor elke scalaire variabele.

Vermenigvuldiging van vectoren

De vermenigvuldiging of het product van vectoren kan worden gedaan als optellen of aftrekken, maar daarbij verliest het de fysieke betekenis en wordt het bijna nooit binnen toepassingen gevonden. Daarom zijn in het algemeen de meest gebruikte soorten producten het scalaire en vectoriële product.

Scalair product

Het is ook bekend als een puntproduct van twee vectoren. Wanneer de modules van twee vectoren worden vermenigvuldigd met de cosinus van de kleine hoek die daartussen wordt gevormd, wordt een scalair verkregen. Om een ​​scalair product tussen twee vectoren te plaatsen, wordt er een punt tussen geplaatst, en dit kan worden gedefinieerd als:

De waarde van de hoek die bestaat tussen de twee vectoren zal afhangen van of ze parallel of loodrecht zijn; Dus je moet:

- Als de vectoren evenwijdig zijn en dezelfde betekenis hebben, is cosinus 0º = 1.

- Als de vectoren evenwijdig zijn en tegengestelde zintuigen hebben, is cosinus 180º = -1.

- Als de vectoren loodrecht staan, is cosinus 90º = 0.

Die hoek kan ook worden berekend wetende dat:

Het scalaire product heeft de volgende eigenschappen:

- Commutatieve eigenschap: de volgorde van de vectoren verandert niets aan de scalaire waarde.

-Distributieve eigenschap: als een scalair wordt vermenigvuldigd met de som van twee vectoren, is deze gelijk aan de vermenigvuldiging van de scalaire waarde voor elke vector.

Vector product

De vectorvermenigvuldiging of het kruisproduct van twee vectoren A en B zal resulteren in een nieuwe vector C en wordt uitgedrukt met behulp van een kruising tussen de vectoren:

De nieuwe vector heeft zijn eigen kenmerken. Op die manier:

- De richting: deze nieuwe vector staat loodrecht op het vlak, wat wordt bepaald door de originele vectoren.

- De zin: dit wordt bepaald door de regel van de rechterhand, waarbij de vector A naar de B wordt gedraaid door de richting van de rotatie met de vingers aan te wijzen, en met de duim het vectorgevoel wordt gemarkeerd.

- De module: wordt bepaald door de vermenigvuldiging van de modules van de vectoren AxB, door de sinus van de kleinste hoek die bestaat tussen deze vectoren. Het wordt uitgedrukt:

De waarde van de hoek die tussen de twee vectoren bestaat, is afhankelijk van of ze evenwijdig of loodrecht zijn. Dan is het mogelijk om het volgende te bevestigen:

- Als de vectoren evenwijdig zijn en dezelfde betekenis hebben, is sin 0º = 0.

- Als de vectoren evenwijdig zijn en tegengestelde zintuigen hebben, is sinus 180º = 0.

- Als de vectoren loodrecht staan, is sinus 90º = 1.

Wanneer een vectorproduct wordt uitgedrukt in termen van de basisvectoren, moet het:

Het scalaire product heeft de volgende eigenschappen:

- Het is niet commutatief: de volgorde van de vectoren verandert de scalaire waarde.

- Distributieve eigenschap: als een scalair wordt vermenigvuldigd met de som van twee vectoren, is deze gelijk aan de vermenigvuldiging van de scalaire waarde voor elke vector.

referenties

  1. Altman Naomi, M.K. (2015). "Simple Linear Regression." Nature Methods .
  2. Angel, A. R. (2007). Elementaire algebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr naar Vectorial in voorbeelden. Moskou: Mir.
  5. Lay, D.C. (2007). Lineaire algebra en zijn toepassingen. Pearson Education.
  6. Llinares, J.F. (2009). Lineaire algebra: Vectorruimte. Euclidische vectorruimte. Universiteit van Alicante.
  7. Mora, J.F. (2014). Lineaire algebra vaderland.