Wiskundige logica oorsprong, welke studies, typen

de wiskundige logica of symbolische logica is een wiskundige taal die de nodige hulpmiddelen bevat waarmee wiskundige redenering kan worden bevestigd of ontkend.

Het is bekend dat er in de wiskunde geen onduidelijkheden zijn. Gegeven een wiskundig argument, is dit geldig of gewoon niet. Het kan niet tegelijkertijd vals en waar zijn.

Een bijzonder aspect van de wiskunde is dat het een formele en rigoureuze taal heeft waarmee de geldigheid van een redenering kan worden bepaald. Wat maakt een redenering of een wiskundig bewijs onweerlegbaar? Dat is waar het in de wiskundige logica om draait.

Logica is dus de discipline van de wiskunde die verantwoordelijk is voor het bestuderen van wiskundig redeneren en demonstraties, en biedt de hulpmiddelen om een ​​juiste conclusie te kunnen trekken uit eerdere stellingen of proposities.

Om dit te doen, maakt het gebruik van axioma's en andere wiskundige aspecten die later zullen worden ontwikkeld.

index

• 1 Oorsprong en geschiedenis
  • 1.1 Aristoteles
• 2 Welke wiskundige logica bestudeert?
  • 2.1 Stellingen
  • 2.2 Waarheidstabellen
• 3 Soorten wiskundige logica
  • 3.1 Gebieden
• 4 Referenties

Oorsprong en geschiedenis

De exacte data met betrekking tot vele aspecten van de wiskundige logica zijn onzeker. De meeste bibliografieën over het onderwerp traceren echter de oorsprong hiervan naar het oude Griekenland.

Aristoteles

Het begin van de rigoureuze behandeling van de logica wordt gedeeltelijk toegeschreven aan Aristoteles, die een reeks werken van logica schreef, die later door verschillende filosofen en wetenschappers werden verzameld en ontwikkeld tot de Middeleeuwen. Dit kan worden beschouwd als "de oude logica".

Dan, waar is bekend als de hedendaagse tijd, Leibniz, gedreven door een diep verlangen om een ​​universele taal vast te wiskundig te redeneren, en andere wiskundigen zoals Gottlob Frege en Giuseppe Peano, met name invloed op de ontwikkeling van wiskundige logica met grote bijdragen , waaronder de Axioma's van Peano, die onmisbare eigenschappen van natuurlijke getallen formuleren.

Waren ook invloedrijke op dit moment wiskundigen George Boole en Georg Cantor, met een belangrijke bijdrage aan de theorie en de waarheid tafels, die gemarkeerd, onder andere, Boolean algebra (door George Boole) en het axioma van keuze (door George Cantor).

Er is ook Augustus De Morgan met de bekende wetten van Morgan, die weigeringen, samenvoegingen, disjuncties en voorwaardelijke beschouwingen overwegen tussen proposities, sleutels voor de ontwikkeling van Symbolic Logic en John Venn met de beroemde Venn-diagrammen.

In de 20ste eeuw, ongeveer tussen 1910 en 1913, onderscheiden Bertrand Russell en Alfred North Whitehead zich met hun publicatie van Principia mathematica, een verzameling boeken die een reeks axioma's en logische resultaten verzamelt, ontwikkelt en postuleert.

Wat wiskundige logica bestudeert?

proposities

Wiskundige logica begint met het bestuderen van proposities. Een propositie is een affirmatie die zonder enige dubbelzinnigheid kan worden gezegd als het waar is of niet. Hier volgen enkele voorbeelden van proposities:

• 2 + 4 = 6.
• 5²= 35.
• In het jaar 1930 was er een aardbeving in Europa.

De eerste is een echte propositie en de tweede is een valse propositie. De derde, hoewel het mogelijk is dat de persoon die het leest niet weet of het waar is of onmiddellijk, het is een verklaring die kan worden geverifieerd en vastgesteld als het echt is gebeurd of niet.

Hieronder volgen voorbeelden van uitdrukkingen die geen proposities zijn:

• Ze is blond.
• 2x = 6.
• Laten we spelen!
• Vind je de bioscoop leuk??

In de eerste propositie wordt niet gespecificeerd wie "zij" is, daarom kan niets worden bevestigd. In de tweede propositie is wat wordt weergegeven met "x" niet gespecificeerd. Als in plaats daarvan werd gezegd dat 2x = 6 voor een natuurlijk getal x, zou dit in dit geval overeenkomen met een propositie, in feite waar, omdat voor x = 3 het is vervuld.

De laatste twee uitspraken komen niet overeen met een stelling, omdat er geen manier is om ze te ontkennen of te bevestigen.

Twee of meer proposities kunnen worden gecombineerd (of verbonden) met behulp van de bekende verbindingsconnectoren (of connectoren). Dit zijn:

• Ontkenning: "Het regent niet".
• Disjunctie: "Luisa heeft een witte of grijze tas gekocht".
• Conjunctie: "4²= 16 en 2 × 5 = 10 ".
• Voorwaardelijk: "Als het regent, ga ik vanmiddag niet naar de sportschool".
• Biconditional: "Ik ga vanmiddag naar de sportschool als, en alleen als, het niet regent".

Een propositie die geen van de vorige connectieven bezit, wordt eenvoudige propositie (of atomair) genoemd. Bijvoorbeeld: "2 is minder dan 4", is een eenvoudige propositie. De proposities die wat verbindend zijn, worden samengestelde proposities genoemd, zoals bijvoorbeeld "1 + 3 = 4 en 4 is een even getal".

De uitspraken met behulp van stellingen zijn meestal lang, dus het is vervelend om ze altijd te schrijven zoals we tot nu toe hebben gezien. Om deze reden wordt een symbolische taal gebruikt. Proposities worden meestal weergegeven met hoofdletters zoals P, Q, R, S, etc. En de symbolische connectiviteit als volgt:

Dus dat

de wederzijds van een voorwaardelijke propositie

is de propositie

En de contrapositive (of contrapositief) van een propositie

is de propositie

Waarheidstafels

Een ander belangrijk concept in de logica is dat van waarheidstabellen. De waarheidswaarden van een propositie zijn de twee mogelijkheden die beschikbaar zijn voor een propositie: true (die wordt aangeduid met V en de waarheidswaarde ervan wordt V) of false (die wordt aangeduid met F en de waarde ervan wordt vermeld het is echt F).

De waarheidswaarde van een samengestelde propositie hangt uitsluitend af van de waarheidswaarden van de eenvoudige proposities die erin voorkomen.

Om meer in het algemeen te werken, zullen we geen specifieke proposities, maar propositionele variabelen overwegen p, q, r, s, enz., die eventuele proposities zullen vertegenwoordigen.

Met deze variabelen en de logische verbindingen worden de bekende propositionele formules gevormd net zoals samengestelde uitspraken worden geconstrueerd.

Als elk van de variabelen die in een propositieformule voorkomen wordt vervangen door een propositie, wordt een samengestelde propositie verkregen.

Hieronder staan ​​de waarheidstabellen voor logische verbindingen:

Er zijn propositieformules die alleen de waarde V ontvangen in hun waarheidstabel, dat wil zeggen dat de laatste kolom van hun waarheidstabel alleen de waarde V heeft. Dit type formules staat bekend als tautologieën. Bijvoorbeeld:

Het volgende is de waarheidstabel van de formule

Er wordt gezegd dat een formule α logisch een andere formule β impliceert, als α waar is elke keer dat β waar is. Dat wil zeggen, in de waarheidstabel van α en β hebben de rijen waar α een V, β heeft ook een V. Alleen de rijen waarin α de waarde V hebben, zijn van belang. De notatie voor logische implicatie is de volgende :

De volgende tabel vat de eigenschappen van de logische implicatie samen:

Er wordt gezegd dat twee propositieformules logisch equivalent zijn als hun waarheidstabellen identiek zijn. De volgende notatie wordt gebruikt om de logische equivalentie uit te drukken:

De volgende tabellen vatten de eigenschappen van de logische equivalentie samen:

Soorten wiskundige logica

Er zijn verschillende soorten logica, vooral als je rekening houdt met de pragmatische of informele logica die verwijst naar de filosofie, onder andere.

Wat de wiskunde betreft, kunnen de soorten logica als volgt worden samengevat:

• Formele of Aristotelische logica (oude logica).
• Propositielogica: is verantwoordelijk voor de studie van alles wat te maken heeft met de geldigheid van argumenten en proposities met een formele taal en ook symbolisch.
• Symbolische logica: gericht op de studie van sets en hun eigenschappen, ook met een formele en symbolische taal, en is sterk verbonden met de propositielogica.
• Combinatorische logica: een van de meest recent ontwikkelde, omvat resultaten die kunnen worden ontwikkeld door algoritmen.
• Logisch programmeren: gebruikt in de verschillende pakketten en programmeertalen.

gebieden

Onder de gebieden die gebruik maken van wiskundige logica op een onmisbare manier in de ontwikkeling van hun redenering en argumenten, lichten ze filosofie, settheorie, getaltheorie, constructieve algebraïsche wiskunde en programmeertalen toe..

referenties

1. Aylwin, C. U. (2011). Logica, sets en nummers. Mérida - Venezuela: Council of Publications, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Inleiding tot getaltheorie. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Basiscursus in de getaltheorie. Universiteit van het noorden.
4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Hoe wiskundig logisch redeneren te ontwikkelen. University Editorial.
5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Getalentheorie. Redactionele visieboeken.